1、考研数学（数学三）模拟试卷 279 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)在a ，b上连续，在(a，b) 内二阶可导，且 f(x)0(x(a，b) ，又则下列不等式成立的是（A）LMN （B） LNM（C） MLN（D）NLM 2 设 f(x)在0，1上连续，又 则（A）F(x+)F(x)(x (一，+)（B） F(x+)0 时 F(x+)F(x)，x0 ， q=0（B） P=0，q0（C） Pn，则 必可由 1， 2 s 线性表示（D）如果 r=n，则任何 n 维向量必可由 1， 2 s 线性表示7 设事件 A，B，C 足一个完备事件组，即
2、它们两两互不相容且其和为 ，则下列结论中一定成立的是（A） 是一个完备事件组（B） A，B,C 两两独立（C） AB 与 独立（D） 是两两对立事件8 设 X1，X 2，X n+1 是取自正态总体 N(0， 2)的简单随机样本，记则 =（A）（B）（C） k2（D） 2二、填空题9 极限 =_.10 设 u(x，y)=y 2F(3x+2y)若 则 =_.11 反常积分 =_12 设 连续且满足 g(x)=1+2x+o(x)(x0)又 F(x)=fg(x)，则 F(0)=_13 已知 则 A-1=_14 设随机变量 X1，X 2，X 12 独立同分布且方差存在，则随机变量U=X1+X2+X7，V
3、=X 6+X7+X12 的相关系数 pv=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 求不定积分16 计算二重积分 其中D=(x，y) y0 ，1x 2+y22x17 设某企业生产一种产品，其成本 平均收益当边际收益 MR=44，需求价格弹性 时获得最大利润，求获得最大利润时产品的产量及常数 a 与 b 的值18 求幂级数 的收敛域 D 与和函数 S(x)19 设 f(x)在a，b上连续且单调增加，试证：19 已知 4 元齐次线性方程组 的解全是 4 元方程(ii)x 1+x2+x3=0 的解，20 求 的值；21 求齐次方程组(i) 的解；22 求齐次方程(ii)的解22 已知
4、三元二次型 xTAx 的平方项系数均为 0，设 =(1，2，一 1)T 且满足A=223 求该二次型表达式；24 求正交变换 x=Qy 化二次型为标准形，并写出所用坐标变换24 设有甲、乙两种不同材质而外观和手感极为相似的布料各 4 块，从中挑选 4 块，若同属于甲种布料，则被视为试验成功25 某人随机地去挑，求他成功的概率 ；26 某人称有判断甲、乙两种布料的能力，他连续做了 8 次试验，成功 3 次，试判断他是否确有辨别两种布料的能力(假设各次试验相互独立)26 设随机变量 X1 与 X2 相互独立，且 X1N(0，1)，x2 服从 的指数分布27 求 X=X12 的概率密度；28 设 Y
5、=X+X2，求 EY， DY考研数学（数学三）模拟试卷 279 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 【分析一】由题设知 y=f(x)是a，b上的凹函数，借助几何直观我们就吖选出正确答案L,M，N 分别代表梯形 ABCD，梯形 ABFGF 与曲边梯形ABCGD 的面积(如图(1)，G 是点 EF 是曲线 Y=f(x)在点 G 处的切线于是由面积的大小关系可得 LNM故选 B【分析二】y=f(x)是a，b上的凹函数，由凹函数的性质可知(几何意义是：弦 曲线 y=f(x)(x(a，b)的上方，除 C 点外曲线 y=f(x)(xa，
