1、考研数学（数学三）模拟试卷 286 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设图形(a)，(b)，(c)如下： 从定性上看，若函数 f(x)在0 ，1内可导，则 与 y=f(x)的图形分别是（A）(a)，(b)，(c)（B） (a)，(c)，(b) （C） (b)，(a) ，(c)（D）(c)，(a)，(b)2 设 f(x)是( 一，+)上连续的偶函数，且f(x)M 当 x(一，+)时成立，则F(x)=（A）无界偶函数（B）有界偶函数（C）无界奇函数（D）有界奇函数3 设 则 f(x)在( 一，+)内（A）没有零点（B）只有一个零点（C）恰有两个零点（D）
2、恰有三个零点4 设 f(x)在0，1上连续，且 f(x)+f(1 一 x)0，则（A）0（B）（C）（D）15 已知 ，则代数余子式 A21+A22=（A）3（B） 6（C） 9（D）126 已知 1,2,3,4 是 3 维非零向量，则下列命题中错误的是（A）如果 4 不能由 1,2,3 线性表出，则 1,2,3 线性相关（B）如果 1,2,3 线性相关， 2,3,4 线性相关，那么 1,2,4 也线性相关（C）如果 4 不能由 1， 2 线性表出， 4 不能由 2， 3 线性表出，则 1 可以由2， 3， 4 线性表出（D）如果秩 r(1， 1+2， 2+3)=r(4， 1+4， 2+4，
3、3+4)，则 4 可以由1， 2， 3 线性表出7 设随机变量 X 服从参数为 A(0)的指数分布，事件 A=X0，B=X2，C=X1 （C） =1 （D）0)所围图形绕 x 轴旋转一周与绕 Y 轴旋转一周所得旋转体体积相等，则 m=_10 已知级数 与反常积分 均收敛，则常数 P 的取值范围是_11 D 是由 y=x，y=0 ，x=1 所围成的区域，则 =_.12 若一条二次曲线把(一，0)内的曲线段 y=en 和(1，+)内的曲线段 连结成一条一阶可导的曲线，则定义在0，1上的这条二次曲线为_13 已知三元二次型 xTAx=x12+x22+x32+2x1x3+2ax1x3+2x2x3 的秩
4、为 2，则其规范形为_14 设随机变量 X 取非负整数值的概率为 Px=n=an，则 EX=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 求 F(x)(X一 1，x0)并讨论 F(x)在( 一1，+)上的连续性16 求通过点(1，1) 的曲线方程 y=f(x)(f(x)0)，使此曲线在1，x上所形成的曲边梯形而积的值等于曲线终点的横坐标 x 与纵坐标 y 之比的 2 倍减去 2，其中 x117 计算二重积分 其中 D 是由 x2+y2=1 的上半圆与 x2+y2=2y 的下半圆围成的区域18 设幂级数 的系数a n满足 an=2，na n-1=n 一 1，n=1，2，3，求此幂
5、级数的和函数 S(x)，其中 x(一 1，1) 19 设函数 y(x)在a ，b 上连续，在(a，b)内二次可导，且满足其中函数 p(x)，q(x)与 f(x)都在a ，b上连续，且存在常数 qn0 使得 q(x)qn 存存常数 F0 使得f(x)F求证：当 xa，b 时20 已知矩阵 有三个线性无关的特征向量，求 a 的值，并求 An20 已知三元二次型 f(x1，x 2，x 3)=xTAx 其矩阵 A 各行元素之和均为 0，且满足AB+B=0，其中21 用正交变换把此二次型化为标准形，并写出所用正交变换；22 若 A+kE 正定，求后的取值22 掷 3 颗骰子，X 表示 3 颗中掷出奇数点
6、的骰子数，令随机变量又设 Z=(X1)223 求(X，Y)的联合概率分布；24 求在 Y=1 条件下关于 Z 的条件分布24 进行独立重复试验直到试验取得首次成功为止，设每次试验的成功率都是p(00(x0，1)f (x)0 但 C 中 x 轴下方有图像，故(a)不是 y=f(x)的图形，于是 A，B 均不正确若(b)是 y=f(x)的图形，则 f(x)有唯一最大值点 x0(0，1)，f(x)在0 ，x 0单调上升,在x 0，1 单调下降，且f(x)0(x(0，1) ，故 且单调上升(x 0， 1)，f (x)0(x(0，x 0)，f (x0)=0， f(x)0(x(x0，1) 因此 C 是正确
