1、考研数学（数学三）模拟试卷 277 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 微分方程 2yy=(y)2 的通解为( )（A）y=(x-c) 2（B） y=c1(x-1)2（C） y=c1+(x-c)2（D）y=c 1(x-c2)22 设 A 是 n 阶实对称矩阵，P 是 n 阶可逆矩阵，已知 n 维列向量 a 是 A 的属于特征值 A 的特征向量，则矩阵(P -1AP)T 属于特征值 的特征向量是 ( )（A）P -1a（B） pTa（C） Pa（D）(P -1)Ta3 设 A 为三阶方阵，A 1，A 2，A 3 表示 A 中三个列向量，则 A=( )（A
2、）A 3，A 2，A 1（B） A1+A2，A2+A 3， A3+A1（C） A1，A 2，A 3（D）A 1，A 1+A2，A 1+A2+A34 设 X1，X 2 为来自正态总体 N(， 2)的样本，则 X1+X1 与 X1-X2 必( )（A）线性相关（B）不相关（C）相关但非线性相关（D）不独立5 设 X，Y 是相互独立的随机变量，其分布函数分别为 FX(x)、F Y(y)，则z=min(X，Y)的分布函数是( )（A）F Z(Z)=maxFX(x)，F Y(y)（B） FZ(Z)=minFX(x)，F Y(y)（C） FZ(Z)=1-1-FX(x)1-FY(y)（D）F Z(Z)=FY
3、(y)二、填空题6 已知曲线 y=x3-3a2x+b 与 x 轴相切，则 b2 可以通过 a 表示为 b2=_7 已知 =_8 设商品的需求函数为 Q=100-5P，其中 Q，P 分别表示需求量和价格，如果商品需求弹性的绝对值大于 1，则商品价格的取值范围是_9 若 =_10 设 ，A *是 A 的伴随矩阵，则(A *)-1=_11 一射手对同一目标独立地进行 4 次射击，若至少命中一次的概率 80/81，则该射手的命中率为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 求极限13 设 z=(x2+y2)earctan(y/x)，求 dz 与14 设生产某种产品必须投入两种要素，x
4、1 和 x2 分别为两要素的投入量，Q 为产出量，若生产函数为 Q=2x1x2，其中 ， 为正常数，且 +=1假设两种要素的价格分别为 p1 和 p2，试问：当产出量为 12 时，两要素各投入多少可以使得投入总费用最小?15 设 f(x)在区间0，1上连续，在 (0，1)内可导，且 f(0)=f(1)=0，f(1/2)=1，试证： ()存在 (1/2，1)，使 f()=； ()对任意实数 ，必存在 (0，)，使得 f()-f()-=116 计算二重积分 ，其中 D 是由直线 x=-2，y=0，y=2 以及曲线所围成的平面区域16 设 A 为 3 阶矩阵，a 1，a 2 为 A 的分别属于特征值
5、-1、1 的特征向量，向量 a3 满足 Aa3=a2+a3， () 证明 a1，a 2，a 3 线性无关； ()令 P=(a1，a 2，a 3，求 P-1AP17 已知对于 n 阶方阵 A，存在自然数 k，使得 Ak=0，试证明矩阵 E-A 可逆，并求出逆矩阵的表达式(E 为 n 阶单位矩阵)18 设有来自三个地区的各 10 名、15 名和 25 名考生的报名表，其中女生的报名表分别为 3 份、7 份和 5 份，随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份()求先抽到的一份是女生的概率 p；()已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率 q19 设随机变量 X 的概率密度为 ，令 Y
6、=X2，F(x，y)为二维随机变量(X，Y) 的分布函数，求：(I)y 的概率密度 fY(y)；()cov(X，Y)；()F(- 1/2，4) 考研数学（数学三）模拟试卷 277 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 因为此方程为二阶微分方程，故其通解中应含有 2 个自由常数，故可排除(A)、 (B)又 y=c1+(-c)2 不是方程的解，故排除(C)2 【正确答案】 A【试题解析】 因为 a 是 A 的属于特征值 的特征向量，所以 Aa=a 矩阵 P-1AP 属于特征值 A 的特征向量卢必满足(P -1AP)=将 =P-1a
