1、考研数学（数学三）模拟试卷 303 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 2 3 4 5 6 已知当 x0 时, 是 xn 的同阶无穷小量，则 n 等于（A）3（B） 4（C） 5（D）67 设 y=y(x)是由方程 y2+xy+x2+x=0 所确定的满足 y(一 1)=1 的隐函数，则（A）1（B） 2（C）一 2（D）一 18 设 1， 2， .， s 均为 n 维列向量，A 是 mn 矩阵，下列选项正确的是（A）若 1， 2，.， s 线性相关，则 A1，A 2， .，A s 线性相关（B）若 1， 2，.， s 线性相关，则 A1，A 2，.，A
2、 s 线性无关（C）若 1， 2，.， s 线性无关，则 A1，A 2，.，A s 线性相关（D）若 1， 2，.， s 线性无关，则 A1，A 2， .，A s 线性无关二、填空题9 10 11 二次型 f(x1，x 2，x 3)=(x1+ax2-2x3)2+(2x2+3x3)2+(x1+3x2+ax3)2 正定的充分必要条件为_12 曲线 在点 处的曲率半径 R=_.13 甲袋中有 5 只白球，5 只红球，15 只黑球，乙袋中有 10 只白球，5 只红球，10只黑球，从两袋中各取一球，则两球颜色相同的概率为_14 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 16 17 18 1
3、9 一曲线通过点(2，3) ，它在两坐标轴之间的任意切线段均被切点所平分，求这曲线的方程20 设 A 为 mn 实矩阵，E 为 n 阶单位矩阵，已知矩阵 B=E+ATA，试证：当 0时，矩阵 B 为正定矩阵21 判别下列级数的收敛性，并求出其中收敛级数的和：22 23 用文氏图和几何概率解释两个事件 A 与 B 相互独立的含义考研数学（数学三）模拟试卷 303 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 2 【正确答案】 D【试题解析】 3 【正确答案】 B【试题解析】 4 【正确答案】 A【试题解析】 5 【正确答案】 B【试题解
4、析】 6 【正确答案】 D【试题解析】 本题即要确定正的常数 n，使得 为非零常数这是 型极限，用洛必达法则及变限积分求导法得其中 In(1+x3)x3(x0)因此，n=6应选D7 【正确答案】 D【试题解析】 由 y(x)所满足的隐函数方程知函数 y=y(x)在 x=一 1 的邻城内任意次可导，将隐函数方程求导一次与两次可得 y(x)的一、二阶导函数 y(x)与 f(x)分别满足 2yy+xy+y 十 2x+1=0，2yy +xy+2(y)2+2y+2=0，在以上二式中分别令 x=一1 并利用 y(一 1)=1 可知 y(一 1)=0，y (一 1)=一 2再利用洛必达法则即可得到故应选 D
5、8 【正确答案】 A【试题解析】 因为(A 1， A2，.，A s=A(1， 2，.， s)，所以 r(A1，A 2， .，A s)r(1， 2，.， s) 因为 1， 2，.， s 线性相关，有r(1， 2，.， s)1，A 2，.，A s)1，A 2，.，A s 线性相关，故应选(A) 注意，当 1， 2，.， s 线性无关时，若秩 r(A)=n，则 A1，A 2，.，A s 线性无关，否则 A1，A 2，.，A s 可以线性相关因此，(C)，(D) 均不正确【知识模块】 线性方程组二、填空题9 【正确答案】 10 【正确答案】 k111 【正确答案】 a1【知识模块】 微积分12 【正确
6、答案】 【试题解析】 在点 处从而【知识模块】 导数与微分13 【正确答案】 【试题解析】 设 Ai：从甲袋取出的球的颜色依次为白、红、黑B i：从乙袋中取出的球的颜色依次为白、红、黑(i=1，2，3)C： “取出的球颜色相同”则 C=A1B1+A2B2+A3B3 故 PC=P(A 1B1+A2B2+A3B3)=P(A1B1)+P(A2B2)+P(A3B3)=P(A1)P(B1)+P(A2)P(B2)+P(A3)P(B3)而 即【知识模块】 随机事件与概率14 【正确答案】 -1【知识模块】 综合三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 16 【正确答案】 17 【
7、正确答案】 18 【正确答案】 19 【正确答案】 设曲线方程为 yy(x)，P(x，y)是曲线上任意一点，依题意有y yx，即 dyydxx两边积分得 1nylnx C ，代入初值条件x2，y3，得 Cln6，于是 lnylnxln6，即 xy6【知识模块】 综合20 【正确答案】 因为 BT=(B+ATA)T=E+ATA=B，所以 B 是 n 阶实对称矩阵构造二次型 xTBx， 那么 x TBx=xT(E+ATA)x=xTx+xTATAx=xTx+(Ax)T(Ax) Vx0，恒有 xTx0，(Ax) T(Ax)0 因此 当 0 时， Vx0，有 xTBx=xTx+(Ax)T(Ax)0 二次型为正定二次型，故 B 为正定矩阵【知识模块】 二次型21 【正确答案】 【知识模块】 综合22 【正确答案】 由题设，引入辅助函数，即 g(x)e x，则 f(x)与 g(x)在区间a，b上满足柯西中值定理的条件，所以知存在一点 (a，b)，使得23 【正确答案】 【知识模块】 综合