7、的若 C 是 y=f(x)的图形，则 f(x)在0，1单调下降，于是 f(x)0因此 D 不正确，故应选 C2 【正确答案】 B【试题解析】 首先讨论 F(x)的奇偶性注意 x 有可见 F(x)是(一，+)上的偶函数这样就可排除 C 与 D其次讨论 F(x)的有界性因 F(x)是( 一 ，+) 上的偶函数，所以可限于讨论 x0 时 F(x)的有界性由于 由此可知，F(x)也是(一，+)上的有界函数故应选 B3 【正确答案】 C【试题解析】 求 f(x)，分析其单调性区间由于 因此 x=一 1 是 f(x)的最小值点，且 又由连续函数的介值定理知，在(一，一 1)与( 一 1，+)内必存在 f(
8、x)的零点又因 f(x)在(一 ，一 1)与( 一 1，+)均单调，所以在每个区间上也只能有一个零点因此，f(x)在(一，+)恰有两个零点故应选 C4 【正确答案】 B【试题解析】 该积分不可能直接计算，需作变量替换得出一个类似的积分，二者合并后消去 f(x)令 1 一 x=t，x=1 一 t 则所以 故选B5 【正确答案】 B【试题解析】 对行列式A按第 2 行展开，有 2A21+2A22+A23+A24=9构造行列式 则A和B第 2 行元素代数余子式相同对 B按第 2 行展开，又有 A21+A22+2A23+2A24=B=0联立 ，可得A21+A22=6故选 B6 【正确答案】 B【试题解
9、析】 例如 1=(1，0，0) T， 2=(0，1，0) T， 3=(0，2，0) T， 4=(0，0，1)T，可知 B 不正确应选 B关于 A：如果 1,2,3 线性无关，又因 1,2,3,4 是 4个 3 维向量，它们必线性相关，而知 4 必可由 1,2,3 线性表出关于 C：由已知条件，有(I)r( 1,2)r(1,2,3，(II)r( 2,3)r(2,3,4)若 r(2,3)=1，则必有r(1,2)=r(1,2,3,1,2,3)，与条件(1)矛盾故必有 r(2,3)=2那么由(11)知r(2,3,4)=3，从而 r(1,2,3,4)=3因此 4 可以由 2,3,4 线性表出关于 D 经
10、初等变换有( 1， 1+2， 2+3)( 1， 2， 2+3)( 1,2,3)，(4， 1+4， 2+4， 3+4)(4， 1， 2， 3)( 1,2,3,4)，从而 r(1,2,3)=r(1,2,3,4)因而 4 可以由 1,2,3 线性表出7 【正确答案】 B【试题解析】 依题设，A=，PA=1，PD=0，由于概率为 0 或 1 的事件与任何事件都是相互独立的，故应选 B又因 C=B，且 PB 与 PC 均大于零，因此 P(BC)=0PBPC，即 B 与 C 不独立，因此选项 A、C、D 均不正确8 【正确答案】 B【试题解析】 【分析一】由 又从而有 PX0，故 1因此选 B【分析二】又
11、当 时，则有 ，从而 故选 B二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 图形如右图所示 曲线与直线的两个交点分别为 由 Vx=Vy，得10 【正确答案】 00 就符合莱布尼兹判别法的要求，因而收敛而当 p0 时，该级数的通项不趋于零，所以一定发散又对于来说，直接计算即可知：p11 【正确答案】 【试题解析】 区域 D 如右图所示三角形12 【正确答案】 y=一 x2+x+1【试题解析】 设二次曲线为 y=ax2+bx+c 则 由 f(x)的连续性，在点 x=0 处有 e0=c，则 c=1；在点 x=1 处有 a+b+c=1，可知 a+b=0由于导性f +(0)=b，f -(0)=e0=1，故由
12、 f+(0)=f-(0)得 b=1，a=一 1，所以二次曲线为 y=一x2+x+113 【正确答案】 y 12 一 y32【试题解析】 二次型矩阵 因为A =(a+2)(a 一 1)2，由秩 r(A)=2，易见 a=一 2由 可知矩阵 A 的特征值为 3，一 3，0从而正交变换下二次型标准形为 3y12 一 3y22，故其规范形为 y12一 y3214 【正确答案】 2【试题解析】 先求 a 的值再求 EX由将 代入，得 EX=2三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 先将 F(x)转化为变限积分，令 s=xt，则下面讨论 F(x)的连续性因 ln(1+s)，sl
