1、考研数学（数学三）模拟试卷 281 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)在 x=0 的某邻域内连续 则 f(x)在 x=0 处（A）不可导（B）取极小值（C）取极大值（D）不取极值，但 f(0)=02 函数 在区间一 4，4上的最大值是（A）2（B） 3（C） 4（D）53 曲线（A）没有渐近线（B）只有一条渐近线（C）共有两条渐近线（D）共有三条渐近线4 设 f(x)在0，1有连续导数，且 f(0)=0，令 则必有（A）（B）（C）（D）5 已知 1， 2,3， 4 是齐次方程组 Ax=0 的基础解系，则下列向量组中也是 Ax=0基础解系
2、的是（A） 1+2， 2 一 3， 3 一 4， 4 一 1（B） 1+2， 2 一 3， 3 一 4， 4+1（C） 1+2， 2+3， 3 一 4， 4 一 1（D） 1， 2， 3， 4 的等价向量组6 已知 P-1AP=B，若 A=，0，则（A）B 的特征值为 ，对应的特征向量是 P（B） B 的特征值为 ，对应的特征向量是 P（C） B 的特征值为 ，对应的特征向量是 P-1（D）B 的特征值为 ，对应的特征向量是 P-17 设总体 X 服从参数 =2 的指数分布，X 1，X 2， ，X n 是来自总体 X 的简单随机样本， 和 S2 分别为样本均值和样本方差，已知 ，则 的值为（A
3、）一 1（B） 1（C）（D）28 设 和 是取自同一正态总体 N(， 2)的两个相互独立且容量相同的简单随机样本的两个样本均值，则满足 P 005 的最小样本容量n=（A）4（B） 8（C） 12（D）24二、填空题9 曲线 y=xe-x(0x10 设函数 f(x)存(0，+)上连续，对任意的正数 a 与 b 积分 的值与 a 无关若已知 f(1)=1，则 f(x)=_11 与曲线(y 一 2)2=x 相切，且与曲线在点 (1，3)处的切线垂直，则此直线方程为_12 微分方程 2x2y=(x+y)2 满足定解条件 y(1)=1 的特解是_13 已知 义矩阵 A 和 B 相似，A *是 A 的
4、伴随矩阵，则A *+3E=_.14 一学徒工用同一台机床连续独立生产 3 个同种机器零件，且第 i 个零件是不合格品的概率 p= 则三个零件中合格品零件的期望值为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 过点(1 ，0)作曲线 的切线，求该切线与曲线及戈轴围成的平面图形分别绕 z 轴和 y 轴旋转所得旋转体的体积 Vx 和 Vy15 证明下列命题：16 设 f(x0)=0，f (x0)0，则存在 0 使得 y=f(x)在(x 0，x 0单调减少，在x，x 0)单调增加；17 设 f(x)在0，1连续，在 (0，1)二阶可导且 f(0)=f(1)=0，f (x)0(x(0，1)1
5、8 设二元可微函数 F(x，y)在直角坐标系中可写成 F(x，y)=f(x)+g(y)，其中 f(x)，g(y)均为可微函数而在极坐标系中可写成 ，求二元函数 F(x，y)19 设函数 f(x)在区间0， 4上连续，且 ，求证：存在 (0，4)使得 f()十 f(4 一 )=020 求级数 的收敛域20 已知向量 =(1,2,3,4)T 可以由 1=(1，0，0，1) T， 2=(1，1，0，0)T， 3=(0，2，一 1，一 3)T， 4=(0，0，3，3) T 线性表出21 求 1,2,3,4 应满足的条件；22 求向量组 1,2,3,4 的一个极大线性无关组，并把其他向量用该极大线性无关
6、组线性表出；23 把向量 分别用 1,2,3,4 和它的极大线性无关组线性表出24 已知矩阵 和 试判断矩阵 A 和 B 是否相似，若相似则求出可逆矩阵 P，使 P-1AP=B，若不相似则说明理由24 设离散型二维随机变量(X，Y)的取值为(x i，y i)(i，j=1，2)，且试求：25 二维随机变量(X，Y) 的联合概率分布；26 条件概率 PY=yjX=x 1，j=1，227 设在某一时间段内进入某大型超市的顾客人数 X 服从参数为 的泊松分布，且每一顾客购买 A 类商品的概率为 p假定各顾客是否购买 A 类商品是相互独立的，求进入该超市的顾客购买 A 类商品的人数 Y 的概率分布及 Y
