1、考研数学（数学三）模拟试卷 331 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 2 3 4 5 设函数 y=f(x)具有二阶导数，且 f(x)0，f(x)0， x 为自变量 x 在点 x0 处的增量，y 与 dy 分别为 f(x)在点 x0 处对应的增量与微分，若x0，则（A）0dy y（B） 0ydy（C） ydy0（D）dy y06 函数 在下列哪个区间内有界?( )（A）(1，0)（B） (0，1)（C） (1，2)（D）(2 ，3)7 8 设 其中 c1，c 2，c 3，c 4 为任意常数，则下列向量组线性相关的是( )（A） 1， 2， 3（B） 1
2、， 2， 4（C） 1， 3， 4（D） 2， 3， 4二、填空题9 10 11 12 设 A，B，C 均为 n 阶矩阵， E 为 n 阶单位矩阵，若 B=E+AB，C=A+CA，则B-C 为 _.13 设函数 f(u)可微，且 f(0)=1/2，则 z=f(4x2-y2)在点(1，2)处的全微分 dz 丨 (1，2)=_.14 已知 A 为三阶方阵，且满足 A2 一 A 一 2E=O，行列式 0三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 16 17 18 19 利用斯托克斯公式把定向曲面积分 化为曲线积分，并计算积分值，其中 A 与分别如下：(1)Axyzixje xyk，为上半
3、球面 的上侧；(2)A(yz)iyzjxzk ， 为立方体0，20，20，2的表面外侧去掉 xy 面上的那个底面20 21 22 23 设向量组 1， 2， m 线性无关，向量 1 可用它们线性表示， 2 不能用它们线性表示，证明向量组 1， 2， m， 1+2( 为常数)线性无关考研数学（数学三）模拟试卷 331 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 2 【正确答案】 C【试题解析】 3 【正确答案】 B【试题解析】 4 【正确答案】 A【试题解析】 5 【正确答案】 A【知识模块】 微积分6 【正确答案】 A7 【正确答案
4、】 C8 【正确答案】 C二、填空题9 【正确答案】 110 【正确答案】 1/311 【正确答案】 12 【正确答案】 E【试题解析】 由 B=E+AB (E-A)B=E B=(E-A)-1 由 C=A+CA C(E-A)=A C=A(E-A)-1 B-C=(E-A) -1-A(E-A)-1=(E-A)(E-A)-1=E【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 4dx-2dy【知识模块】 微积分14 【正确答案】 4【试题解析】 设 A 为 A 的任一特征值，对应特征向量为 x0由 Ax=x，有(A 2一 A 一 2E)x=0，即( 2 一 一 2)x=O，从而有 2 一 一 2=0，即 =
5、一 1 或 =2又根据A= 123，A i 为 A 的特征值(i=l，2，3)，及 01=2=一 1， 3=2进而由Axi=ixi，有(A+2E)x i=(i+2)i，x i 属于 i 的特征向量，可见 A+2E 的三个特征值为i=i+2，即 1=2=1， 3=4，故行列式A+2E=u 1u2u3=.4=4【知识模块】 矩阵三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 16 【正确答案】 17 【正确答案】 18 【正确答案】 19 【正确答案】 【知识模块】 综合20 【正确答案】 21 【正确答案】 22 【正确答案】 23 【正确答案】 证明 设有实数 k1，k 2，k m， k 使得 k11+k22+kmm+k(1+2)=， 则必有 k=0，否则， 1+2= -(k1/k)1-(k2/k)2-(km/k)m (1) 又向量 1 可用向量组 1， 2， m 线性表示，故存在l1，l 2，l m 使得 1=l11+l22+lmm， (2) 由式(1)、式(2)可得 2=(-l1-k1/k)1+(-l2-k2/k)2+(-l m-km/k)m， 这与 2 不能用 1， 2， m 线性表示矛盾，于是有 k11+k22+kmm=， 又因为 1， 2， m 线性无关，故k1，k 2，k m 全为零，所以 1， 2， m， 1+2 线性无关【知识模块】 综合
