1、考研数学（数学三）模拟试卷 287 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 已知当 x0 时, 是 xn 的同阶无穷小量，则 n 等于（A）3（B） 4（C） 5（D）62 设 f(x)是区间 上的正值连续函数，且若把 I，J，K 按其积分值从小到大的次序排列起来，则正确的次序是（A）I，J，K（B） J，K，I（C） K，I ，J（D）J，I ，K3 设 则 fx(1，1)=（A）1（B） 0（C）一 1（D）4 已知幂级数 在 x0 时发散，且在 x=0 时收敛，则（A）a=1 （B） a=一 1（C）一 1n中正确的是（A）（B） （C） （D）二、
2、填空题9 设 ，则 =_.10 11 设 u= sin(x2+y2)，其中 z=z(x，y)是由方程 3x2+2y2+z2=6 确定的隐函数，且z(1， 1)=1，则12 微分方程 满足 y(0)=一 1 的特解是_.13 已知 ，那么矩阵 A=_14 在一次晚会上，有 n(n3)对夫妻做一游戏，将男士与女士随机配对，则夫妻配成埘的期望值为三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 设 b 为常数15 求曲线 L: 的斜渐近线 l 的方程；16 设 L 与 l 从 x=1 延伸到 x+之间的图形的面积 A 为有限值，求 b 及 A 的值17 若曲线 与 x 轴 y 轴及直线 所围图
3、形的面积被曲线y=asinx,y=bsinx(ab0)三等分，求 a 与 b 的值18 设 z=z(x，y)是由 9x2 一 54x)，+90y 2 一 6yz 一 z2+18=0 确定的函数，求z=z(x，y) 的极值点和极值19 设积分区域 D=(x，y)x 2+y2x+y，计算二重积分19 设数列a n，b n满足 ean=ean 一 an(n=1，2，3，)，求证：20 若 an0，则 bn0；21 若 an0(17,=1，2，3，)， 收敛，则 收敛21 设22 求矩阵 A 的特征值与特征向量；23 当 时，求矩阵 B；24 求 A10024 设 A 为三阶方阵， 为三维列向量，已知
4、向量组 ，A，A 2 线性无关，且A3=3A 一 2A2证明：25 矩阵 B=(，A，A 4)可逆；26 BTB 是正定矩阵27 设随机变量 X1 与 X2 相互独立且都服从(0，)上的均匀分布，求边长为 X1 和 X2的矩形周长的概率密度27 有甲、乙、丙三个口袋，其中甲袋装有 1 个红球，2 个白球，2 个黑球；乙袋装有 2 个红球，1 个白球，2 个黑球；丙袋装有 2 个红球，3 个白球现任取一袋，从中任取 2 个球，用 X 表示取到的红球数，Y，表示取到的白球数，Z 表示取到的黑球数。试求：28 (X， Y)的联合分布；29 cov(X，Y)+cov(Y，Z)考研数学（数学三）模拟试卷
5、 287 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 本题即要确定正的常数 n，使得 为非零常数这是 型极限，用洛必达法则及变限积分求导法得其中 In(1+x3)x3(x0)因此，n=6应选D2 【正确答案】 D【试题解析】 用换元法化为同一区间上的定积分比较大小为此在中令 arcsinx=t，由于 且 dx=d(sint)=costdt 代入可得 与此类似，在 由于，且 dx=d(tant)= 代入可得 由 f(x)0 且当 时 0 上 f(x)cosx 从而积分值 J3 【正确答案】 D【试题解析】 先求 f(x，y) 的表达式
6、，为此令 从而解得代入题设中故4 【正确答案】 B【试题解析】 由 知该幂级数的收敛半径为 1，从而得其收敛区间为xa 收敛；当 x 一 a=一 1 即 x=a 一 1 时，原级数为，发散因此，原级数的收敛域为 a 一 10 时级数发散，可知x=0 是其收敛区间的一个端点，且位收敛域内闪此只有 a+1=1 即 a=一 1故选B5 【正确答案】 D【试题解析】 由于 故 A 可逆 A 的特征值不为 0由 A 的特征值为1，一 1，一 2，可知 2A+E 的特征值为 3，一 1，一 3所以 2A+E 可逆故选D6 【正确答案】 C【试题解析】 向量组等价的必要条件是秩相等，等价与向量的个数无关例如
7、：向鲢组(1 ，0，0) ，(2，0，0) 与向量组(0，1，0)，(0 ，2，0)的秩相等，但它们小等价；向量组(1，0，0) ，(2 ，0，0) 与向量组(3，0， 0)等价，但向量个数不同，故 A不正确r(I)=r( )=n 是向量组(I) 与向量组()等价的充分条件，不必要例如，向量组(1 0，0) ，(0，1，0) 与向量组(2，0，0)，(0 ，2，0)等价，但秩不为 n，故B 不正确向量组(I)与向量组(I)的极大尤关组等价，向量组()与向量组()的极大无关组等：价如果向量组(I)的极大尢关组与向量组()的极大无关组等价，等价的传递性自然有向量组(I)与向量组()等价，反之亦对故
8、 C 正确应选C注意，等价与向量组的相关、尢关没有必然的联系，故 D 不正确7 【正确答案】 D【试题解析】 设 Ai 表示第 i 次取到白球，i=1，2， ，n 则 由乘法公式可得 故所以应选 D8 【正确答案】 B【试题解析】 设 X 的密度函数为 f(x)，x0，则故正确又XF(n，n)，故 从而 ，即 =；故 正确因此选 B二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 设 则 y=f(u)，于是10 【正确答案】 【试题解析】 利用奇偶函数在对称区间上的积分性质得11 【正确答案】 2e(cos2sin2)【试题解析】 又所以12 【正确答案】 y=一 In(1+eex)【试题解析】 【分
