1、考研数学（数学三）模拟试卷 353 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)= 在 x=0 处连续，则 f(x)在 x=0 处( )（A）不可导（B） f(0)=ln23+1（C）（D）2 f(x)= 渐近线的条数为( )（A）4（B） 3（C） 2（D）13 设 f(x)连续，且满足 f(x)+20xf(t)dt=x2+ ，则关于 f(x)的极值问题有( )4 设 0，f(x)在(一 ，)内恒有 f“(x)0，且|f(x)|x 2，记 I=-f(x)dx，则有( )（A）I=0（B） I0（C） I0（D）不能确定5 已知四维列向量 1， 2
2、， 3 线性无关，若向量 i(i=1，2，3，4)是非零向量且与向量 1， 2， 3 均正交，则向量组 1， 2， 3， 4 的秩为( )（A）1（B） 2（C） 3（D）46 设 A 是 n 阶矩阵，下列结论正确的是( )（A）设 r(A)=r，则 A 有 r 个非零特征值，其余特征值皆为零（B）设 A 为非零矩阵，则 A 一定有非零特征值（C）设 A 为对称矩阵，A 2=2A，r(A)=r，则 A 有 r 个特征值为 2，其余全为零（D）设 A，B 为对称矩阵，且 A，B 等价，则 A，B 特征值相同7 设随机变量 X 的密度函数为 f(x)，且 f(x)为偶函数，F(x) 为 X 的分布
3、函数，则对任意 a，有( )（A）F(-a)=1 一 0af(x)dx（B） F(-a)= 一 0af(x)dx（C） F(一 a)=F(a) （D）F(-a)=2F(a)一 18 设总体 X 服从标准正态分布，(X 1，X 2，X n)为总体的简单样本，则( )二、填空题9 10 设 f(x)= ，则 f(100)(0)=_11 12 y“一 2y一 3y=e-x 的通解为_13 设 A 为三阶实对称矩阵， 1=(m,一 m，1) T 是方程组 AX=0 的解， 2=(m，1，1一 m)T 是方程组 (A+E)X=0 的解，则 m=_14 设总体 XN(0， 2)，X 1，X 2，X 3，X
4、 4 为总体 X 的简单随机样本，三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 f(x)二阶可导，且 f(0)=0，令 g(x)= ()确定 a 的取值，使得 g(x)为连续函数； ()求 g(x)并讨论函数 g(x)的连续性16 设某工厂生产甲、乙两种产品，当这两种产品的产量分别为 q1(吨)与 q2(吨)时,总收入函数为 R(q1，q 2)=15q1+34q2-q2-4q22 一 2q1q2-36(万元)，设生产 1 吨甲产品要支付排污费 1 万元，生产 1 吨乙产品要支付排污费 2 万元 ()如不限制排污费支出，这两种产品产量分别为多少时总利润最大?最大利润多少? ()若排
5、污费总量为 6 万元时，这两种产品产量各为多少时总利润最大?最大利润多少?17 设 1abe，证明：函数 f(x)=xln2x 满足不等式 0f(a)+f(b)- (e 一1)(b-a)18 设 f(x)为二阶连续可导，且 证明级数绝对收敛19 设 u= 二阶连续可导，又 ，求f(x)20 设 A 是 n 阶矩阵，证明： ()r(A)=1 的充分必要条件是存在 n 阶非零列向量，使得 A=T； ( )r(A)=1 且 tr(A)0，证明 A 可相似对角化21 设 1， 2， 1， 2 为三维列向量组，且 1， 2 与 1， 2 都线性无关()证明：至少存在一个非零向量可同时由 1， 2 和 1
6、， 2 线性表示；()设，求出可由两组向量同时表示的向量22 设随机变量 X 的概率密度为 X 作两次独立观察，设两次的观察值为 X1，X 2，令 ()求常数 a及 PX10，X 21；()求(Y 1，Y 2)的联合分布23 设总体 X 的密度函数为 其中 0 为未知参数，(X 1，X 2，X n)为来自总体 X 的简单随机样本，求参数 的矩估计量和极大似然估计量考研数学（数学三）模拟试卷 353 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 2 【正确答案】 B【试题解析】 故曲线共有 3 条渐近线，选(B)3 【正确答案】 A【试
7、题解析】 等式两边求导，得 f(x)+2f(x)=2x，其通解为 f(x)=Ce-2x+因为 f(0)= 所以 C=1，从而 f(x)=e-2x+ 令 f(x)=一 2e-2x+1=0，得唯一驻点为 x= 因为 f“(x)=4e-2x0，故 x= 是极小值点，极小值为4 【正确答案】 B【试题解析】 因为|f(x)|x 2，所以 f(0)=0，由|f(x)|x 2，得，由夹逼定理得 f(0)=0由泰勒公式得 f(x)=f(0)+f(0)x+ 其中 介于 0 与 x 之间，因为在(一 ，)内恒有 f“(x)0，所以 I=-f(x)dx= -f“()x2dx0，选(B)5 【正确答案】 A【试题解
8、析】 设 i=(ai1,ai2,ai3,aijT(i=1，2，3)，由已知条件有iTj=0(i=1，2，3，4；j=1，2，3)即 i(i=1，2， 3，4)为方程组的非零解由于 1， 2， 3 线性无关，所以方程组系数矩阵的秩为 3，所以其基础解系含 1 个解向量，从而向量组1， 2， 3， 4 的秩为 1，选(A)6 【正确答案】 C【试题解析】 取 A= ，显然 A 的特征值为 0，0，1，但 r(A)=2，(A)不对；设 显然 A 为非零矩阵，但 A 的特征值都是零，(B)不对；两个矩阵等价，则两个矩阵的秩相等，但特征值不一定相同，(D)不对；应选(C) 事实上，令 AX=X，由 A2
