1、考研数学（数学三）模拟试卷 285 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)与 x 为等价无穷小，且 f(x)x，则当 x0 +时，f(x) x 一 xx 是（A）比 f(x)一 x 高阶的无穷小（B）比 f(x)一 x 低阶的无穷小（C）比 f(x)一 x 同阶但不等价的无穷小（D）与 f(x)一 x 等价的无穷小2 设 f(x)=minsinx，cosx，则 f(x)在区间0 ，2内（A）没有不可导的点（B）只有 1 个不可导的点（C）共有 2 个不可导的点（D）共有 3 个不可导的点3 设 f(x)为恒大于零的可微函数，当 时，恒自 f(
2、x)sjnx 时，下列不等代恒成立的是（A）（B）（C）（D）4 设 m，与 n 是正整数，则（A）（B）（C）（D）5 设 B 是 2 阶矩阵，且满足 AB=B，k 1，k 2 是任意常数，则 B=（A）（B）（C）（D）6 设矩阵 A 是秩为 2 的 4 阶矩阵，又 1,2,3 是线性方程组 Ax=b 的解，且 1+2一 3=(2，0，一 5，4) T， 2+23=(3，l2，3，3) T， 321=(2，4，1，一 2)T，则方程组 Ax=b 的通解 x=（A）（B）（C）（D）7 设随机变量 X 服从正态分布 N(，2 2)，X 1，X 2，X 10 是来自 X 的简单随机样本，若 P
3、X 则 =（A）（B）（C）（D）58 没随机变量 X1，X 2，X n，相互独立， ，则当 n 时 Yn 以正态分布为极限分布，只要 X1，X n，（A）服从同一离散型分布（B）服从同一连续型分布（C）服从同参数的超几何分布（D）满足切比雪夫大数定律二、填空题9 设 则 du (1.1.1)=_.10 已知 y1=xex+ex，y 2=xex+e-x，y 3=xex+e2xe-x 是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，则此微分方程为_11 差分方程 满足条件 y0=5 的特解是_12 由于折旧等因素，某机器转售价格 P(t)是时间 t(周)的减函数其中 A 是机器的最初价格，在任何时间 t，机
4、器开动就能产生的利润，则使转售出去总利润最大时机器使用的时间 t=_周(1n20693)13 与矩阵 可以交换的矩阵是_14 掷一枚不均匀的硬币，设正面出现的概率为 P，反面出现的概率 q 为 q=1 一P，随机变量 X 为一直掷到正面和反面都出现为止所需要的次数，则 X 的概率分布刀_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 已知极限 求常数 a，b，c 16 设 f(x)=arccosx 且 f(0)=0，求定积分16 设函数 y(x)在(一，+)内有二阶导数，且 y0，x=x(y)是 Y=y(x)的反函数17 试将 x=x(y)所满足的方程 变换成 y=y(x)所满足的微分
5、方程；18 求解变换后的微分方程的通解18 设函数 其中 n=1，2，3，为任意自然数，f(x)为0，+)上正值连续函数求证：19 Fn(x)在(0 ，+)存在唯一零点 x0；20 收敛；21 22 求二元函数 F(x，y)=zye -(x2+y2)在区域 D=(x，y)x0，y0上的最大值与最小值23 已知 A=(1,2,3,4)是 4 阶矩阵， 1,2,3,4 是 4 维列向量，若方程组 Ax= 的通解是(1 ，2，2，1) T+k(1，一 2，4，0) T，又 B=(3， 2， 1， 一 4)，求方程组Bx=1 一 2 的通解23 已知矩阵24 求可逆矩阵 P，使(AP) T(AP)为对
6、角矩阵；25 若 A+kE 正定，求 k 的取值26 设 X，Y 相互独立且同服从0，(0)上的均匀分布，求 Emin(X，Y) ，Emax(X，Y)27 设总体 X 的概率函数为 又X1，X 2，X n 是取自总体 X 的简单随机样本，求未知参数 的矩估计量考研数学（数学三）模拟试卷 285 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 由于 f(x)x，所以 f(x)=x1+(x)，其中当 x0 时，(x)0于是其中，当x0 时1+(x) x 一 1x(x)因此f(x) x 一 xx 与 f(x)一 x 为等价无穷小故选 D2 【
