1、考研数学（数学三）模拟试卷 280 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 函数 f(x)=x3 一 3x+k 只有一个零点，则 k 的取值范围为（A）k2（B） k1（C） k0 k2；f(一 1)，f(1)k k2故选 A2 【正确答案】 C【试题解析】 故选 C3 【正确答案】 B【试题解析】 由题设选项可知，这 4 个反常积分中有两个收敛，两个发散方法1。找出其中两个收敛的由知收敛知收敛因此选 B方法 2。找出其中两个发散的对于：由而 发散，知发散，即发散 由可知 发散，即发散故选 B4 【正确答案】 D【试题解析】 【分析一】A，B，C 不是条件
2、收敛由其中 收敛， 发散A 发散由其中 均收敛B 绝对收敛由 C 绝对收敛因此应选D【分析二】直接证明 D 条件收敛 单调下降趋于零(n)交错级数收敛又 而发散 发散D 条件收敛故应选 D5 【正确答案】 B【试题解析】 方程组 Ax=b 有唯一解 的列数，所以 B 正确注意方程组有唯一解不要求方程的个数，n 和未知数的个数 n 必须相等，可以有mn例如 方程组 Ax=b 有无穷多解 的列数当方程组有无穷多解时，不要求方程的个数必须少于未知数的个数，也不要求秩 r(A)必小于方程的个数，例如6 【正确答案】 C【试题解析】 AA A 有 n 个线性无关的特征向量记 C 项的矩阵为 C，由可知矩
3、阵 C 的特征值为 =1(三重根)，而 那么 nr(EC)=32=1说明齐次线性方程组(EC)x=0 只有一个线性无关的解，亦即 =1 只有一个线性无关的特征向量，所以C 不能对角化故选 C7 【正确答案】 C【试题解析】 本题有两个参数，先由密度函数的性质确定 k 的值，再由已知概率确定 的值 故即 又所以 故选 C8 【正确答案】 D【试题解析】 由于 可知 X(一 3，2)，而 A， B，C 三个选项都不符合，只有D 符合，可以验证 即二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 【分析一】 于是 【分析二】其中用到了从(*)式也可以再用罗毕达法则10 【正确答案】 【试题解析】 x 轴上方
4、的星形线表达式为11 【正确答案】 【试题解析】 令 t=cosx+2cosx=t-2,cos 2x=(t-2)2由因此12 【正确答案】 (2t 2+2t+3)4t【试题解析】 应设特解为 yt=(At2+Bt+c)B,C 其中 A，B，C 为待定常数令 t=0 可得 y0=C，利用初值 y0=3 即可确定常数 C=3于是待求特解为 yt=(At2+Bt+3)4t把yt+1=A(t+1)2+B(t+1)+34t+1=4At2+(2A+B)t+4+B+34t 与 yt 代入方程可得 yt+14yt=4(2At+A+B)4t，由此可见待定常数 A 与 B 应满足恒等式 4(2At+A+B)16(
5、t+1)A=B=2故特解为 yt=(2t2+2t+3)4t13 【正确答案】 【试题解析】 因为 AA*=A*A=AE，又 所以于是14 【正确答案】 【试题解析】 由于Xi(i=1，2，n+1)均来自同一总体，且相互独立故 EXi=p，DX i=2，Y 是 X的线性组合，故仍服从正态分布 所以三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 对函数 g(x)两边作定积分将其代入 f(x)中，得对上式两边作定积分从而可知 所以故 F(x)=一 x3+3x2 一 4F (x)=一3x2+6x=0，得驻点 x=0， x=2F (0)=60，F (2)=一 616 【正确答案】
