1、考研数学（数学三）模拟试卷 344 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 2 3 4 5 6 将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A 1掷第一次出现正面， A2掷第二次出现正面，A 3正、反面各出现一次， A4正面出现两次，则事件( )（A）A 1，A 2，A 3 相互独立（B） A2，A 3，A 4 相互独立（C） A1，A 2，A 3 两两独立（D）A 2，A 3，A 4 两两独立7 若正项级数（A）发散（B）条件收敛 （C）绝对收敛（D）敛散性不确定8 设总体 X-N(， 2)，其中 2 未知， ，样本容量 n，则参数 的置信度为 1-a 的置信区间
2、为( )二、填空题9 10 11 若 =_.12 若四阶矩阵 A 与 B 为相似矩阵，A 的特征值为 12、13、14、15，则行列式B -1-E=_ 13 设 f(x) 则14 通解为 C1ex+C2x 的微分方程是_.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 16 17 18 19 19 设 f(x)是周期为 2 的连续函数20 证明任意的实数 t，有21 证明 是周期为 2 的周期函数22 设 f(x)在( ，+)上连续，且 证明：(1)若 f(x)为偶函数，则 F(x)也是偶函数；(2)若 f(x)是单调减少函数，则 F(x)也是单调减少函数23 验证下列函数都是所给微分
3、方程的解，其中哪些是通解? (1)x 2y2xy 2y0，yx(C 1C 2x)； (2)y2y 2ye x，ye x(C1cosxC 2 sinx1) ；(3)y4y 0，yC 1sin2xC 2sinxcosx； (4)xyy0，yC 1lnxC2； (5)y4xy (4x 22)y0，y(C 1C 2x)ex2； (6)y9y9，yC 1e3x C 2e23x 124 设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值是 1，2，3，矩阵 A 的属于特征值 1，2 的特征向量分别是 1=(1， 1，1) T， 2=(1， 2， 1)T (I)求 A 的属于特征值 3 的特征向量；()求矩阵 A考研数学（
4、数学三）模拟试卷 344 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 2 【正确答案】 A【试题解析】 3 【正确答案】 D【试题解析】 4 【正确答案】 D【试题解析】 5 【正确答案】 D【试题解析】 6 【正确答案】 C7 【正确答案】 C8 【正确答案】 D【试题解析】 因为 2 未知，所以选用统计量 故 的置信度为 1-a 的置信区间为二、填空题9 【正确答案】 10 【正确答案】 0.9911 【正确答案】 /(4-)【知识模块】 一元函数积分学12 【正确答案】 24【试题解析】 由已知 A 与 B 相似，则 A 与
5、B 的特征值相同，即 B 的特征值也为12、13、14、15，从而 B-1-E 的特征值为 1，2，3，4，因此B -1-E=1*2*3*4=2413 【正确答案】 【试题解析】 利用定积分换元法以及分段函数积分法，并利用奇函数在对称区间上定积分为零的性质化简积分，可得【知识模块】 定积分的计算及其应用14 【正确答案】 (x 一 1)y“一 xy)+y=0【试题解析】 在通解 y=C1ex+C2x 两边关于 x 求一次和二次倒数可得，由此解得 将其代入到通解中可得微分方程为 y=y“+(y一 y“)x，即为(x 一 1)y“一 xy+y=0【知识模块】 常微分方程与差分方程简介三、解答题解答
6、应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 16 【正确答案】 17 【正确答案】 18 【正确答案】 19 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学20 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 【知识模块】 综合23 【正确答案】 (1)yC 1xC 2x2，2y2C 1x2C 2x2，y C 12C 2x， 2xy2C 1x4C 2x2，y2C 2， x2y2C 2x2，故 x2y2xy2y0，即 yx(C 1C 2x)是原方程的解，又因为 C1 与 C2 相互独立，故又是通解 (2)ye x(C1cosx
7、C 2sinx1)， 2y2e x(C1cosxC 2sinx1)， ye x(C1C 2)cosx(C 2C 1)sinx1， 2y2e x(C1C 2)cosx(C 2C 1)sinx1， ye x(2C2cosx2C 1sinx1) 2e x(C2cosx2C 1sinx1)， 故 y2y2ye x 又 C1 与 C2 相互独立，从而ye x(C2cosxC 2sinx1)又是原方程的通解 (3)yC 1sin2x C2sinxcosx(C1C 22)sin2xksin2x， 其中 kC 22C 1，即 C1 与C2 不相互独立 又 y2kcos2x，y4ksin2x，故 y4y0故yC
8、 1sin2x C2sinxcosx 是原方程的解，但不是通解 (4)yC 1lnxC2 C1C2lnx klnx，其中 kC 1C2，即 C1 与 C2 不相互独立 又yk x，ykx 2，故 yky0，从而 yC 1lnxC2 是原方程的解，但不是通解 (5)y (C1C 2x)ex2， (4x 22)y(4x 22)(C 1C 2x)ex2 2(2C 2x52C 1x2 一C2xC 1)ex2， y (2C 2x22C 1xC 2)ex2， 4xy 4(2C 2x32C 1x2C 2x)ex2， y2(2C 2x32C 1x23C 2xC 1)ex2 故 y4xy 4(x22)y0，又 C1 与 C2 相互独立，从而 y(C 1C 2x)ex2 又是原方程的通解 (6)yC 1e3x C 2e23x 1(C 1C 2e2)e3x 1ke 3x 1， 即 C1 与 C2 不是相互独立的 y 3ke 3x ，y 9ke3x ，故 y9y9，又 C1 与 C2 不是相互独立的，从而 yC 1e3x C 1e23x 1 是解，但不是通解【知识模块】 综合24 【正确答案】 (I)由题设，实对称矩阵 A 的三个特征值不同，则相应的特征向量彼此正交，设 A 的属于特征值 3 的特征向量为 3(x 1，x 2，x 3)T 则 1T3=0 且2T3=0，