7、正确答案】 C【试题解析】 【分析一】在0，2 上，画出 y=sinx 与 y=cosx 的图形，立即可得y=f(x)的图形由图形直接看出，两个交点为 y=f(x)图形的尖点，因而是不可导点，其他均为可导点应选 C【分析二】 写出 f(x)的表达式f(x)是一个分段函数，有两个分界点又 f(x)在0 ，2 上连续，在除分界点外其余各点处均可导，但f(x)在 的左导数 由于连续，它在 的右导数 即在 不可导，类似可得 f(x)在也不可导故应选 C3 【正确答案】 D【试题解析】 由 f(x)sinx 从而单调减，故有 由以上不等式可知，A、B、C 不一定成立，而 D 式一定成立4 【正确答案】
8、B【试题解析】 用分部积分法计算这里积分下限 0 是瑕点，从而在积分下限处都理解为求极限 继续进行分部积分可得 故应选 B5 【正确答案】 D【试题解析】 由 AB=B 有(AE)B=0 ，因而 B 的列向量是齐次方程组 (AE)x=0的解又 那么齐次方程组(AE)x=0 的基础解系是(一1，1) T，所以应选 D6 【正确答案】 A【试题解析】 由于 n 一 r(A)=42=2，故方程组 Ax=b 的通解形式应为+k11+k22这样可排除 C，D因为 A (2+23)=b，A( 321)=一 b，所以 A中(1， 4，1，1) T 和 B 中(一 2，一 4，一 1，2) T 都是方程组 A
9、x=b 的解A 和 B 中均有(2 ，2，一 2，1) T，因此它必是 Ax=0 的解只要检验(1，一 4，一 6，3) T 和(1，8， 2，5) T 哪一个是 Ax=0 的解就可以了由于 3(1+2 一 3)一( 2+23)=3(13)+2(2 一 3)是 Ax=0 的解，所以 (3，一 12，一 18，9) T 是 Ax=0 的解那么(1，一 4，一 6，3) T 是 Ax=0 的解故应选 A7 【正确答案】 B【试题解析】 通过计算 确定 的值依题设故所以应选 B8 【正确答案】 C【试题解析】 根据林德伯格一列维中心极限定理，如果 X1，X 2，X n，相互独立同分布且期望、方差都存
10、在，只有 C 满足该定理条件，因此应选 C二、填空题9 【正确答案】 一 dx+dy【试题解析】 则 于是10 【正确答案】 y 一 y一 2y=(12x)ex【试题解析】 y 1 一 y2=e2xe -x，1 一 y3=e-x 都是相应齐次方程的解而(y 1y2)+(y1一 y3)=e2x 也是齐次方程的解，e 2x 与 e-x 是两个线性无关的解，而 y2=xex+e-x 是非齐次方程的解，从而 y2 一 e-x=xex 也是非齐次方程的解，由 e-x，e 2x 是齐次方程的解，可知特征根 r1=一 1，r 2=2，特征方程为(r+1)(r 一 2)=0，即 r2 一 r 一 2=0设所求
11、非齐次方程为 y一 y一 2y=f(x)将非齐次解 xex 代入，得 f(x)=(xex)一(xe x)一2xex=(12x)ex 故所求方程为 y一 y一 2y=(12x)ex11 【正确答案】 【试题解析】 根据题设差分方程的特点，可设其通解形式为，其中 A，B，C 是待定常数，于是，把它们代入方程可得令，即可确定常数 A=一 1，B=17即差分方程的通解为 再利用条件 y0=5 又可确定常数C=6故所求特解是12 【正确答案】 333【试题解析】 假设机器使用了 t 周后出售，在时间t，t+dt内机器开动产生的利润为 于是总收益为 由令 f(t)=0，得t=961n32333当 (t)0
12、；当 t961n32 时，f (t)13 【正确答案】 其中 t，u 是任意实数【试题解析】 设矩阵 与矩阵 A 可交换，即 AB=BA，亦即即 即由 令 b2=t，b 4=u，解出 b2=一 2t， b1=4t+u所以 其中 t，u 是任意实数14 【正确答案】 PX=k=Pq(P k-2+qk-2)k=2，3， 【试题解析】 易知 X 的取值为 2，3，而X=k表示前 k 一 1 次出现的是正面而第 k 次出现的是反面，或前 k 一 1 次出现的是反面，而第 k 次出现的是反面，于是有 PX=k=Pk-1q+qk-1P=pq(pk-2+qk-2)，k=2 ，3，三、解答题解答应写出文字说明