9、析一】这是可分离变量的方程，分离变量得 e-ydy=exdx，积分得一 e-y： ex+C，即 ex+e-y=C于是得通解 ex+e-y=C，C 为正常数由初条件 y(0)=一1 可确定 C=1+e代入后即可解出所求特解为 y=一 In(1+eex)【分析二】原方程可改 令 u=x+y，则有 即 积分得从而得通解 x+ln1+e-(x+y)=C由初条件 y(0)=一 1 可确定常数 C=In(1+e)，代入即知特解满足 x+In1+e-(x+y)=ln(1+e)，即 ex1+e-(x+y)=1+e，化简即得 ex+e-y=1+e，解 H得特解为 y=一 ln(1+eex)13 【正确答案】 【
10、试题解析】 由于 A(A2)2=A5，故 A=(A2)2-1A2=(A2)-12A5而所以注意本题中计算出更简捷一些14 【正确答案】 1【试题解析】 设有 X 对夫妻配成对，不妨固定男士，女士随机选择男士设则 故三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 求 的斜渐近线由于所以斜渐近线方程为 y=2x 一 416 【正确答案】 面积 如果 26+15+10，即如果 b一 8，无论 b一 8 还是 b ，从而与 A 为有限值矛盾当 b=一 8 时有 ，故此时所求的面积17 【正确答案】 面积图形如右图 先求 y=asinx 与 y=cosx的曲线在区间 的交点横坐标，
11、设交点横坐标为 C 由 asinx=cosx，得而曲线 y=cosx 与两坐标轴及 所围图形面积 =1，所以由 ，利用辅助三角形可得 于是有 解得 同理，y=bsinx 与 y=cosx 交点的横坐标即 ，解之得18 【正确答案】 利用一阶全微分形式不变性，将方程求全微分即得 18xdx 一54(ydx+xdy)+180ydy 一 6zdy 一 6ydz 一 2zdz=0，即(18x 一 54y)dx+(180y 一 54x 一6z)dy 一(6y+2z)dz=0从而为求隐函数 z=z(x，y)的驻点，应解方程组可化简为x=3y由 可得 z=30y 一 9x=3y，代入可解得两个驻点 x=3y
12、=1，z=3 与 x=一3，y=一 1，z=一 3为判定 z=z(x，y)在两个驻点处是否取得极值，还需求z=z(x，y) 存这两点的二阶偏导数：记 P=(3，1，3).Q=(一 3，一 1，一 3)，即可得出在 P 点处故故在点(3，1)处 z=z(x，y)取得极小值 z(3，1)=3类似可知在 Q 点处 故且 故在点(一 3，一 1)处 z=z(x，y)收得极大值 z(一 3，一 1)=一 319 【正确答案】 由于 x2+y2x+y 可改写为 令则可把区域 D 表示为 而且因为 D，关于 u=0 或v=0 都对称，而 分别是关于 u 或关于 v 的奇函数，故在 D1 中作极坐标变换，即令
13、 u=Fcos，v=rsin ，就有综合即知 .20 【正确答案】 由 an0 证 bn0 e 一 an1 ean1+an证明数列不等式转化为证明函数不等式 ex1+x，(x0) 令 f(x)=ex 一(1+x)，则 f(x)=ex 一 10(x0)又由f(x)在0，+)连续f(x)在 0，+)单调上升f(x)f(0)=0(x0)e x1+x(x0)=e an一 an1，即 bn021 【正确答案】 设 an0， 收敛 ，其中为证 收敛，考察 的关系其中于是由 收敛 收敛22 【正确答案】 由矩阵 A 的特征多项式 的矩阵 A的特 值 1=2=1， 3=一 3由齐次线性方程组(EA)x=0，得
14、基础解系 1=(一 4，1，2) T由齐次方程组(一3EA)x=0， 得基础解系 2=(一 2，1，1) T因此，矩阵 A 关于特征值 1=2=1 的特征向量为 k1=一 4，1，2)23 【正确答案】 24 【正确答案】 由 P-1AP=B 有 P-1A100P=B100，故 A100=PB100P-1又 B100=于是25 【正确答案】 由于 A3=3Aa 一 2A2，故 A4=3A2 一 2A3=3A2 一 2(3A 一2A2)=7A2 一 6A若 k1+k2A+k3A4=0，即 k1+k2A+k3(7A2 一 6A)=0，亦即 k1+(k26k3)A+7k3A2=0，因为 ，A，A 2
15、 线性无关，故所以，A，A 4 线性无关，因而矩阵 B 可逆26 【正确答案】 因为(B TB)T=BT(BT)T=BTB，故 BTB 是对称矩阵又 x0，由于矩阵 B 可逆，恒有 Bx0，那么恒有 xT(BTB)x=(Bx)T(Bx)0，故二次型 xT(BTB)x 是正定二次型，从而矩阵 BTB 是正定矩阵27 【正确答案】 依题意，X i 与 Yi=2Xi(i=1，2)的概率密度分别为因 X1 与 X2 独立，故 Y1与 Y2 也独立且(x 1，x 2)服从正方形区域 D=(x1，x 2)0 12L=Y1+Y2，根据两个独立随机变量之和的卷积分式，L 的概率密度为 由于只有当 01128 【正确答案】 【解法一】(I)用全概 j 社公式求(X，Y)，(Y ，Z)的联合分布，即有 从而(X，Y) 与(Y，Z)的联合分布与边缘分布可列表如下：()于是【解法二】(I)求(X，Y) 的联合分布同【解法一】，但不求(Y，Z)的联合分布29 【正确答案】 由 Z=2 一 X 一 Y，故又故 cov(X，Y)=cov(Y，Z)=一 DX=
