1、考研数学（数学三）模拟试卷 349 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)= 则 f(x)在 x=0 处( )（A）不连续（B）连续但不可导（C）可导但导数不连续（D）连续可导2 当 x0 时，f(lnx)= 则 -22xf(x)dx，为( )3 设 f(x)=0xdt0ttln(1+u2)du，g(x)= (1 一 cost)dt，则当 x0 时，f(x)是 g(x)的( )（A）等价无穷小（B）低阶无穷小（C）高阶无穷小（D）同阶但非等价的无穷小4 设 f(x，y)= 则 f(x，y)在(0，0)处( )（A）连续但不可偏导（B）可偏导但
2、不连续（C）连续、可偏导但不可微（D）可微5 设 A 为 mn 矩阵，以下命题正确的是( ) （A）若 AX=0 只有零解，则 AX=b 只有唯一解（B）若 AX=0 有非零解，则 AX=b 有无数个解（C）若 r(A)=n 则 AX=b 有唯一解（D）若 r(A)=m，则 AX=b 一定有解6 设 A 为三阶矩阵，其特征值为 1=2=1， 3=2，其对应的线性无关的特征向量为1， 2， 3，令 P=(1 一 2，2 1+2，4 3)，则 P-1AP=( )7 设随机变量 XN( 2)，其分布函数为 F(x)，又 Y=F(X)，则 PY 等于( )8 设 X1，X 2X 16 为正态总体 XN
3、( ，4)的简单随机样本，设H0：=0，H 1：0 的拒绝域为 ，则犯第一类错误的概率为 ( )（A）2(1)-1（B） 22(1)（C）（D）二、填空题9 曲线 在 t=0 对应点处的法线方程为_10 差分方程 yx+1 一 3yx=2.3x 的通解为_11 设 f 有一阶连续的偏导数，则 =_12 微分方程 y“一 3y+2y=2ex 满足 的特解为 _13 已知三阶方阵 A，B 满足关系式 E+B=AB，A 的三个特征值分别为 3，一3，0，则|B -1+2E|=_14 设 X1，X 2，X n 为来自总体 X 的简单随机样本，其中 E(X)=，D(X)= 2，令U= 则 UV=_三、解
4、答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 计算二重积分 |x2+y2 一 1|d，其中 D=(x，y)|0x，y1。16 设 f(x)在0，1上连续可导， f(1)=0， 01xf(x)dx=2，证明：存在 0，1，使得f()=417 设生产某种产品需投入两种生产要素，x，y 分别为两种生产要素的投入量，Q为产品的产量，设生产函数 Q=2xy，其中 0，0 且 +=1设两种生产要素的价格分别为 p1 及 p2，问当产量为 12 时，两种生产要素投入多少可使投入总费用最少?18 求幂级数 的收敛半径、收敛域及和函数，并求19 当陨石穿过大气层向地面高速坠落时，陨石表面与空气摩擦产生的高温
5、使陨石燃烧并不断挥发，实验证明，陨石挥发的速率(即体积减少的速率)与陨石表面积成正比，现有一陨石是质量均匀的球体，且在坠落过程中始终保持球状，若它在进入大气层开始燃烧的前 3s 内，减少了体积的 ，问此陨石完全燃尽需要多少时间 ?20 设 ，问 a，b，c 为何值时，矩阵方程AX=B 有解?有解时求出全部解21 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=XTAX 经过正交变换化为标准形 f=2y12 一 y22 一 y32，又A*=，其中 =(1，1，一 1)T ()求矩阵 A； ( )求正交矩阵 Q，使得经过正交变换 X=QY，二次型 f(x1，x 2，x 3)=XTAX 化为标准形22 设(X
6、，Y)的联合密度函数为 ()求常数 k；() 求 X 的边缘密度； () 求当 X=x 下 Y 的条件密度函数fY|X(y|x)23 设随机变量 X1，X 2，X m+n(mn)独立同分布，其方差为 2，令求：()D(Y) ，D(Z)； () YZ考研数学（数学三）模拟试卷 349 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 因为 f(0-0)=f(0)=f(0+0)=0所以 f(x)在 x=0 处连续又因为不存在，所以 f(x)在 x=0 处连续但不可导选(B)2 【正确答案】 C【试题解析】 由 f(lnx)= 则 -22xf(
7、x)dx=-22xdf(x)=xf(x)-22 一 -22f(x)dx= 选(C)3 【正确答案】 B【试题解析】 则f(x)是 g(x)的低阶无穷小，选(B)4 【正确答案】 C【试题解析】 因为 0|f(x，y)一 0|= 所以=0=f(0，0)，故 f(x，y) 在(0，0)处连续 ，所以 fx(0，0)=0，同理 fy(0，0)=0 ，即 f(x，y)在(0，0)处可偏导所以 f(xy)在(0，0)处不可微，选 (C)5 【正确答案】 D【试题解析】 因为当 r(A)=m 时，则 r(A)= =m,于是若 r(A)=m，则 AX=b 一定有解，选(D) 6 【正确答案】 B【试题解析】
