1、考研数学（数学三）模拟试卷 283 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)=(1+x2)x2 一 1， ，则 x0 时 f(x)是 g(x)的（A）高阶无穷小（B）低阶无穷小（C）同阶而非等价无穷小（D）等价无穷小2 曲线（A）仅有水平渐近线（B）仅有铅直渐近线（C）既有铅直又有水平渐近线（D）既有铅直又有斜近线3 设 则（A）I 21I1（B） I2I11（C） 1I2I1（D）1I 1I24 设有函数 f1(x)=lnx， ，f 3(x)=x2 一 3x2+x+1，f 4(x)=x一 1+lnx，则以 (1，0)为曲线拐点的函数有（A）1
2、 个（B） 2 个（C） 3 个（D）4 个5 a=一 5 是齐次方程组 有非零解的（A）充分必要条件（B）充分而非必要条件（C）必要而非充分条件（D）既非充分也非必要条件6 设 n 维列向量 矩阵 A=E 一 4T，其中 E 是 n 阶单位矩阵，若 n 维列向量 =(1，1，1) T，则向量 A的长度为（A）（B）（C） n（D）n 27 在区间(一 1，1) 上任意投一质点，以 X 表示该质点的坐标设该质点落在 (一1，1)中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比，则（A）X 与X相关，且相关系数p =1（B） X 与X相关，但1)所围成图形绕 x 轴旋转一周，所得旋转体的体积 Vx
3、等于弦 oP(P 为抛物线与直线 x=c 的交点)绕 x 轴旋转所得锥体的体积 V 椎 ，则 c 的值为_12 设平面区域 D=(x，y)x 3y1，一 1x1，f(x)是定义在一 a，a(a1)上的任意连续函数，则 =_.13 设 B 是 3 阶非零矩阵，满足 BA=0，则矩阵 B=_.14 设试验的成功率 P=20，现在将试验独立地重复进行 100 次，则试验成功的次数介于 16 次和 32 次之间的概率 =_(1)=08413，(3)=09987)三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 设15 讨论 f(x)的连续性，若有间断点并指出间断点的类型；16 判断 f(x)在(
4、一，1是否有界，并说明理由17 求由曲线 y=3 一 x2 与圆 x2+(y1)2=4 所围图形中含坐标原点那一部分的面积18 设函数 计算二重积分 其中D=(x，y) x 2+(y1)2119 判定级数 与级数 的敛散性20 设 f(x)在0，1上连续，在 (0，1)内可导，且 f(0)=0，f(1)=1，试证：对任意正数a，b，在(0，1)内存在不同的两点 ，使21 已知 A=(1,2,3,4)是 4 阶矩阵，其中 1,2,3,4 是 4 维列向量若齐次方程组Ax=0 的通解是 k(1，0，一 3，2) T，证明 2,3,4 是齐次方程组 A*x=0 的基础解系21 设 n 阶实对称矩阵
5、A 满足 A2=E，且秩 r(A+E)=k22 求二次型 xTAx 的规范形：23 证明 B=E+A+A2+A3+A4 是正定矩阵，并求行列式B的值23 设随机变量 X 的概率密度为 又随机变量 Y 在区间(0，X)上服从均匀分布，试求：24 随机变量 X 和 Y 的联合密度 f(x，y)；25 随机变量 Y 的概率密度 f2(y)；26 X，Y 的协方差 cov(X，Y) 26 设总体 X 的概率分布为 其中参数 未知且从总体 X 中抽取一个容量为 8 的简单随机样本，其 8 个样本值分别是1，0，1，一 1，1，1，2，1试求：27 的矩估值 ；28 的最大似然估计值 ；29 经验分布函数
6、 F8(x)考研数学（数学三）模拟试卷 283 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 这是考察如下的 型极限，由洛必达法则与等价无穷小替换得其中用了下面的等价无穷小替换：x0 时(1+x 2)x2 一 1ln(1+x 2)x2 一 1+1=x2ln(1+x2)x 4，故应选 B2 【正确答案】 D【试题解析】 (I)故有铅直渐近线x=1() 所以无水平渐近线()所以当 x+时，没有斜渐近线又所以当 x一时，曲线有斜渐近线 y=一 3(x+1)故选 D3 【正确答案】 B【试题解析】 将 1 也写成一个定积分 从而为比较 I1，