9、=2A 得 A 的特征值为 0 或 2，因为 A 是对称矩阵，所以A 一定可对角化，由 r(A)=r 得 A 的特征值中有 r 个 2，其余全部为零7 【正确答案】 B【试题解析】 F( 一 a)=P(x一 a=+af(x)dx=+af(一 t)(一 dt)=a+f(t)dt =1 一 -af(t)dt=1 一 -0f(t)dt-0af(t)dt= -0af(t)dt，选(B)8 【正确答案】 D【试题解析】 因为 X1，X 2，X n 与总体服从相同的分布。所以(A)不对；显然 ，所以 (B)不对；二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 10 【正确答案】 一 100!【试题解析】 f(x
10、)= =(1 一 x)(1+x3+x6+)=1 一 x+x3-x4+x6一 x7+x99 一 x100+，又 f(x)= ，即 f(100)(0)=-100!11 【正确答案】 【试题解析】 因为 为奇函数，所以12 【正确答案】 【试题解析】 特征方程为 2-2-3=0，特征值为 1=一 1， 2=3，则方程 y“-2y一3y=0 的通解为 y=C1e-x+C2e3x 令原方程的特解为 y0(x)=Axe-x，代入原方程得 A=，于是原方程的通解为 y=C1e-x+C2e3x 一13 【正确答案】 1【试题解析】 由 AX=0 有非零解得 r(A)3，从而 =0 为 A 的特征值， 1=(m
11、，-m,1)T 为其对应的特征向量； 由(A+E)X=0 有非零解得 r(A+E)3，|A+E|=0，=一 1 为 A 的另一个特征值，其对应的特征向量为 2=(m，1，1-m) T，因为 A 为实对称矩阵，所以 A 的不同特征值对应的特征向量正交，于是有 m=114 【正确答案】 t(3)【试题解析】 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 16 【正确答案】 () 利润函数为 L(q1，q 2)=R(q1，q 2)-q1 一 2q2=14q1+32q2q12 一4q22-2q1q2-36令 得 q1=4，q 2=3，因为驻点唯一，且该实际问题存在最大值，故当
12、q1=4，q 2=3 时 L(q1，q 2)达到最大，最大值为 L(4，3)=40(万)() 令 F(q1，q 2，)=L(q 1，q 2)+(q1+2q26)，令，得 q1=2，q 2=2，于是在 q1+2q2=6 下，当q1=2， q2=2 时， L(q1，q 2)取到最大值，最大值为 L(2，2)=28(万)17 【正确答案】 令 g(x)=f(x)+f(a)- 显然 g(a)=0g(x)=f(x) 一由于 f(x)=ln2x+2lnx，f“(x)= (1+lnx)0(xa1) ，从而 xa1 时，g(x) 0，即当 xa1 时 g(x)单调增加，再由 g(a)=0，则有 g(b)0，从
13、而左端不等号得证令 h(x)=(e1)(x 一 a)+2f一 f(x)-f(a)，显然 h(a)=0因此 h(x)为单调增加的函数，从而有 h(b)h(a)=0，即右端不等号得证18 【正确答案】 19 【正确答案】 20 【正确答案】 () 若 r(A)=1，则 A 为非零矩阵且 A 的任意两行成比例，即于是，显然 ， 都不是零向量且A=T；反之，若 A=T，其中 ， 都是 n 维非零列向量，则 r(A)=r(T)r()=1又因为 . 为非零列向量，所以 A 为非零矩阵，从而 r(A)1，于是 r(A)=1 ()因为 r(A)=1,所以存在非零列向量 ，使得 A=T，显然 tr(A)=(，)
14、，因为tr(A)0，所以 (，)=k0 令 AX=X，因为 A2=kA，所以 2X=kX，或( 2 一 k)X=0，注意到 X0，所以矩阵 A 的特征值为 =0 或 =k因为 1+2+ n=tr(A)=k，所以 1=k， 2=3= n=0由 r(OE-A)=r(A)=1，得 A 一定可以对角化21 【正确答案】 () 因为 1， 2， 1， 2 线性相关，所以存在不全为零的常数k1，k 2，l 1，l 2 使得 k11+k22+l11+l22=0，或 k11+k22=一 l11l22 令=k11+k22=一 l11 因为 1， 2 与 1， 2 都线性无关，所以 k，k 2 及 l1，l 2 都不全为零，所以 0 () 令 k12+k22+l11+l22=0，则 ，所以 =k13k2=一 k1+0222 【正确答案】 () 由 ，因为 X1，X 2 相互独立所以 PX10，X 2 1=PX10PX 21，注意到 f(x)为偶函数，所以PX10= 于是()(Y 1，Y 2)可能的取值为 (00)，(0，1)，(1，0)，(1，1)PY 1=0，Y 2=0=PX11，X 21)=PX 11PX 21= PY1=0，Y 2=1=PX11，X 21 =PX11PX21PY1=1，Y 2=1=PX11，X 21=PX11PX21=23 【正确答案】 E(X)=0，