8、 因为 1， 2 为 1=2=1 对应的线性无关的特征向量，所以 1 一2， 21+2 仍为 1=2=1 对应的线性无关的特征向量，又 43 显然是 3=2 对应的线性无关的特征向量，故 P-1AP= 应选(B)7 【正确答案】 B【试题解析】 因为 XN(， 2)，所以 F(x)= 于是 Y=F(X)=8 【正确答案】 B【试题解析】 因为 2=4 已知，所以取检验统计量 ，犯第一类错误的概率选(B)二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 当 t=0 时，x=3，y=1，10 【正确答案】 y(x)=A3 x+2x3x-1【试题解析】 齐次差分方程 yx-1 一 3yx=0 的通解为 y=
9、A3x，设差分方程 yx+1 一3yx=2 3x 的特解为 y0(x)=Cx3x，将 y0(x)=Cx3x 代入方程 yx+1 一 3yx=23 x 得，故原差分方程的通解为 y(x)=A3x+2x3x-111 【正确答案】 2xf+2x 3y(f1+ )【试题解析】 =2xy(x2y， )，12 【正确答案】 y=一 3ex+3e2x-2xex【试题解析】 特征方程为 2 一 3+2=0，特征值为 1=1， 2=2，y“一 3y+2y=0 的通解为 y=C1ex+C2e2x 令原方程的特解为 y0(x)=Axex，代入原方程为 A=-2，原方程的通解为 y=C 1ex+C2e2x 一 2xe
10、x 由 得 y(0)=0，y(0)=1，代入通解得C1=一 3C 2=3，特解为 y=一 3ex+3e2x 一 2xex13 【正确答案】 一 8【试题解析】 因为 A 的特征值为 3一 30所以 A_-E 的特征值为 2，一 4，一1，从而 AE 可逆，由 E+B=AB 得(AE)B=E ，即 B 与 A-E 互为逆阵，则 B 的特征值为 ，B -1 的特征值为 2，一 4，一 1，从而 B-1+2E 的特征值为4，一 2，1，于是|B -1+2E|=一 814 【正确答案】 【试题解析】 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 令 D1=(x，y)|x 2+y
11、21,x0，y0，D 2=DD 1，16 【正确答案】 由分部积分，得 01xf(x)dx=xf(x)|01-01f(x)dx=01f(x)dx=2，于是01f(x)dx=一 2由拉格朗日中值定理，得 f(x)=f(x)-f(1)=f()(x一 1)，其中 (x，1)，f(x)=f()(x一 1)两边对 x 从 0 到 1 积分，得 01f(x)dx=01f()(x一 1)dx=一 2因为f(x)在0 ，1上连续，所以 f(x)在0 ，1上取到最小值 m 和最大值 M，由 M(x 一 1)f()(x-1)m(x1)两边对 x 从 0 到 1 积分，得即 m4M，由介值定理，存在 0，1，使得
12、f()=417 【正确答案】 投入费用函数为 C=p 1x+p2y，令 F(x，y，)=p 1x+p2y+(2xy一12)，18 【正确答案】 得收敛半径为 R=1当|x|1 时，幂级数绝对收敛；当|x|1 时，幂级数发散，当 x=1 时，因为 为收敛的交错级数，故幂级数 的收敛域为一 1，1因为S1(0)=0，所以 S1(x)=S1(x)一 S1(0)=0xS1(x)dx=arctanx，故 S(x)=xarctanx(-1x1)19 【正确答案】 设陨石体积为 V，表面积为 S，半径为 r，它们都是时间 t 的函数，20 【正确答案】 令 X=(1， 2， 3)，B=( 1， 2， 3)，
13、矩阵方程化为 A(1， 2， 3)=(1， 2， 3), 当a=1，b=2，c=一 2 时，矩阵方程有解，21 【正确答案】 () 显然 A 的特征值为 1=2， 2=一 1， 3=一 1，|A|=2，伴随矩阵A*的特征值为 1=1， 2=一 2， 3=一 2由 A*=得 AA*=A，即 A=2，即=(1， 1，一 1)T 是矩阵 A 的对应于特征值 1=2 的特征向量 令 =(x1，x 2，x 3)T 为矩阵 A 的对应于特征值 2=一 1， 3=一 1 的特征向量，因为 A 为实对称矩阵，所以T=0，即 x1+x2 一 x3=0，于是 2=一 1， 3=一 1 对应的线性无关的特征向量为22 【正确答案】 23 【正确答案】 () 因为 X1，X 2，X m+n 相互独立，()Cov(Y，Z)=CovF(X1+Xm)+(Xm+1+Xn)，X m+1+Xm+n=Cov(X1+XmXm+1+Xm+n)+Cov(Xm+1+Xn，X m+1+Xm+n)=D(Xm+1+Xn)+Cov(Xm+1+Xn，X n+1+Xm+n)=(n 一 m)2，