13、n(1+s)当 t一 1 时连续，于是由式及变限积分的连续性与连续性运算法则知当 x一 1 且 x0 时 F(x)连续余下只需再求F(0)并考察 F(x)在点 x=0 处的连续性注意 F(0)=0，且从而 F(x)在点 x=0 处连续又 于是 F(0)= ，因此 ，F (x)在点 x=0 处连续这就证明了 F(x)在(一 1，+)上连续16 【正确答案】 由题意得 对方程两边求导得上式分离变量得 ，即两边积分，得 即由 y x=1=1 得 C=1，故所求曲线方程为 y2=x2y 2 一 2考虑到函数在 x=1 处有定义，且 f(x)0，曲线方程为17 【正确答案】 因区域 D 关于 y 轴对称
14、， 为偶函数 对 D1，D 2 引入极坐标所以18 【正确答案】 求解本题的关键是确定幂级数 的系数an(n=0，1，2，)为此在系数的递推公式 nan=an-1+n 一 1 中依次令 n=1，2，3 即得 a1=an=2， 由此可猜想 都成立用数学归纳法只需证明若 成立，则 也成立即可事实上，由(n+1)a n+1=an+n 可得即系数a n的递推公式埘任何 n2 成立从而幂级数 即和函数19 【正确答案】 由 y(x)在a ，b上连续知 y(x)在a，b上取得它的最大值与最小值，即存在 x1a，b 使得 y(x1)是 y(x)在a ，b上的最大值，又存在 x2a，b使得 y(x2)是 y(
15、x)在a， b上的最小值无妨设最大值 y(x1)0，而最小值 y(x2)1(a，b)，x2(a，b)由极大值的必要条件可得 y(x1)=0，y (x1)0，从而在最大值点 x=x1 处有 f(x1)=y(x1)+P(x1)y(x1)一 q(x1)y(x1)=y(x1)一 q(x1)y(x1) q(x1)y(x1)=y(x1)一 f(x1)一 f(x1) 类似由极小值的必要条件可得 y(x2)=0，y (x2)0，从而在最小值点 x=x2 处有 f(x2)=y(x2)+P(x2)y(x2)一 q(x2)y(x2)=y(x2)一 q(x2)y(x2) q(x2)y(x2)=y(x2)一 f(x2)
16、一 f(x2) 综合以上的讨论即得当 xa，b时有20 【正确答案】 由矩阵 A 的特征多项式可知矩阵 A 的特征值是1，1，2因为 A 有 3 个线性无关的特征向量，故 A 可化为相似对角矩阵对应重根 1=2=1，应该有 2 个线性无关的特征向量于是 r(1 一 EA)=32=1，即r(EA)=1又 故 a=1由(EA)x=0，即得基础解系 1=(1，0，1) T， 2=(0，1，0) T由(2EA)x=0，即 得基础解系 3=(2，一 1，3) T那么令P=(1， 2， 3)，有 P-1AP=A= 从而 A=PAP-1于是 An=PAnP-121 【正确答案】 因为 A 各行元素之和均为
17、0，即 由此可知 =0 是A 的特征值 1=(1，1，1) T 是 =0 的特征向量由 AB=一 B 知一 1 是 A 的特征值，2=(1， 0，一 1)T， 3=(0，1，一 1)T 是 =一 1 的线性无关的特征向量因为2， 3 不正交，将其正交化有 1=2=(1，0，一 1)T，再单位化，可得那么令 则有 xTAx=yTAy=一 y22 一 y32.22 【正确答案】 因为 A 的特征值为一 1，一 1， 0，所以 A+kE 的特征值为 k 一1，k 一 1，k那么 A+kE 正定的充分必要条件是 k123 【正确答案】 该试验的样本空间共有 8 个等可能的样本点，即 =(奇、奇、奇)，
18、(奇、奇、偶) ，(奇、偶、奇) ，(偶、奇、奇)，(奇、偶、偶)，(偶、奇、偶)，(偶偶、奇)，( 偶、偶、偶 )，X 的取值为 0，1，2，3；Y 只取一 1 与 1 两个值，且事件X=0，Y=一 1表示3 次均掷出偶数点，且奇数点次数不大于偶数点次数，因此 PX=0，Y=一 1=P3 次均为偶数点=类似地可以计算出其他 pij 的值(i=0，1，2，3，i=一 1，1)列于下表中，即得(X ，Y)的联合概率分布为24 【正确答案】 由于 Z=(X 一 1)2 的取值为 0，1， 4，并且由计算得或于是在 Y=1 条件下 Z的条件分布为25 【正确答案】 试验成功率 p 的矩估计量 ，相应矩估计值为26 【正确答案】 最大似然函数 L(x1，x 10；p)，简记为 L，则解似然方程 可得 于是试验成功率 p 的最大似然估计值 ，根据最大似然估计的不变性，其试验失败率 q 的最大似然估计值为【试题解析】 依题意，试验总体 X 服从参数为 P 的几何分布，即 PX=m=Pqm-1，其中 m=1，2，q=1 一 P题中数据就是从总体 X 中取出的样本值，样本容量 n=10其未知参数 P 的矩估值与 q 的最大似然估计值待求