7、 的期望 EY考研数学（数学三）模拟试卷 281 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 当 x0 时, ,故 从而由于 f(x)在 x=0 的某邻域内连续，故有 f(0)=0，且所以 A 不正确由 可知在 x=0 的某邻域内有 ，即 f(x)0=f(0)，所以 f(0)=0 为极小值，x=0 为极小值点，故选 B2 【正确答案】 C【试题解析】 由题设知函数 在区间一 4，4上连续，在一 4，0)与(0，4内可导，且 从而函数 在区间一 4，一 1上单调增加，在区间一 1，1 上单调减少，然后又在区间1，4上单调增加，故 f(
8、x)在区间一 4，4上的左端点处不可能取得它在区间 一 4，4 上的最大值，且 f(1)是函数 f(x)在区间(一 4，4)内的极小值，故函数 在区间一4，4上的最大值就是 f(一 1)与 f(4)中的较大者因为 f(一 1)=4，而，由此即得 f(x)在区间 一 4，4上的最大值是 f(x 一 1)=4，故应选 C3 【正确答案】 C【试题解析】 由于函数 的定义域是(一，+)，故题设的曲线没有垂直渐近线现将曲线 y 的表达式改写成其中故且当 x0 时 y=1+g(x)，其中 当 x 因此题设的曲线当 x一时有方程为 y=12x 的斜渐近线，当 x+时有方程为 y=1 的水平渐近线即应选 C
9、4 【正确答案】 A【试题解析】 【分析一】考察 f(x)与 f(x)的关系设 x0，1，则由牛顿一莱布尼兹公式及 f(0)=0，有 由积分基本性质，并考虑到有 于是【分析二】同样考察 f(x)与 f(x)的关系由拉格朗日中值定理知当 x0，1时 f(x)=f(x)一 f(0)=f()x， (0， x)故选 A5 【正确答案】 A【试题解析】 等价向量组不能保证向量个数相同，因而不能保证线性无关例如向量组 1， 2,3， 41+2 与向量组 1， 2,3， 4 等价，但前者线性相关，因而不能是基础解系故 D 不正确B、C 均线性相关，因此不能是基础解系故 B 与C 也不正确注意到：( 1+2)
10、一( 2 一 3)一( 3 一 4)一( 4+1)=0，( 1+2)一( 2+3)+(3 一 4)+(4 一 1)=0，唯有 A， 1+2， 2 一 3， 3 一 4， 4 一 1 是 Ax=0 的解，又由( 1+2， 2 一 3， 3 一 4， 4 一 1)=(1， 2,3， 4) 且知 1+2， 2 一 3， 3 一 4， 4 一 1 线性无关，且向量个数与 1， 2,3， 4 相同所以 A 也是 Ax=0 的基础解系故选 A6 【正确答案】 C【试题解析】 因为矩阵 A 与 B 相似，所以它们有相同的特征值，故可排除B、D由 P-1AP=BP -1A=BP-1P -1A=BP-1，于是有
11、 B(P-1)=P-1(A)=(P-1)故应选 C7 【正确答案】 A【试题解析】 依题意有 又由题设即 解得 =一 1故选A8 【正确答案】 B【试题解析】 因总体服从正态分布 N(， 2)，则且于是故最小样本容量 n=8选 B二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 10 【正确答案】 【试题解析】 由 的值与 a 无关，所以 即等式 f(ab)b 一f(a)=0 对任意正数 a 成立，特别对 a=1 亦应成立，即对任何正数 b 有从而 验算可知 ，确实与a 无关11 【正确答案】 【试题解析】 对曲线方程求导，2(y 一 2)y=1，故 当 y=3 时，即曲线在点(1，3) 处的法线斜率
12、为一 2，由 ，得 代入曲线方程，有 所以切点坐标为 故直线方程为即12 【正确答案】 【试题解析】 题设方程可改写为 这是齐次微分方程，令 y=xu，则y=xu+u，代入即得 分离变量得从而原方程的通解为 它包含定义域分别为 x0 与 x将 y(1)=1 代入前者有 2arctan1=C，即得 故所求的特解为13 【正确答案】 27【试题解析】 由 可知矩阵 B 的特征值为 2，3，一 2又由矩阵 AB 知矩阵 A 的特征值亦为 2，3，一2故A=2.3.(一 2)=一 12那么，A *的特征值为 6，一 6，一 4，从而 A*+3E的特征值为 9，一 3，一 1于是A *+3E=9.(一
