1、考研数学（数学三）模拟试卷 302 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 2 设随机变量 X 的密度函数为 则下列服从标准正态分布的随机变量是（A）（B）（C）（D）3 4 5 6 7 设 n 阶矩阵 A 与 B 等价，则必有( )（A）当A=a(a0)时，B=a（B）当 A=a(a0)时，B=-a（C）当 A0 时，B=0（D）当A=0 时，B=08 将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A 1=掷第一次出现正面，A 2=掷第二次出现正面 ， A3=正、反面各出现一次，A 4=正面出现两次 ，则事件( )（A）A 1，A 2，A 3 相互独立（B） A2，
2、A 3，A 4 相互独立（C） A1，A 2，A 3 两两独立（D）A 2，A 3，A 4 两两独立二、填空题9 10 11 12 微分方程(x+y)dy+(y+1)dx=0 满足 y(1)=2 的特解是 y=_13 14 已知三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 16 17 18 19 20 设 A 为 n 阶非零矩阵，A *是 A 的伴随矩阵，A T 是 A 的转置矩阵，当 A*=AT 时，证明丨 A 丨021 22 玻璃杯成箱出售，每箱 20 只，假设各箱含 0、1、2 只残次品的概率分别为08、01 和 01顾客欲购一箱玻璃杯，在购买时售货员随意取一箱，而顾客随机察看
3、该箱中 4 只玻璃杯，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回试求：(1)顾客买下该箱的概率 ；(2)在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率 .23 四名乒乓球运动员1，2，3，4 参加单打比赛，在第一轮中，1 与 2 比赛，3与 4 比赛然后第一轮中的两名胜者相互比赛决出冠亚军，两名败者也相互比赛决出第三名和第四名于是比赛的一种最终可能结果可以记作 1324(表示 1 胜 2，3胜 4，然后 1 胜 3，2 胜 4) (1)写出比赛所有可能结果构成的样本空间 ； (2)设事件 A 表示运动员 1 获得冠军，写出 A 中所包含的所有可能结果； (3)设事件 B表示运动员 1 进入冠亚军决赛，写
4、出 B 中所包含的所有可能结果； (4)分别写出AB，AB， 中包含的所有可能结果考研数学（数学三）模拟试卷 302 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 2 【正确答案】 D【试题解析】 由于 可知 X(一 3，2)，而 A， B，C 三个选项都不符合，只有D 符合，可以验证 即3 【正确答案】 D【试题解析】 4 【正确答案】 B【试题解析】 5 【正确答案】 C【试题解析】 6 【正确答案】 C【试题解析】 7 【正确答案】 D【试题解析】 由题设，若 B=A，则 A 与 B 等价，因此 A=B，显然(B)，(C)不正确
5、其次，当 A0 时，若对 A 施以一定的初等变换得 B，则B 可以变为任何不为 0 的实数，可见(A)亦不正确，所以只有 (D)正确事实上，由于初等变换不改变矩阵的秩，直接可判断出只有(D)正确，综上，选 (D)8 【正确答案】 C【试题解析】 定义事件组 Q=(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反) 由古典概型的定义，知 P(A1)=1/2=P(A2)=P(A3)， 而 P(A4)=1/4，则 P(A1A2)=P(两次均为正面)=1/4=P(A 1)P(A2)，即 A1 与 A2 独立； P(A 1A3)=P(第一次出现正面且第二次出现反面)=1/4=P(A 1)P(A3)，即 A1
6、与 A3 独立； P(A 2A3)=P(第一次出现反面且第二次出现正面)=1/4=P(A 2)P(A3)，即 A2 与 A3 独立 至此知 A1，A 2，A 3 两两独立，但由 P(A1A2A3)=0P(A1)P(A2)P(A3)，知 A1，A 2，A 3 不相互独立，此外，显然A4 A2，故 P(A2A4)=P(A4)=1/4P(A4)P(A4)，因此 A2，A 3，A 4 不两两独立，所以也不会相互独立二、填空题9 【正确答案】 10 【正确答案】 11 【正确答案】 【试题解析】 12 【正确答案】 【试题解析】 原方程可改写为 xdy+ydx+ydx+dx=0 即 从而方程的通解为 利
7、用 y(1)=2 可确定常数 故所求特解满足y2+2xy+2x=10，解出即得13 【正确答案】 14 【正确答案】 【试题解析】 首先求 由题设可得 再对 y求偏导数即得【知识模块】 多元函数的微分与应用三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 16 【正确答案】 17 【正确答案】 18 【正确答案】 19 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学20 【正确答案】 若丨 A 丨=0，则 AAT=AA*=丨 A 丨 E=0 设 A 的行向量为ai(i=1，2，n) ，则 aiaiT=ai12+ai22+ain2=0(i=1，2，n) 于是ai=(ai1ai2,
8、， ain)=0(i=1，2，n) 进而有 A=0，这与 A 是非零矩阵相矛盾故丨 A 丨0【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 【知识模块】 综合22 【正确答案】 【知识模块】 综合23 【正确答案】 (1)=1324，1342，3124，3142，1423，1432，4123，4132，2314，2341，3214，3241，2413，2431，4213，4231； (2)A=1324，1342 ，1423，1432 ； (3)B=1324，1342，3124，3142，1423，1432，4123，4132 ； (4)AB=B=1324，1342，3124，3142，1423，1432，4123，4132； AB=A=1324，1342，1423，1432 ； =3124，3142，4123， 4132，2314，2341，3214 ，3241，2413，2431，4213，4231【知识模块】 综合