7、I 2，I 的大小，只要比较 的大小由于当 x0 时 所以只要比较当时 的大小考虑 由于所以 (x)0 当 时成立，于是 I2I11故选 B4 【正确答案】 D【试题解析】 首先 f1(1)=0，i=1，2，3，4，说明点(1，0)都在曲线上由lnx的图形容易判断(1，0) 是 f1(x)的拐点 令 f2(x)=0， x=1(x=一 1 不在定义域内 )，由于 f2(x)在 x=1 的左、右异号，故(1，0)是 f2(x)的拐点f 3(x)=3x2 一 6x+1，f 3(x)=6(x 一 1)，f 3(1)=0，又 f3(x)在 x=1 左右异号，故(1， 0)是 f3(x)的拐点对 f4(x
8、)求导比较麻烦，我们可以由 g(x)=x 一 1+lnx 来讨论 可知 ，故 g(x)的图形上凸，当 x(0，1)时 g(x)0，所以 f4(x)=g(x)的图形以(1，0)为拐点综上所述，应选D5 【正确答案】 B【试题解析】 n 个方程 n 个未知数的齐次方程组 Ax=0 有非零解 A=0 又可见 a=一 5 能保证A =0，但A=0 并不必须 a=一 5因而 a=一 5 是充分条件并非必要条件故应选 B6 【正确答案】 B【试题解析】 利用向量内积可计算出向量的长度由于又 ATA=(E 一 4T)T(E 一 4T)=(E 一 4T)(E 一 4T)=E 一 8T+16(T)T=E 一 8
9、T+8T=E，而所以 故应选 B注意7 【正确答案】 C【试题解析】 依题设 X 在一 1，1上服从均匀分布，其概率密度为由于故 cov(X，X1)=0 ，从而p=0，X 与X不相关于是可排除 A 与 B对于任意实数 a(0又 Px所以 X 与X 不独立，故应选 C8 【正确答案】 A【试题解析】 依题意，Y 1，Y 2，Y n，相互独立，其期望、方差都存在且EYi=1， ，符合切比雪夫大数定律成立的 i 个条件，即Y1，Y 2，Y n，相互独立；期望、方差都存在；对任何 i=1，2，方差DYi 都小于一个共同常数，因此 Y1，Y 2，Y n，满足切比雪夫大数定律故选 A由于 m1，m 2，不
10、一定完全相同，因此不能确定 Y1，Y 2，Y m 是否同分布，因而不能确定其是(要求 m1=m2=mn=，此时 Y1， 2，Y n，同分布)否(m 1，m 2，不全相同， Y1，Y 2，Y n，不同分布)一定满足辛钦大数定律二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 因 f(x)连续，且 x(1+x)可导，故题设的变限定积分可导，将恒等式两端求导，得(2x+1)f(x(1+x)=2x，即(*)令 x(1+x)=t，即 x2+x 一 t=0，解得当 x0 时可得 t=x(1+x)0，故应取正根，即 从而代入(*)式即得 ，把 t 换成 x 就得出函数10 【正确答案】 【试题解析】 将方程看成关于
11、变量 x 的恒等式，两端同时对变量 x 求导数可得(*)在(*) 式中令 x=0，又 y(0)=0，则有 y(0)=1-y(0)，于是 将(*)式看成关于变量 x 的恒等式，两端同时对变量 x 求导数又可得在(*)式中令 x=0，又 y(0)=0， y(0)= ，即得 2+2y(0)+y(0)=一 y(0)，于是11 【正确答案】 【试题解析】 图形如右图所示由题设知化简得 得12 【正确答案】 0【试题解析】 令 F(x)=(x+1)f(x)+(x-1)f(一 x)则 F(一 x)=(一 x+1)f(一 x)+(-x-1)f(x)=一(x 一 1)f(一 x)+(x+1)f(x)=一 F(x
12、)即 F(x)为奇函数其中 1 一 x6 为偶函数，F(x)为奇函数，因此被积函数为奇函数，在对称区间上的积分为零13 【正确答案】 其中 k1，k 2，k 3 不全为 0【试题解析】 由 BA=0 知 r(B)+r(A)3又由 B0 知 r(B)1显然 A 中有 2 阶子式非 0，知 r(A)2故必有 r(A)=2，r(B)=1由 得a=1因 ATBT=0，所以齐次线性方程组 ATx=0 的解就是 B 的行向量又由可知 ATx=0 的通解为 k(一 1，1，1) T故其中 k1， k2，k 3 不全为 014 【正确答案】 0.84【试题解析】 以 X 表示“100 次独立重复试验成功的次数