7、 代入上式得(P -1AP)(P-1a)=P-1Ad=P-1a，故选(A)3 【正确答案】 D【试题解析】 由行列性质，用排除法 设 A=(A1， A2，A 3)，则A=A 1，A 2，A 3由行列式性质A 3，A 2，A 1=- A 1，A 2，A 3故(A)不对-A 1，-A 2，-A 3=- A 1，A 2，A 3故(C) 不对，A 1+A2，A 2+A3，A 3+A1=2 A 1，A 2，A 3故(B) 不对所以，此题正确答案应为(D)4 【正确答案】 B【试题解析】 假设 Y1=X1+X2，Y 2=X1-X2 所以 E(Y2)=E(X1)-E(X2)=0 cov(Y 1，Y 2)=E
8、(Y1)E(Y2)-E(Y1)E(Y2)=E(X12-X22)=E(12)-E(22)=0，(B) 是答案5 【正确答案】 C【试题解析】 F Z(Z)=PZz=Pmin(Z，Y)z=1-Pmin(X，Y) z =1-PXz，Y z=1-PXzPY z =1-1-F X(x)1-FY(y)二、填空题6 【正确答案】 4a 6【试题解析】 由题设，曲线 Y=x3-3a2x+b 与 x 轴相切，设切点为(x 0，0)，则y x=x0=302-3a2=0，即 x02=a2又由切点在曲线上，则 0=x03-3a2x0+b，因而 b=2x03b=4x06=4a6，所以 b2 可以通过口表示为 b=4a6
9、7 【正确答案】 3/4【试题解析】 由 y= 且 f(x)=arctanx2，8 【正确答案】 (10，20【试题解析】 由 Q=100-5P，得 Q(P)=-5需求弹性为令解得 P20 或10P20，又由 Q(P)=1000-5P=0，得最高价格为 P=20所以商品价格的取值范围是(10 ，209 【正确答案】 【试题解析】 10 【正确答案】 【试题解析】 因为 AA*=AE，从而(A *)-1=11 【正确答案】 2/3【试题解析】 设该射手的命中率为 P，X 表示射手对同一目标独立地进行 4 次射击中命中目标的次数，则 XB(4，p)，由题设：PX1=80/81，而 PX1=1-PX
10、=0=1-(1-p)4，故(1-p) 4=1- 80/81=1/81，解得 p1=2/3，p 2=4/3(舍去)，故应填2/3三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 【正确答案】 13 【正确答案】 由题设，14 【正确答案】 由题设知，本题要求的是总费用 p1x1+p2x2 在条件 2x1x2=12 下的最小值， 由此应采用拉格朗日乘数法，即令 F(x1， x2，)=p 1x1+p2x2+(12-2x1x2).15 【正确答案】 () 由题设，引入辅助函数 (x)=x-f(x)，则 (x)在0，1上连续，由已知条件 f(1)=0 及 f(1/2)=1，知 (1)=1-f(1)
11、=10 且，所以由闭区间上连续函数的介值定理知存在一点 (1/2，1)，使得 (n)=0，即 -f()=0，因此存在 (1/2，1)，使 f()=，证毕() 引入辅助函数，由原函数法将所需证明的等式中的 改写为 x，有 f(x)-f(x)-x=1，即 f(x)-f(x)=1-x由一阶线性非齐次微分方程的通解公式得：所以f(x)-xe-x=C，至此可令辅助函数为 g(x)=f(x)-xe-x=-(x)e-x，由已知条件及(I) 中结论，知 g(x)也是连续函数， 且 g(0)=f(0)-0e0=0，g()=-()e -=0 由罗尔定理知存在一点 (0，) ，使得 g()=0， 又 g(x)=-e
12、-xf(x)-x+e-xf(x)-1， 所以-f()-+f()-1=0 此即 f()-f()-=1证毕16 【正确答案】 由题设，积分区域 D 如右图阴影所示，其在 D1 为辅助性半圆形区域，17 【正确答案】 由代数公式 1-ak=(1-a)(1+a+ak-1=)以及 A 与 E 可交换， 有 E-Ak=(E-A)(E+A+Ak-1)，而 Ak=0，故有(E-A)(E+A+A k-1)=E， 可知 E-A 可逆，且有(E-A) -1=E+A+Ak-118 【正确答案】 () 由题设可知本题中有两个完全事件组：(1)报名表来自三个地区的事件所构成的事件组(2)第一次取得男生表和女生表的事件所构成的事件组，定义事件如下： A i=报名表来自 i 地区，i=1，2，3，B i=第 i 次抽到男生表，i=1，2， 则 P(A1=)=P(A2=)=P(A3=)=13， 且 P(B1=A 1=)=7/10，P(B 1A 2)=8/15， P(B1A 3)=20/25=4/5，19 【正确答案】 () 由已知条件得 P-1X2=1，所以 P0Y 4=1， 当y0 时，F y(y)=PYy=0；
