1、考研数学（数学三）模拟试卷 350 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)= 若 f(x)在 x=0 处可导且导数不为零，则 k 为( )（A）3（B） 4（C） 5（D）62 曲线 的渐近线条数为( )（A）3 条（B） 2 条（C） 1 条（D）0 条3 设幂级数 (3x+1)n 在 x=一 1 处收敛，则级数 ( )（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）敛散性不能确定4 设 f(x，y)在(0，0)处连续， ，则( ) （A）f(x，y)在(0，0)处不可偏导（B） f(x，y)在(0，0)处可偏导但不可微（C） fx(0， 0)
2、=fy(0，0)=4 且 f(x，y)在(0，0)处可微分（D）f x(0，0)=f y(0，0)=0 且 f(x，y)在(0 ，0)处可微分5 设 A 为 mn 矩阵，且 r(A)=mn，则下列结论正确的是( )（A）A 的任意 m 阶子式都不等于零（B） A 的任意 m 个列向量线性无关（C）方程组 AS=b 一定有无数个解（D）矩阵 A 经过初等行变换化为6 设 ， 为四维非零的正交向量，且 A=T，则 A 的线性无关的特征向量个数为( )（A）1 个（B） 2 个（C） 3 个（D）4 个7 设随机变量 X 的分布函数为 F(x)=02F 1(x)+08F 1(2x)，其中 F1(y)
3、是服从参数为1 的指数分布的随机变量的分布函数，则 D(X)为( )（A）036（B） 044（C） 064（D）18 设随机变量 XF(m，m)，令 a=PX1 ，=PX1，则( )（A）（B） （C） =（D）， 的大小与自由度 n 有关二、填空题9 若当 x0 时，(1+2x) xcosxax 2，则 a=_10 设 F(u，v)一阶连续可偏导，且由 F =0 确定 z 为 x，y 的隐函数，则=_11 12 设函数 y=y(x)在(0 ，+)上满足 y=则 y(x)=_13 设 若 AB ，则 y=_14 设随机变量 则(X，Y) 的联合分布律为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程
4、或演算步骤。15 设 L: +y2=1(x0，y0)，过 L 上一点作切线，求切线与抛物线所围成面积的最小值。16 证明：当 x0 时，e x 一 1(1+x)in(1+x) 17 设 f(x)Ca，b，在(a ，b)内二阶可导 ()若 f(x)=0,f(x)0，f+(a)0证明：存在 (a，b)，使得 f()f“()+f2()=0 ()若 f(a)=f(b)=0bf(x)dx=0，证明：存在(a， b)，使得 f“()=f()18 设抛物线 y=x2 与它的两条相互垂直的切线所围成的平面图形的面积为 S，其中一条切线与抛物线相切于点 A(a，a 2)(a0) ( )求 S=S(a)的表达式；
5、 ()当 a 取何值时，面积 S(a)最小?19 求级数 的收敛域及和函数20 设 A 为 mn 阶矩阵，证明：r(A TA)=r(A)；21 设 A 为 mn 阶矩阵，B 为 ns 矩阵且 r(A)=n，证明： r(AB)=r(B)22 设 A 为三阶实对称矩阵，若存在正交矩阵 Q，使得 QTAQ=且 A*=()求正交矩阵 Q；()求矩阵 A23 某流水线上产品不合格的概率为 各产品合格与否相互独立，当检测到不合格产品时即停机检查，设从开始生产到停机检查生产的产品数为 X，求 E(X)及D(X)23 设总体 X 的分布函数为 (X1，X 2，X 10)为来自总体 X 的简单随机样本，其观察值
6、为 11，3， 1，0，0，3，1，0，124 求总体 X 的分布律；25 求参数 的矩估计值；26 求参数 的极大似然估计值考研数学（数学三）模拟试卷 350 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 因为 f(x)在 x=0 处可导所以 k 一 2=3，即 k=5，选(C)2 【正确答案】 A【试题解析】 3 【正确答案】 A【试题解析】 令 3x+1=t，则级数 当 t=一 2 时收敛，故级数 的收敛半径 R2，因为 1R，所以当 t=1 时，级数 绝对收敛，即级数绝对收敛，应选(A)4 【正确答案】 D【试题解析】 由 得
7、 f(0，0)=1，因为所以其中 a 为当(x，y)(0，0)时的无穷小，于是 f=f(x，y)-f(0，0)=0x+0y+ ，故f(x，y)在(0，0)处可微，且 fx(0，0)=f y(0，0)=0，选(D) 5 【正确答案】 C【试题解析】 因为 A 与 都是 m 行，所以 r(A)= =mn 所以方程组 AX=b一定有无数个解，选(C) 6 【正确答案】 C【试题解析】 令 AX=X，则 A2X=2X，因为 ， 正交，所以T=T=0，A 2=T.T=0，于是 2X=0，故 1=2=3=4=0因为 ， 为非零向量所以 A 为非零矩阵，故 r(A)1；又 r(A)=r()Tr()=1所以
8、r(A)=1 因为4 一 r(OEA)=4-r(A)=3所以 A 的线性无关的特征向量是 3 个，选 C7 【正确答案】 B【试题解析】 设 X1E(1)，其密度函数为 f1(x)= 其分布函数为F1(x)= 且 E(X1)=D(X1)=1，则 E(X12)=D(X1)+E(X1)2=2由E(x)=-+xf(x)dx=02 -+xf1(x)dx+16 -+xf1(2x)dx =02E(X 1)+04 -+2xf1(2x)d(2x)=02E(X 1)+04 E(X 1)=06E(X 2)=-+x2f(x)dx=02 -+x2f1(x)dx+16 -+x2f1(2x)dx =02E(X 12)+0