13、 ”，则 X 服从参数为n=100，p=0 20 的二项分布，且 根据棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理可知随机变量 近似服从分布 N(0，1)，于是 其中 (u)是标准正态分布函数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 当 x0，x1 时，显然 f(x)连续在 x=0 处，由f(x)在点 x=0 处不连续，且点 x=0 是 f(x)的笫一类间断点在 x=1 附近，由f(x)在点 x=1 处既左连续义右连续，于是 f(x)在点 x=1 处连续因此 f(x)在(一，0) ，(0，+)连续 x=0 是 f(x)的第一类问断点16 【正确答案】 题(I)中已证明这个分段函数在
14、( 一，0，(0，+)连续，且存在，要判断 f(x)在( 一，1上的有界性，只需再考察 ，即因 f(x)在(一，0连续，又 存在f(x)在( 一，0有界f(x) 在(0，1连续，又 存在f(x) 在(01有界因此 f(x)在(一，1有界【试题解析】 先求 当 0 当 x=1 时当 x1 时 于是17 【正确答案】 先求抛物线与圆的交点由 y=3 一 x2 与x2+(y 一 1)2=4 可得 x2+(2 一 x)2=4，即 x2(x2 一 3)=0，从而 x=0， ，因此两曲线的交点分别为(0，3) ， ， x 轴下方圆的曲线方程为图形关于 y 轴对称，因此令 x=2sin，则,于是 所以18
15、【正确答案】 如图所示，设在直线 y=1 下方的部分记为 D1，在 y=1 上方的部分记为 D2，且 D2 在 y 轴右侧的部分记为 D2，于是19 【正确答案】 利用通项分拆法处理本题中两个级数的通项由泰勒公式并令 可得从而级数 可分解为阿个级数 与 之差，因为这两个级数都是收敛的，所以级数收敛又因从而级数就可分解为两个级数 与级数之和由莱布尼兹判别法知交错级数 收敛，利用当 n时, 可知正项级数 与正项级数 有相同的敛散性，即此级数发散再利用级数的运算性质即知级数是发散的综上所述可得结论级数 收敛，而级数 发散20 【正确答案】 按要证的结论，我们需要找一点 e(0，1)，分别在0 ，e
16、与e，1上用拉格朗日中值定理 (0，c)，(c ，1)使得于是 问题转化为如何取 c，使 即 只需取 c 使得 也即只需取 c 使得 因为 a0，b0 ，定有在0，1 上连续，f(0)=0，f(1)=1，由介值定理可知 ，使，取这样的 c,命题即得证21 【正确答案】 由解的结构知 nr(A)=1，故秩 r(A)=3又由得 133+24=0 因 A*A=A E=0，即A*(1,2,3,4)=0，故 2,3,4 都是 A*x=0 的解由 1=3324 与 r(A)=3 有A=(1， 2， 3， 4)=(3324,2， 3， 4(0 ， 2， 3， 4)，可知 2， 3， 4 线性尤关由 r(A)
17、=3 得 r(A*)=1，那么 n 一 r(A*)=3综上可知， 2,3,4 是 A*x=0 的基础解系22 【正确答案】 设 A 为矩阵 的特征值，埘应的特征向量为 ，即Aa=，0，则 2=2由于 A2=E，从而( 2 一 1)=0又因 0，故有 2 一1=0，解得 =1或 =一 1因为 A 是实埘称矩阵，所以必可对角化，且秩 r(A+E)=k，于是 那么矩阵 A 的特征值为：1(k 个)，一 1(n一 k 个)故二次型 xTAx 的规范形为 y12+yk2 一 yk+12 一一 y223 【正确答案】 因为 A2=E，故 B=E+A+A2+A3+A4=3E+2A所以矩阵 B 的特征值是：5
18、(k 个) ， 1(n 一 k 个)由于 B 的特征值全大于 0 且 B 是对称矩阵，因此 B 是正定矩阵，且B=5 k.1n-k=5k24 【正确答案】 由条件知，对任意 x0，随机变量 Y 关于 X=x 的条件分布是区间(0，x)上的均匀分布，故 由条件密度函数的乘法公式，有25 【正确答案】 当 y2(y)=0；当 y0时， 所以由此可知，Y 服从参数为 =2的指数分布26 【正确答案】 由于 Y 服从指数分布，=2，故 又 于是27 【正确答案】 EX=一 2+12+2=12 我们用样本均值作为总体期望的矩估计值，用样本均值的函数作为总体期望同一函数的矩估计值，而 因此 的矩估计值为28 【正确答案】 对于给定的样本值 x1，x n，其似然函数为令得方程 202 一 230+4=0，解得于是 的最大似然估计值为29 【正确答案】 由于经验分布函数 于是有
