1、考研数学（数学三）模拟试卷 298 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 2 3 4 5 设 a123(x) 则下列不等式成立的是（A）k 1k2k3（B） k1k3k2（C） k2k1k3（D）k 3k1k26 A，B 是两个事件，则下列关系正确的是( ) （A）(A-B)+B=A（B） AB+(A-B)=A（C） (A+B)-B=A （D）(AB+A)-B=A 7 函数 yC 1exC 2e2xxe x 满足的一个微分方程是( ) （A）y-y2y3xe x（B） yy2y3e x（C） yy2y3e x（D）yy2y3xe x8 二、填空题9 10
2、 11 设 ，则 =_.12 设当 x0 时，(1-cosx)ln(1+x 2)是比 xsinxn 高阶的无穷小，而 xsinxn 是比 ex2-1 高阶的无穷小，则正整数 n 等于13 当 x0 时，f(x)=x-sinax 与 g(x)=x2ln(1-bx)是等价无穷小，则a=_,b=_.14 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 16 17 计算 其中 D 是由曲线 及直线 y=一 x所围平面图形18 19 20 21 设 A 是 n 阶证定阵，E 是 n 阶单位阵，证明 A+E 的行列式大于 122 a 的值；23 正交矩阼 Q，使 QTAQ 为对角矩阵24 求抛物面
3、壳 (0z1)的质量，此壳的面密度 (x，y，z)z25 利用曲线积分计算柱面 x25y 21 位于 y0，z0 的部分被平面 yz 所截一块的面积考研数学（数学三）模拟试卷 298 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 2 【正确答案】 D【试题解析】 3 【正确答案】 B【试题解析】 4 【正确答案】 D【试题解析】 5 【正确答案】 B【试题解析】 【分析一】 由题设条件知，y=f(x)是(a，b)上的凸函数，且 k1，k 1=2，k 3=3 分别是右图中所示线段 的斜率由 的斜率 的斜率 的斜率，得 k1k3k2，因此
4、选 B【分析二】为比较 k1，k 3的大小关系，考察函数 (k1=F(x2)，k 3=F(x3)，由F(x)在(x 1， b)为减函数F(x 2)F(x3)，即 k1k3为比较 k2，k 3 的大小关系，考察函数(k2=G(x2)，k 3=G(x1)，同理由G(x)在(a，x 3)为减函数 G(x 1)G(x2)，即 k3k2综上分析可知，k 1k3k2因此选 B6 【正确答案】 B【知识模块】 多元函数微积分学7 【正确答案】 C【知识模块】 二次型8 【正确答案】 A二、填空题9 【正确答案】 64/3【试题解析】 10 【正确答案】 /4.【试题解析】 11 【正确答案】 【试题解析】
5、设 则 y=f(u)，于是12 【正确答案】 2【知识模块】 一元函数微分学13 【正确答案】 1,-1/6【知识模块】 函数、极限、连续14 【正确答案】 【试题解析】 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 16 【正确答案】 17 【正确答案】 画区域 D 的草图如右图所示将其化为极坐标再计算方法一方法二18 【正确答案】 19 【正确答案】 20 【正确答案】 21 【正确答案】 证法一 因为 A 是正定阵，故存在正交矩阵 Q，使 Q TAQ=Q-1AQ=A= 其中 i0(i：1，2，n)， i 是 A 的特征值. 因此 QT(A+E)Q=QTAQ+QTQ
6、=A+E 两端取行列式得 丨 A+E 丨=丨 QT 丨丨 A+E 丨丨 Q 丨=丨 QT(A+E)Q 丨= 丨 A+E 丨= (i+1) 从而丨 A+E 丨1证法二 设 A 的 n个特征值是 1， 2， n由于 A 是正定矩阵，故特征值全大于 0 因为 A+E的特征值是 i+1， 2+1， ， n+1，它们全大于 1，根据丨 A 丨= i，知 丨 A+E丨= (i+1)1【知识模块】 二次型22 【正确答案】 对方程且 Ax= 的增广矩阵作初等行变换，有【知识模块】 矩阵的特征与特征向量23 【正确答案】 由于故矩阵 A 的特征值为： 1=3， 2=0， 3=-3当 1=3 时，由 得到属于特
7、征值 =3 的特征向量 1=(1，0，-1) T当 2=0 时，由(0E-A)x=0，得到属于特征值 A=0 的特征向最 2=(1，1，1) T当3=-3 时，由(-3E-A)x=0， 得到属于特征值 =-3 的特征向量 3=(1， -2，1) T实对称矩阵的特征值不同时，其特征向量已经正交，故只需单位化 1= 2= 3= 那么令 Q=(1， 2， 3)= ，得 QTAQ=Q-1AQ=A=【试题解析】 方程组有解且不唯一，即方程组有无穷多解，故可由 r(A)=r(A)TAQ=A 即 Q-1AQ=A，为此应当求出 A 的特征值与特征向量再构造正交矩阵 Q【知识模块】 矩阵的特征与特征向量24 【正确答案】 【知识模块】 综合25 【正确答案】 【知识模块】 综合