6、由条件知又在 x=0 的某空心邻域内f(x+1)+3sin2x0，现利用等价无穷小因子替换：当 x0 时，17 【正确答案】 方法 1。由 f(1) f(x)在 x=1 的某邻域内可导 方法2。用泰勒公式先由一阶泰勒公式得当 f(1)存在时，可用二阶泰勒公式得18 【正确答案】 因积分区域 D 关于直线 y=x 对称，又被积函数D1=(x，y)0x1，0yx，就有令 x=rcos，y=rsin 引入极坐标，即知rdrd，代入即得19 【正确答案】 令则其收敛半径 R=1在(一 1，1)内有由于 取 因此有即20 【正确答案】 若 f(a)=f(b)，则取 =a 或 =b 即可若 f(a)f(b
7、)，为了确定起见，无妨设 f(a)f(b)(对 f(a)(b)的情形可类似证明)当 =f(a)或 =f(b)时相应取 =a 或=b 即可从而只需证明 介于 f(a)与 f(b)之间的情形定理的结论也成立引入辅助函数 F(x)=f(x)一 (x 一 a)，则 F(a)=f(a)一 0，由导数的定义即得，从而存在 x1(a，b)使得 ，于是 F(x0)F(a)，这表明 F(a)不是 F(x)在a ， bE 的最大值此外还有 F(b)=f(b)一 ，从而存在 x2(x1，b) 使得 ，于是 F(x2)F(b)，这表明 F(b)也不是 F(x)在a，b 上的最大值综上所述即知必存在 (a，b)使得F(
8、)是 F(x)在a，b上的最大值，由 F(x)的可导性必有 F()=0 即 f()=类似可证，在相反的情形下必存在 (a，b)使得 F()是 F()在a，b上的最小值，由 F(x)的可导性也有 F()=0 即 f()= 成立21 【正确答案】 记 C=(1， 2)，由 AC=A(1， 2)=0 知 CTAT=0，则矩阵 AT 的列向量(即矩阵 A 的行向最)是齐次线性方程组 CTx=0 的解对 CT 作初等行变换，有得到 CTx=0 的基础解系为 1=(3，一1，1，0) T， 2=(一 5，1， 0，1) T所以矩阵22 【正确答案】 设齐次线性方程组 Ax=0 与 Bx=0 的非零公共解为
9、 ，则 既可由1， 2 线性表出，也可由 1， 2 线性表出，故可设 y=x11+x22=一 x31 一 x42，于是 x11+x22+x31+x42=0对( 1， 2， 1， 2)作初等行变换，有 (1， 2， 1， 2)=y0 x1，x 2,x3，x 4 不全为 0 秩 r(1， 2， 1， 2)a=0当 a=0 时，解出 x4=t，x 3=一 t，x 2=一 t， x1=2t因此 Ax=0 与 Bx=0 的公共解为 =2t1 一 t2=t(1，4，1，1) T，其中 t 为任意常数23 【正确答案】 由于 A(1， 2， 3)=(31+3223 一 2，8 1+6253)令 P=(1,2
10、,3)，因 1,2,3 线性尤关，故 P 可逆记则有 P-1AP=B，即 A 与 B 相似24 【正确答案】 由 可知矩阵 B 的特征值为一 1，一 1，一 1，故矩阵 A 的特征值为一 1，一 1，一 1对于矩阵 B，由得特征向量(0，1，0) T，(一 2，0，1) T，那么由 B= 即(P -1AP)=，i 导 A(P)=(P)所以是 A 的特征向量，于是 A 属于特征值一 1 的所有特征向量是 k1=2+k2(一 21+3)，其中 k1，k 2 不全为025 【正确答案】 由 AB 有 A+EB+E ，故 r(A+E)=r(B+E)=126 【正确答案】 设 Ai=第二次交换后甲袋有 i 个白球，i=0，1，2由于经过第一次交换，甲、乙两袋中各有一个红球，一个白球，故又设X=k表示三次交换后甲袋中的白球数，k=0，1 ，2则 所以【试题解析】 为求数学期望应先求出甲袋白球数 X 的概率分布经过第一次交换后，甲、乙两袋中都各有一白一红，故我们从第二次交换开始讨论27 【正确答案】 f(x，y)在图中阴影部分 D=(x，y)x 2y1上不为零，(1)当x1 时，f X(x)=0，y 的条件概率密度 fY,X(y x)不存在；当x因此，当x于是当x28 【正确答案】 PYaX=0.5=F X,Y(a05),依题意 ，因此有 解方程
