1、考研数学（数学三）模拟试卷 278 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)可导，且 f(0)=0，f (0)0，当 x0 时 是 的（A）高阶无穷小量（B）低阶无穷小量（C）等价无穷小量（D）同阶但不等价无穷小量2 设 f(x)=x(x+1)(2x+1)(3x 一 1)，则方程 f(x)=0 在(一 1，0)内实根的个数恰为（A）1 个（B） 2 个（C） 3 个（D）4 个3 设 f(x)在a ，b上可导 ，且 则 在(a， b)内必定（A）恒为正（B）恒为负（C）恒为零（D）变号4 设函数 f(r)当 r0 时具有二阶连续导数，令 ，则当
2、x，y，z 与 t 不全为零时（A）（B）（C）（D）5 设 A 为 n 阶矩阵，对于齐次线性方程(I)A n=0 和()A n+1x=0，则必有（A）() 的解是 (I)的解，(I)的解也是()的解（B） (I)的解是 ()的解，但 ()的解不是(I)的解（C） ()的解是(I)的解，但 (I)的解不是()的解（D）(I)的解不是()的解，()的解也不是(I)的解6 已知 4 维列向量 1,2,3 线性无关，若 i(i=1，2，3，4)非零且与 1,2,3 均正交，则秩 r(1， 2， 3， 4)=（A）1（B） 2（C） 3（D）47 设 X 一 N(0，1) ，X 1，X 2，X 7 是
3、取自 X 的简单随机样本 服从 t(n)分布，则 (c，n) 为（A）（B）（C）（D）8 设随机变量 X1 和 X2 相互独立且都服从参数为 的指数分布，则下列随机变量中服从参数为 2 的指数分布的是（A）X 1+X2（B） X1X2（C） max(X1，X 2)（D）Inin(X 1，X 2)二、填空题9 设 f(x)存 x=0 处连续， 则曲线 y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程为_10 设 y=f(x)二阶二可导，f (x)0，它的反函数是 x=(y)，又 f(0)=1，f (0)= ，f (0)一 1，则 =_.11 设 其中 f(u，v)是连续函数，则 dz=_12 微分方
4、程 2x3y=y(2x2 一 y2)的通解为_13 已知 A 是 3 阶矩阵，A *是 A 的伴随矩阵，如果矩阵 A 的特征值是 1，2，3，那么矩阵(A *)*的最大特征值是_14 设随机变量 X 的密度函数为 则 Y=一 2X+3 服从的分布是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 设15 求证：f(x)在0，+)上连续；16 求 f(x)在0，+)的单调性区间；17 求 f(x)在0，+)的最大值与最小值18 求 f(x，y， z)=2x+2yz2+5 在区域 ：x 2+y2+z22 上的最大值与最小值19 计算 其中 D 是由曲线 及直线 y=一 x所围平面图形20
5、求微分方程(x 一 2xyy2)y+y2=0，y(0)=1 的特解21 设函数 f(x)在0，1上具有二阶连续导数，且 f(0)=f(1)=0，f(x)0(x(0，1)，证明：21 已知 1=(1，3，5，一 1)T， 2=(2，7，4) T， 3=(5，17，一 1，7) T，22 若 1,2,3 线性相关，求 的值；23 当 =3 时，求与 1,2,3 都正交的非零向量 4；24 当 =3 时，证明 1,2,3,4 可表示任一个 4 维列向量24 已知 A 是 3 阶矩阵， 1,2,3 是线性无关的 3 维列向量，满足 A1=一 1 一 3233，A 2=41+42+3，A 3 一 21+
6、3325 求矩阵 A 的特征值；26 求矩阵 A 的特征向量；27 求矩阵 A*一 6E 的秩27 设二维连续型随机变量(X，Y)服从区域 D 上的均匀分布，其中 D=(x，y)10Yx2 一 y试求：28 x+y 的概率密度；29 X 的边缘概率密度；30 PY02 X=1 5 30 设 X1，X 2，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，X 的概率密度为是未知参数31 求 A 的矩估计量 ；32 求 A 的最大似然估计量 ，并求 考研数学（数学三）模拟试卷 278 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 分别计算分子、分母