13、、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 【分析与求解一】用洛必达法则由b+c=0 (否则 I=，不合题意)继续用洛必达法则 3ac=0 (否则 I=，不合题意)再用洛必达法则 由， 式b= 一10， 【分析与求解二】用泰勒公式 已知代入得16 【正确答案】 求解本题的关键是把积分 中的 f(x)转换为 f(x)，因此需用分部积分法 其中利用以上结果就有17 【正确答案】 由反函数求导公式 即 ，再对 x 求导，有从而有 代入原方程即 y一 y=sinx18 【正确答案】 y 一 y=sinx 对应齐次方程 y一 y=0 的特征根为 r=1，因此对应齐次方程通解为 y=c1ex+c2e-x在
14、y一 y=sinx 中，由于 r=i 不是相应齐次方程的特征根，因此它有形如 y=Acosx+Bsinx 的特解，将其代入 y一 y=sinx 中，可得，因而方程 y一 y=sinx 有特解 y*= 故方程 y一 y=sinx 的通解为【试题解析】 本题主要利用反函数求导和复合函数求导公式推导出之间的联系，再代入方程使之简化，从而将非常数系数方程化为常系数线性微分方程再求解19 【正确答案】 F n(x)存0，+) 内可导(也就必然连续) ，又故 Fn(x)在 存在零点，记为 xn，则Fn(xn)=0又 从而 Fn(x)在0，+)单调上升，因此 Fn(x)在(0，+)有唯一零点，就是这个 x.
15、20 【正确答案】 在前面的证明中已得估计式 因 收敛，由比较原理知 收敛又 ln(1+xn)x n(n) ，故 收敛21 【正确答案】 方法 1。前面已导出 从而对x0 有 又 故方法 2。直接由同样得22 【正确答案】 区域 D 在平面直角坐标系 Oxy 上的第一象限，区域 D 有两条边界 F1=(x，0)x0 与 F2=(0，y)y0 ，它们分别是平面直角坐标系 Oxy 的 x 轴与 y 轴的正半轴在这两条边界上 F(x，y)=0 又因由于当 x2+y2+时，从而又有 是 在区域 D 内，由于 仅有唯一解，这表明 F(x，y)在区域 D 内仅有唯一驻点 在此点处注意 比 F(x，y)在
16、D 的两条边界上的函数值以及当(x，y)在区域内趋向无限远处函数 F(x,y)的极限值都要大，可见 是 F(x,y)在。上的最大值又因在 DEF(x，y)非负，所以其最小值在 x 轴与 y 轴的正半轴上取到，即F(x，y)在 D 上的最小值为 023 【正确答案】 由方程组 Ax= 的解的结构，可知 r(A)=r(1,2,3,4)=3，且1+22+23+4=， 1 一 22+43=0因为 B=(3， 2， 1， 一 4)=(3， 2， 1， 1+22+23)，且 1， 2， 3 线性相关，而知秩 r(B)=2由知(0，一 1，1，0) T 是方程组 Bx=12 的一个解又由 可知(4，一2，1
17、，0) T，(2，一 4，0，1) T 是 Bx=0 的两个线性无关的解故 Bx=1 一 2 的通解是：(0 ，一 1，1，0) T+k1(4，一 2，1，0) T+k2(2，一 4，0，1) T24 【正确答案】 因为 AT=A，则(AP) T(AP)=PTATAP=pTA2P，又构造二次型 zTA2x=x12+x22+5x32+20x42+20x3x4，经配方，有xTA2X=x12+x22+5(x3+2x4)2，那么，令 即 则二次型化为标准形 xTA2x=y12+y22+5y32，于是，二次型合同故其中25 【正确答案】 由E A=( 2 一 1)( 一 5)，知矩阵 A 的特征值为：1，5，0，一 1，进而可知 A+kE 的特征值为 k+1， k+5，k，k 一 1于是由 A+kE正定可知，k126 【正确答案】 由于 X，Y 相互独立，且都服从0，上的均匀分布，故可得(X， Y)的联合密度 故27 【正确答案】 由于不能用EX 的初等函数将 表示出来，所以要再计算 x 的二阶矩，即解方程 可得 于是 的矩估计量为