6、b)在曲线上G 点的切线 EF 的上方，如图(2)将不等式中各项求积分得其中因此 LNM故选 B2 【正确答案】 C【试题解析】 【分析一】f(sinx)是以 为周期的周期函数，因而有因此选 C【分析二】考察 由于=0(x(一，+)，其中 于是因此选 C3 【正确答案】 C【试题解析】 由变限积分 的性质以及埘称区间上奇偶函数积分 的性质便可知 A，B，D 均正确，而 C 是错误的或直接举例说明 C 是错误的例如f(x)1 是以 T 为周期的偶函数，但 =x 不是周期函数，显然 C 不对4 【正确答案】 B【试题解析】 这是二阶常系数齐次线性方程，其通解形式由特征方程 r2+Pr+q=0的特征
7、根 所决定当 p24q0 时，r 1，r 2 为不等的实特征根，原方程通解为 y=c1er1+c2er2x，这时 y 不可能是 x 的周期函数当 p24q=0 时，r1=r2= ，原方程的通解为 ，也不可能是 x 的周期函数当 p2一 4q 原方程的通解为只有当 p=0 时，它的通解才是 x 的周期闲数，这时 q0，故选 B5 【正确答案】 B【试题解析】 正定的充分必要条件是顺序主子式全大于 0，正定的必要条件是aij0C 中 a33=一 1 ，必不正定；D 中阶顺序主子式A = 一 16 【正确答案】 D【试题解析】 r( 1， 2 s)=r 1， 2 s 中一定存在 r 个向量线性无关，
8、而任意 r+1 个向量必线性相关当向量组的秩为 r 时，向量组中既可以有 r 一 1 个向量线性相关，也可以有 r 个向量线性相关，故 A、B 均错误例如向量 1,2,3,4分别为(1 ，0，0，0) ，(0，1，0，0) ，(0，0，1，0) ，(3 ，0，0，0)，其秩为 3，其中 1,4 线性相关， 1,2,4 也线性相关该例说明，4 维向量可以有 2 个向量线性相关，也可以有 3 个向量线性相关但肯定有 3 个向量线性无关当 sn 时，表明 1， 2 s 必线性相关，此时有理由可以由 1， i-1， i+1， s 线性表示，但 s 不一定能由 1， s-1 线性表示故 C 不正确若 r
9、(1， 2 s)=n，则对任何 n 维向量 必有 r(1， 2 s，)=n 故 D 正确因此应选 D7 【正确答案】 C【试题解析】 ，而任何事件与概率为 1 的事件都独立，因此应选 C进一步分析，由于 ABC=，若 C ，则 AB， ，即相容；若 C= ，则 ，但 A 与 B 不能都是必然事件 ，故 不能都是不可能事件 ，即 ，不会两两互不相容，它们不能构成一个完备事件组，也不能两两灯立，即选项 A、D 均不正确其实，用文氏图判断 A、D 不正确，更是一目了然又因 A，B，C 两两不相容，于是有 P(AB)=P(AC)=P(BC)=0，只要A，B，C 中有两个事件的概率大于零，A，B，C 就
10、不可能两两独立因此也不能选 B8 【正确答案】 B【试题解析】 由于 X1，X 2，X n+1 相互独立，当 ij 时，cov(X i，X j)=0；当 i=j 时，cov(X i， Xj)=2，所以故选 B二、填空题9 【正确答案】 1【试题解析】 由洛必达法则可得 从而令 作换元，可得x+对应 u0，于是10 【正确答案】 【试题解析】 【分析一】由 得 即 F(3x+1)=4x2设3x+1=t， 则 从而 于是【分析二】由 u(x，y)=y 2F(3x+2y)可得 又由由 ，代入得11 【正确答案】 【试题解析】 【分析一】令 ，则令于是 【分析二】令 x=atant，则12 【正确答案
11、】 4e【试题解析】 由 g(x)在点 x=0 处连续及 g(x)=1+2x+o(x)(x0)由复合函数求导法及变限积分求导法13 【正确答案】 【试题解析】 因为 所以那么14 【正确答案】 【试题解析】 设 DXi=2，由于随机变量 X1，X 2，X 12 独立同分布，故有DU=DV=72 于是三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 【分析与求解一】作变量替换 ，则有再分部积分得其中于是根据三角形示意图，易变量还原得【分析与求解二】为了作分部积分，先求同样由三角形示意图，变量还原得于是由分部积分得16 【正确答案】 区域 D 如右图所示由 得交点引入极坐标 x