7、的三个极限：所以原式 ，即二者为等价无穷小2 【正确答案】 B【试题解析】 函数 f(x)在( 一，+) 上连续且可导，显然 f(x)有 4 个实根：x1=0， x2=一 1，x 3= 由罗尔定理知，f (x)至少有 3 个零点，分别为又 f(x)为 3 次多项式，最多有 3 个实根，其中一个不存(一 1，0)内，因此 f(x)在(一 1，0)内恰有 2 个实根故选 B3 【正确答案】 C【试题解析】 设 ，若 F(x)在(a ，b) 内可取正值，由于 F(a)=F(b)=0，故 F(x)在(a,b)内存在最大值且为正，从而知 F(x)必在(a，b)内存在正的极大值，记该极大值点为 x0,于是
8、 F(x0)=0，F(x 0)0即 ，代入原方程，得 这表明 F(x0)应是极小值，导致矛盾同理可知 F(x)在(a，b)内也不可能取到负值故选 C4 【正确答案】 C【试题解析】 令 ，则计算可得类似有从而故应选 C5 【正确答案】 A【试题解析】 若 是(I)的解，即 An=0，显然 An+1=A(An=AO=0，即 必是()的解可排除 C 和 D若 是()的解，即 An+1=0假若 不是(I) 的解，即An0，那么对于向量组 ，A ，A n，A n，一方面这是 n+1 个 n 维向量必线性相关；另一方面，若 k+k1A+k2A2+k nAn=0，用 An 左乘上式，并把An+1=0，A
9、n+2=0，代入，得 kAn=0由于 An0，必有 k=0对k1A+k2A2+k nAn=0，用 An-1 左乘上式可推知 k1=0类似可知ki=0(i=2，3，n)于是向量组 ，A ，A 2，A n 线性无关，两者矛盾所以必有 An=0，即()的解必是(I)的解由此可排除 B故应选 A6 【正确答案】 A【试题解析】 设 1=(11,12,13,14)T， 2=(21,22,23,24)T， 3=(31,32,33,34)T，那么 i 与 1,2,3 均正交，即内积 iTi=0(j=1，2， 3，4)亦即 i(j=1，2，3，4)是齐次方程组 的非零解由于 1,2,3 线性无关，故系数矩阵的
10、秩为 3所以基础解系有 43=1 个解向量从而 r(1， 2， 3， 4)=1故应选 A7 【正确答案】 B【试题解析】 由于 XiN(0，1)且相互独立，故且相互独立，而 于是所以 故选 B8 【正确答案】 D【试题解析】 求出每个选项中随机变量的分布进行判断是容易想到的思路，显然这不是简捷的力法，我们应用指数分布的性质来确定选项依题意，X i 服从参数为 A 的指数分布， ，其分布函数为 对于选项 A：E(X 1+X2)=EX1+EX2= 对于选项 B：E(X 1X2)=EX1EX2= 对于选项 C: 因选项A、B、C 均不正确，用排除法，应选 D进一步分析，对选项 D：即min(X1，X
11、 2)服从参数为 2 的指数分布二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 【分析一】由极限与无穷小的关系，有于是 由于所以由于 f(x)在 x=0 处连续，所以又所以曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程为 【分析二】利用 sinx 的带皮亚诺余项的三阶泰勒公式有代入原极限式即得可见以下同【分析一】10 【正确答案】 【试题解析】 【分析一】由反函数求导公式得 再由复合函数求导法得 从而 于是 【分析二】将上述导出的 (y)， (y)表达式代入得 于是11 【正确答案】 【试题解析】 【分析一】这是一无函数 与二元函数 t=xy2 的复合函数，由一阶全微分形式不变性可得【分析二】先求偏
12、导数：于是12 【正确答案】 【试题解析】 将方程改成 这是齐次方程，令 ，则分离变量 积分得 从而,c0 为任意常数13 【正确答案】 18【试题解析】 因为(A *)*=A n-2A，又 所以(A *)*=6A，从而(A *)*的特征值为 6，12，18，显然其最大特征值为 1814 【正确答案】 N(5，2)【试题解析】 由 ，可知 Y=一 2X+3仍服从正态分布，且 EY=一 2EX+3=5DY=4DX=2，所以 YN(5 ，2)三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 当 x0 时 f(x)与初等函数 相同，故连续又即 f(x)在 x=0 处右连续，因此