13、3).(一 1)=2714 【正确答案】 【试题解析】 以 Ai 表示第 i 个零件合格，i=1，2， 3，A i 相互独立，于是有，以 X 表示 3 个零件中合格品的个数，则三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 设切点坐标为 ，则切线斜率为 切线方程为 又因切线过点(1，0)，所以有 从而可知切点的横坐标 x0=3切线方程为16 【正确答案】 由二阶导数定义 及极限的不等式性质 0，当 x(x0，x 0+)且 xx0 时故 f(x)在17 【正确答案】 由假设条件及罗尔定理知，存在 a(0，1)，f (a)=0由 f(x)(x)在(0，1) 故有18 【正确答
14、案】 由题设可知，在极坐标系中 F(x， y)与 无关，于是再由F(x，y)=f(x)+g(y)得 代入式得由 f(x)=x，g (y)=y 分别得因此 F(x，y)=f(x)+g(y)=C(x 2+y2)+C0，其中 C与 C0 为 常数19 【正确答案】 【证法一】用反证法来证明本题由题设 f(x)在0，4上连续即知f(4 一 x)在0，4上连续，从而其和 f(x)+f(4 一 x)也在0，4上连续若不存在(0， 4)使 f()+f(4 一 )=0，则 f(x)+f(4 一 x)或在(0，4)内恒正，或在(0，4)内恒负，于是必有 但是 用换元 x=4 一 t 可得于是 由此得出的矛盾表明
15、必存在(0， 4)使得 f()+f(4 一 )=0【证法二】作换元 t=4 一 x，则 x：04 对应 t=4一 0，且 dx=一 dt，从而 由此即得 利用 f(x)+f(4 一 x)在0，4连续，由连续函数的积分中值定理即知存在 (0，4)使得20 【正确答案】 令 问题转化为求幂级数 的收敛域先求收敛区间，再考察收敛区间的端点求解如下：令 我们号察幂级数由 知 的收敛区间是 由于 时 发散(因为 发散 收敛)，而 时 收敛，因此 的收敛域是 又 ,对应 ，因此，原级数的收敛域是21 【正确答案】 可由 1,2,3,4 线性表出，即方程组 x11+x22+x33+x44= 有解对增广矩阵作
16、初等行变换，有所以向量 以由 1,2,3,4 线性表出的充分必要条件是： 1 一 2+3 一 4=022 【正确答案】 向量组 1,2,3,4 的极大线性无关组是： 1,2,3，而 4=一61+623323 【正确答案】 方程组的通解是：x 1=a1a2+2a36t，x 2=a22a3+6t，x 3=a33t，x 4=t，其中 t 为任意常数，所以 =(a1a2+2a36t)1+(a22a3+6t)2+(a33t)3+t4，其中 t 为任意常数由 把 4 代入，得 =(a1a2+2a3)1+(a22a3)2+a3324 【正确答案】 由矩阵 A 的特征多项式得到矩阵 A的特征值是 1=3， 2
17、=3=一 1由矩阵 B 的特征多项式得到矩阵 B 的特征值也是1=3， 2=3=一 1当 =一 1 时，由秩知(一 EA)x=0有 2 个线性无关的解，即 =一 1 时矩阵 A 有 2 个线性尢关的特征向量，矩阵 A 可以相似对角化而(一 EB)x=0 只有 1 个线性尢关的解，即 =一 1 时矩阵 B 只有1 个线性无关的特征向量，矩阵 B 不能相似对角化因此矩阵 A 和 B 不相似25 【正确答案】 因 X 与 Y 独立，所以有或于是(X，Y)的联合概率分布为26 【正确答案】 因 X 与 Y 独立，所以 PY=y1X=x 1=PY=yi，j=1 ，2，于是有【试题解析】 依题意，随机变量 X 与 Y 的可能取值分别为 x1，x 2 与 y1，y 2，且又题设 于是有PX=x1Y=y1=PX=x1，即事件 X=x1与事件Y=y 1相互独立，因而X=x 1的对立事件x=x 2与y=y 1独立，且X=x 1与 Y=y1的对立事件Y=y 2独立；X=x 2与Y=y2独立，即 X 与 Y 相互独立27 【正确答案】 由题设知, 购买 A 类商品的人数 Y 在进入超市的人数 X=m 的条件下服从二项分布 B(m，p)，即PY=kX=m=C mkpkqm-k，k=0，1，2，m；q=1 一 p由全概率公式有又因为当 m由此可知 Y服从参数为 p 的泊松分布，故 EY=p