12、=rcos，y=rsin 区域 D 的极坐标表示为故17 【正确答案】 收益函数 ，当取得最大利润时，边际收益等于边际成本，即 MR=MC又 MR=R=abQ，于是 44=C(Q)=2Q2 一32Q+100，即 Q2 一 16Q+28=0解得 Q1=14，Q 2=2又故当 Q=14 时企业利润取极大值由于 即 得p=82又 于是，当 Q=14 时，有 解得 a=120， 当Q=2 时，得 6=38，不满足 0b24 的条件，故舍去所以当产量 Q=14 时，企业利润取极大值，也是最大值18 【正确答案】 【解法一】易知幂级数 一的收敛半径 R=1，且级数存收敛区间(一 1，1) 的两个端点 x=
13、一 1 与 x=1 处都收敛，从而级数的收敛域为一 1， 1令 用 x2 乘上幂级数即得逐项求导三次可知 再积分三次，就有 令 1 一 t=u作换元可得 利用求得的上述结果即知当 0 而 S(0)=0 【解法二】用通项分拆法分解幂级数可得 利用已知的和函数公式：当 0 就有 代入即得与【解法一】中同样的结果19 【正确答案】 【分析与证明一】引进辅助函数，把证明常数不等式转化为证明函数不等式(可用单调性方法)令F(x) 单调不减，故 F(x)F(a)=0(xa，b) 特别有 F(b)0，即 【分析与证明二】改写不等式，即要证 分别在区间与 上应用积分中值定理即可得证要证 即要证 又由积分中值定
14、理*，存在 使由 f(x)单调增加，f( 2)f(1)，故 I0，得证.20 【正确答案】 因为方程组(i)的解全是(ii) 的解，所以(i) 与 同解那么(i)和 (iii)的系数矩阵 与 有相同的秩如a=0，则 r(A)=1，而 r(B)=2，所以下设 a0由于因为 a 和 a 一 1 不能同时为 0，故秩 r(A)=3又当 ,r(B)=3，此时 (i)与(iii)同解21 【正确答案】 由于 基础解系为 ，则通解是 k，其中 k 为任意实数22 【正确答案】 由于 x1+x2+x3=0 的基础解系为 1=(一 1，1，0，0) T， 2=(一1，0，1，0) T， 3=(0，0，0，1)
15、 T，则通解是 k11+k22+k33，其中 k1，k 2，k 3 是任意实数23 【正确答案】 据已知条件，有 即 解出 a12=2，a 13=2，a 23=一 2，所以 xTAx=4x1x2+4x1x34x2x324 【正确答案】 由 得矩阵 A 的特征值为2，2，一 4由 得 =2 的特征向量1=(1， 1，0) T， 2=(1，0，1) T；由 得=一 4 的特征向量 3=(一 1，1，1) T将 1， 2 正交化令 1=1，则再对 1， 2， 3 单位化，有那么令 ，有xTAx=yTAy=2y12+2y22 一 4y3225 【正确答案】 古典概率问题从 8 块布料中任取 4 块，共
16、有 C84=70 种取法，而被视为成功仅有 C44=1 种取法，故26 【正确答案】 由于各次试验相互独立，而每次试验成功的概率 若以 X 表示 8 次试验成功的次数，则 X 服从二项分布 ，即从而 8 次试验中成功 3 次的概率为由于 8 次试验成功 3 次的概率不到万分之二，故可以断定此人确有区分两种布料的能力27 【正确答案】 依题意 X1 与 X2 的概牢密度分别为(1)X=X12 的分布函数记为 FX(x)，则当 x0 时,从而 于是 X的概率密度为28 【正确答案】 因 X1N(0，1) ，故 EX1=0，DX 1=1，EX 12=1；又 X2 服从参数的指数分布，故 于是 EY=E(X+X2)=E(X12+X2)=EX12+EX2=1+2=3又由于 X=X12 与 X2 独立，而独立随机变量之和的方差等于其方差的和，故 DY=D(X+X2)=D(X12+X2)=DX12+DX2=2+4=6