13、f(x)在0，+) 上连续16 【正确答案】 考察(0，+)上 f(x)的符号先求并考察 ,由g(x)在(0，+)单调上升f(x)在0 ，1单调下降，在1，+)单调上升17 【正确答案】 由() 中单调性分析知， 又因此18 【正确答案】 f(x，y，z) 在有界闭区域 上连续，一定存在最大、最小值第一步，先求 f(x，y，z) 在 内的驻点由 知 f(x，y，z)在 内无驻点，因此f(x，y，z)在 的最大、最小值都只能在 的边界上达到第二步，求 f(x，y，z)在 的边界 x2+y2+z2=2 上的最大、最小值，即求 f(x，y，z)在条件 x2+y2+z2 一 2=0下的最大、最小值令
14、F(x，y，z，)=2x+2y z2+5+(x2+y2+z2 一 2)，解方程组由，知 x=y，由知 z=0 或 =1由 x=y，z=0 代入知 x=y=1，z=0当 =1 时由，也得 x=y=一 1，z=0因此得驻点 P1(一 1，一 1，0)与P2(1，1，0)计算得知 f(P1)=1，f(P 2)=9因此，f(x，y，z)在 的最大值为 9，最小值为 119 【正确答案】 画区域 D 的草图如右图所示将其化为极坐标再计算方法一方法二20 【正确答案】 将 x 看作自变量 y 的函数，则方程可化为函数 x(y)的一阶非齐次线性方程，然后解之方程变形 化为标准形式又由 y(0)=1 解得c=
15、一 e-1 于是满足初值条件的特解为21 【正确答案】 由题设可知f(x)存0 ，1上连续，根据有界闭区间上连续函数最值定理，存在 x0(0，1)，使得 在0，x 0与x0，1上分别应用拉格朗日中值定理得：存在 1(0，x 0)， 2(x0，1)使得于是令 y=x(1 一 x)，则y=12x,由 y=0 得 ，又 y=一 2，所以 y=x(1 一 x)在 处取最大值 因而 在 处取最小值，因此22 【正确答案】 1,2,3 线性相关甘秩 r(1,2,3)所以 a=一 323 【正确答案】 设 4=(x1，x 2,x3，x 4)T，则有( 1， 4)=0，( 2， 4)=0，( 3， 4)=0，
16、即 所以 4=k(19，一6，0，I) T，其中 k024 【正确答案】 由于 所以x11+x22+x43+X44= 恒有解，即任一 4 维列向量必可由 1,2,3,4 线性表出或者由(I)知 =3 时， 1,2,3 必线性无关，那么：若 k11+k22+k33+k44=0，用 4T 左乘上式两端并利用 4T1=4T2=4T3=0，有 k44T4=0，又 40，故必有 k4=0于是 k11+k22+k33=0由 1,2,3 线性尢关知必有 k1=0，k 2=0，k 3=0，从而1,2,3,4 必线性无关而 5 个 4 维列向量必线性相关，因此任一个 4 维列向量都可由 1,2,3,4 线件表出
17、25 【正确答案】 据已知条件，有 A(1， 2， 3)=(一 1 一 3233，4 1+42+3，一 21+33) 记 及 P1=(1,2,3)，那么由1,2,3 线性尢关知矩阵 P1 可逆，且 P1-1AP1=B，即 A 与 B 相似由矩阵 B 的特征多项式 得矩阵 B 的特征值是1，2，3从而知矩阵 A 的特征值是 1，2，326 【正确答案】 由(E B)x=0 得基础解系 1=(1，1，1) T，即矩阵曰属于特征值=1 的特征向量，由(2EB)x=0 得基础解系 2=(2，3，3) T，即矩阵 B 属于特征值=2 的特征向量，由(3E 一 B)x=0 得基础解系 3=(1，3，4)
18、T，即矩阵 B 属于特征值A=3 的特征向量，那么令 P2=(1， 2， 3)，则有 P2-1BP2= 于是令=(1+2+3，2 1+32+33， 1+32+43)，则有 P-1AP=(P1P2)-1A(P1P2)=P2-1(P1-1AP1)P2=P2-1BP2= 所以矩阵 A 属于特征值1，2，3 的线性无关的特征向量依次为 k1(1+2+3)，k 2(21+32+33)，k3(1+32+43)，k i0(i=1， 2，3)27 【正确答案】 由 及A=6 知， 从而所以秩 r(A*一 6E)=228 【正确答案】 如图，区域 D 即 AOB 的面积 Sn=1，因此(X， Y)的概率密度为 X+Y 的分布函数记为 F(z)，则当 z丁是 X+Y 的概率密度 f(z)为或者直接用随机变量和的卷积公式求 X+Y 的概率密度由于 f(x，z 一 x)只有在 0z 一 xx2 一(z 一 x)时才不为 0，即只有当时，29 【正确答案】 30 【正确答案】 当 X=1 5 时 fx(15)=05，条件密度故31 【正确答案】 由 由于 X的一阶矩 故考虑 X 的二阶矩而样本的二阶矩为 ，所以 的矩估计量为 .32 【正确答案】 似然函数为 取对数有求导得 令 ，得从而 的最大似然估计量为.
