1、考研数学（数学三）模拟试卷 307 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 2 3 4 5 6 设 A 为 n 阶矩阵，对于齐次线性方程(I)A n=0 和()A n+1x=0，则必有（A）() 的解是 (I)的解，(I)的解也是()的解（B） (I)的解是 ()的解，但 ()的解不是(I)的解（C） ()的解是(I)的解，但 (I)的解不是()的解（D）(I)的解不是()的解，()的解也不是(I)的解7 齐次方程组 的系数矩阵为 A，若存在三阶矩阵 B0 使得AB=0，则（A）=-2 且丨 B 丨=0（B） =-2 且丨 B 丨0 （C） =1 且丨 B
2、 丨=0（D）=1 且丨 B 丨0 8 如下图，连续函数 yf(x)在区间 3，2，2，3上图形分别是直径为 1 的上、下半圆周，在区间2，0 ，0，2上的图形分别是直径为 2 的上、下半圆周设 F(x)（A） （B） （C） （D） 二、填空题9 10 11 已知 A 是 3 阶矩阵，A *是 A 的伴随矩阵，如果矩阵 A 的特征值是 1，2，3，那么矩阵(A *)*的最大特征值是_12 设随机变量 X 的概率分布为 PX=k=aCnkpkqn-k(k=1，2，n，q=1p)，则EX=_.13 设总体 X 服从正态分布 N(1， 2)，总体 Y 服从正态分
3、布 N(2， 2)，X1，X 2，X n 和 Y1，Y 2，Y n，分别是来自总体 X 和 Y 的简单随机样本，则 =_.14 已知二次型 f(x1，x 2，x 3)的矩阵 A 有三个特征值 1，-1，2，该二次型的规范形为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 16 17 证明：方程 xa bsinx( 其中 a0，b0)至少有一个正根，并且它不超过ab17 已知非齐次线性方程组 x 1+x2+x3+x4=-1； 4x 1+3x2+5x3-x4=-1； ax 1+x2+3x3+bx4=-1； 有 3 个线性无关的解.18 证明方程组系数矩阵 A 的秩 r(A)=2；19 求
4、 a，b 的值及方程组的通解20 设 z=(x2+y2)earctan(y/x)，求 dz 与21 假设 f(x)在a，+)上连续， f(x)在(a，+) 内存在且大于零，记 F(x)=证明：F(x)在(a，+)内单调增加22 设 A 为 3 阶矩阵，。， 为 A 的分别属于特征值1，1 的特征向量，向量 满足 A3 2 3， (I)证明 1， 2， 3 线性无关； ()令 P( 11， 2， 3)，求P1 AP23 24 考研数学（数学三）模拟试卷 307 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 2 【正确答案】 A【试题解析
5、】 3 【正确答案】 B【试题解析】 4 【正确答案】 C【试题解析】 5 【正确答案】 C【试题解析】 6 【正确答案】 A【试题解析】 若 是(I)的解，即 An=0，显然 An+1=A(An=AO=0，即 必是()的解可排除 C 和 D若 是()的解，即 An+1=0假若 不是(I) 的解，即An0，那么对于向量组 ，A ，A n，A n，一方面这是 n+1 个 n 维向量必线性相关；另一方面，若 k+k1A+k2A2+k nAn=0，用 An 左乘上式，并把An+1=0，A n+2=0，代入，得 kAn=0由于 An0，必有 k=0对k1A+k2A2+k nAn=0，用 An-1 左乘
6、上式可推知 k1=0类似可知ki=0(i=2，3，n)于是向量组 ，A ，A 2，A n 线性无关，两者矛盾所以必有 An=0，即()的解必是(I)的解由此可排除 B故应选 A7 【正确答案】 C【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 C二、填空题9 【正确答案】 010 【正确答案】 a=b=011 【正确答案】 18【试题解析】 因为(A *)*=A n-2A，又 所以(A *)*=6A，从而(A *)*的特征值为 6，12，18，显然其最大特征值为 1812 【正确答案】 【试题解析】 首先我们注意到该分布不考虑 a 时，与二项分布仅差 k=0 的一项，先利用概率分布的和等于求出常数 a
7、，再用二项分布的期掣求 EX由于是13 【正确答案】 2【试题解析】 【知识模块】 概率论与数据统计14 【正确答案】 y 12+y22-y32【知识模块】 综合三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 16 【正确答案】 17 【正确答案】 证： 记 f(x)xa bsinx。则 f(0)a 0，f(ab) (ab)a bsin(ab)b(1sin(ab)0，(1)若 1sin(ab)0，此时 f(ab)0，ba b 为满足条件的正根(2)若 1sin(ab)0，此时 f(ab)?f(0) 0，由零点定理知，至少存在一点(0，ab)，使得 f()0， 即为所求正根
8、【知识模块】 综合【知识模块】 线性方程组18 【正确答案】 设 1， 2， 3.是非齐次方程组的 3 个线性无关的解，那么 1-2， 1-3 是 Ax=0 线性无关的解，所以 n-r(A)2，即 r(A)2 显然矩阵 A 有 2 阶子式不为 0，又有 r(A)2，从而 r(A)=2【知识模块】 线性方程组19 【正确答案】 对增广矩阵作初等行变换，有由 r(A)=r(A)=2，知a=2，b=-3又 a=(2，-3，0，0) T 是 Ax=b 的解， 1=(-2，1，1，0) T， 2=(4，-5，0，1) T 是 Ax=0 的琏础解系，所以方程组的通解是 +k11+k22(k1，k 2 为任意常数)【知识模块】 线性方程组20 【正确答案】 由题设，21 【正确答案】 22 【正确答案】 (I)假设 1， 2， 3，线性相关，则 3，可由 1， 2 线性表出，可设 3 k11 k22，其中 k1，k 2 不全为 0，否则由等式 A3 2 3，得到 20，不符合题设因为 1， 2 为矩阵 A 的分别属于特征值1，1 的特征向量，所以A1 1， A2 2，则 A3A(k 11k 22) k11k 22 2k 11k 2223 【正确答案】 24 【正确答案】