9、2 -+(2x)2f1(2x)d(2x)=02E(X 12)+0 2E(X12)=08，得 D(X)=E(X2)一E(X) 2=08-036=044，选(B)8 【正确答案】 C【试题解析】 ，因为 XF(m，m) ，所以 YF(mm)因为a=PX1=P =PY1=PY1=所以 =，选 C二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 因为当 x0 时，(1+2x) x 一 1=exln(1+2x)一 1xln(1+2x) 2x 2，所以(1+2x)xcosx=(1+2x)x 一 1+1 一 cosx2x 2+10 【正确答案】 z【试题解析】 11 【正确答案】 【试题解析】 12 【正确答案】
10、x(1 一 cosx)【试题解析】 由可微的定义，函数 y=y(x)在(0，+)内可微，且xsinx，由一阶非齐次线性微分方程的通解公式得13 【正确答案】 6【试题解析】 由 AB 得 tr(A)=tr(B)，即 x 一 3=0，于是 x=3显然 A，B 的特征值为 1=2=1， 3=一 2，因为 AB 且 B 为对角矩阵，所以 A 可对角化，从而r(EA)=1，由 EA= 得 y=614 【正确答案】 【试题解析】 由 Cov(X，Y)=E(XY)一 E(X)E(Y)=E(XY)-得 E(XY)= 因为 XY 的可能取值为 0，1，所以 XY 由Px=1=Px=1，Y=0+PX=1，Y=1
11、，得 PX=1，Y=0= ，再 PY=0=P(X=0，Y=0+Px=1 ，Y=0= 得 PX=0，Y=0= ，则(X，Y) 的联合分布律为三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 首先求切线与坐标轴围成的面积设 M(x，y) L，过点 M 的 L 的切线方程为专 +yY=1令 Y=0，得 X= ，切线与 x 轴的交点为 ；令X=0，得 Y= ，切线与 y 轴交点为 切线与椭圆围成的图形面积为S(x.y)= 其次求最优解设 F(x，y，z)=xy+ ，16 【正确答案】 令 (x)=ex 一 1 一(1+x)ln(1+x)，(0)=0(x)=e x 一 ln(1+x)
12、一1，(0)=0，“(x)= 0(x 0)当 x0 时，e x 一 1(1+x)ln(1+x)17 【正确答案】 () 因为 f(a)0，所以存在 c(a，b)，使得 f(c)f(a)=0，因为f(c)f(b)0所以存在 x0(c，b)，使得 f(x0)=0因为 f(a)=f(x0)=0，由罗尔定理，存在 x1(a， x0)，使得 f(x1)=0 令 (x)=f(x)f(x)，由 (a)=(x1)=0，根据罗尔定理，存在 (a，x 1) (a，b) ，使得 ()=0而 (x)=f(x)f“(x)+f2(x)，所以 f()f“()+f2()=0 ()令 F(x)=axf(t)dt，因为 F(a)
13、=F(b)=0，所以由罗尔定理，存在c(a，b) 使得 F(c)=0，即 f(c)=0 令 h(x)=exf(x)，由 h(a)=h(c)=h(b)=0，根据罗尔定理，存在 1(a，b) ， 2(c，b) ，使得 h(1)=h(2)=0，则 h(x)=exf(x)+f(x)，所以 f(1)+f(1)=0，f( 2)+f(2)=0 再令 G(x)=e-xf(x)+f(x)，由 G(1)=G(2)=0，根据罗尔定理，存在 (1， 2) (a，b) ，使得 G()=0，而 G(x)=e-xf“(x)一 f(x)且 e-x0，所以 f“()=f()18 【正确答案】 () 设另一个切点为(x 0，x
14、02)，则抛物线 y=x2 的两条切线分别为 L1：y=2ax 一 a2， L2：y=2x 0x-x0 因为 L1L2，所以 x0= 两条切线 L1，L 2 的交点为 x1= yi=ax0,L1，L 2 及抛物线 y=x2 所围成的面积为19 【正确答案】 20 【正确答案】 显然当 AX=0 时，A TAX=0；反之，若 ATAX=0，则有XTATAX=0，即(AX) TAX=0，故 AX=0即方程组 ATAX=0 与 AX=0 为同解方程组，于是 r(ATA)=r(A)21 【正确答案】 若 BX=0，则 ABX=0；反之，若 ABX=0，令 BX=Y，即 AY=0，因为 r(A)=n，所
15、以 Y=0，即 BX=0，从而方程组 BX=0 与 ABX=0 为同解方程组于是 r(AB)=r(B)22 【正确答案】 () 显然 A 的特征值为 1=2=一 1， 3=2，A *的特征值为 1=2=-2， 3=1 因为 为 A*的属于特征值 3=1 的特征向量。所以 是 A 的属于特征值3=2 的特征向量，令 =3令 A 的属于特征值 1=2=一 1 的特征向量为 =因为实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交，所以一 x1 一 x2+x3=0，则A 的属于特征值 1=2=-1 的线性无关的特征向量为23 【正确答案】 X 的分布律为 PX=k=(1p)k-1p(k=1，2，)则D(X)=E(X2)一E(X) 2=190100=9024 【正确答案】 总体 X 的分布律为25 【正确答案】 E(X)=12+3(1 3)=3726 【正确答案】 似然函数为 L()= 3(2)5(13)2，lnL()=3ln+5ln2+2ln(13)
