1、考研数学（数学三）模拟试卷 354 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)=0sinxsint2dt，g(x)=x 3+x4，当 x0 时，f(x)是 g(x)的( )（A）等价无穷小（B）同阶但非等价无穷小（C）高阶无穷小（D）低阶无穷小2 设 f(x)连续可导,且 ，f(0) 为 f(x)的极值，则( )（A）当 f(0)=0 时，f(0) 是 f(x)的极小值（B）当 f(0)=0 时，f(0)是 f(x)的极大值（C）当 f(0)0 时，f(0) 是 f(x)的极大值（D）当 f(0)0 时，f(0)是 f(x)的极小值3 设 f(x
2、，y)= 则 f(x，y)在(0，0)处( )（A）极限存在，但不连续（B）连续，但不可偏导（C）连续可偏导，但不可微（D）可微4 下列命题正确的是( ) 5 下列结论正确的是( ) （A）若 A，B 特征值相同，则 AB（B）矩阵 A 的秩与其非零特征值个数相等（C）若 A，B 特征值相同，则 A，B 等价（D）A，B 的特征值相同且 A，B 都可对角化，则 AB6 设向量组 1,2， 3 线性无关， 1 不可由 1， 2， 3 线性表示，而 2 可由1， 2， 3 线性表示，则下列结论正确的是( )（A） 1， 2， 2 线性相关（B） 1， 2， 2 线性无关（C） 1， 2， 3， 1
3、+2 线性相关（D） 1， 2， 3， 1+2 线性无关7 设 P(A|B)=P(B|A)= 则( )（A）事件 A，B 独立且 P(A+B)=（B）事件 A，B 独立且 P(A+B)=（C）事件 A，B 不独立且 P(A+B)=（D）事件 A，B 不独立且 P(A+B)=8 设连续型随机变量 X 的概率密度 f(x)为偶函数，且 F(x)=-xf(t)dt，则对任意常数a0，P|X| a为( )（A）2-2F(a)（B） 1 一 F(a) （C） 2F(a) （D）2F(a)一 1二、填空题9 设 f(x)为连续函数，且 f(1)=1则 =_10 11 差分方程 的通解为_12 设 u=ex
4、+y+z，且 y，z 由方程 0x dt+ln(1+y)=0 及 ey+z=e+lnz 确定为 x 的函数，则=_13 设 A= 且 ABAT=E+2BAT，则 B=_14 设随机变量 X，Y 相互独立，且都服从(一 11)上的均匀分布，令Z=maxX，Y，则 P0Z 1=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 F(X)在0，2 上连续，在(0，2) 内三阶可导，且 =2，f(1)=1 ，f(2)=6证明：存在 (0，2)，使得 f“()=916 设 u=f(x2+y2，xz)，z=z(x ，y) 由 ex+ey=ez 确定，其中 f 二阶连续可偏导，求17 设某工厂生产
5、甲、乙两种产品，设甲、乙两种产品的产量分别为 x 和 y(吨)，其收入函数为 R=15x+34yx2 一 2xy 一 4y2 一 36(万)，设生产甲产品每吨需要支付排污费用 1 万，生产乙产品每吨需要支付排污费用 2 万 ()在不限制排污费刚的情况下，这两种产品产量各为多少时总利润最大?求最大利润 ()当排污总费用为6 万时，这两种产品产量各多少时总利润最大?求最大利润18 设偶函数 f(x)在 x=0 的邻域内二阶连续可导，且 f(0)=1，f“(0)=4证明：绝对收敛19 求微分方程 y“+y一 2y=xex+sin2x 的通解20 设矩阵 A 满足 A(EC-1B)TCT=E+A，其中
6、 B= 求矩阵 A21 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+x22+x32+2ax1x2+2x1x3+2bx2x3 的秩为 1，且(0，1，一1)T 为二次型的矩阵 A 的特征向量 ()求常数 a，b； ()求正交变换 X=QY，使二次型 XTAX 化为标准形22 设随机变量 X 的分布律为 PX=k=p(1-p)k-1(k=1，2，)，Y 在 1k 之间等可能取值，求 PY=323 设 X1，X 2，X n(n2)相互独立且都服从 N(0，1)，Y i=Xi 一(i=1，2，n)求()D(Y i)(i=1，2，n)；()Cov(Y 1，Y n)；()PY1+Yn0考研数学（数学三）
7、模拟试卷 354 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 因为 ，所以正确答案为(B)2 【正确答案】 A【试题解析】 因为 f(x)连续可导，所以由 得 f(0)+f(0)=0当 f(0)0时，因为 f(0)0，所以 f(0)不是极值，(C)，(D) 不对；当 f(0)=0 时，f(0)=0，由=f“(0)+f(0)得 f“(0)=10，故 f(0)为 f(x)的极小值，选(A) 3 【正确答案】 C【试题解析】 由 0|f(x， y)|=|x| =0=f(0，0)，即f(x,y)在(0，0)处连续由 ，得 fx(0，0)=0
8、，同理 fy(0，0)=0，即 f(x，y)在(0，0)处可偏导因为不存在，所以 f(x，y)在(0，0)处不可微，应选 (C)4 【正确答案】 C【试题解析】 5 【正确答案】 D【试题解析】 因为|E A|=|E 一 B|=2(一 1)，所以 A，B 特征值相同，但 r(A)=2r(B)=1，故 A，B 不相似，(A) 不正确；对 显然 1=2=0， 3=0，而 r(A)=2，所以(B)不正确；由(A) ，A，B 特征值相同，A，B 的秩不一定相等，故(C)不正确；设 A，B 的特征值相同且 A，B 都可对角化，令其特征值为 1， 2， n 因为 A，B 都可对角化，所以存在可逆阵 P1，
9、P 2，使得 P1-1AP1=P2-1BP2= 从而有 P1-1AP1=P2-1BP2，于是(P 1P2-1)-1AP1P2-1=B，令 P1P2-1=P，则 P-1AP=B，即 AB ，选(D)6 【正确答案】 D【试题解析】 因为 1 不可由 1， 2， 3 线性表示，而 2 可由 1， 2， 3 线性表示，所以 1+2 不可由 1， 2， 3 线性表示，从而 1， 2， 3， 1+2 线性无关，故选(D)7 【正确答案】 C【试题解析】 P(A| B)=P(B| A)= 得 P(A)=P(B)，再由 得 P(A)=P(B)=，因为 P(AB)P(A)P(B)，所以 A，B 不独立，故 P
10、(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)= 选 C8 【正确答案】 A【试题解析】 P|X|a=1P|X|a=1 一 P一 aXa=1-F(a)+F(-a)而 F(一 a)=-af(a)dx +af(一 t)(一 dt)=a+f(t)dt=1-af(t)dt=1 一 F(a)，所以P|X| a=22F(a)，选(A)二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 10 【正确答案】 【试题解析】 11 【正确答案】 【试题解析】 对差分方程 yx+1-ayx=kbx，当 ba时，通解为 当b=a 时，通解为 yx=kxbx-1+Cax，于是 的通解为12 【正确答案】 【试题解析】 令 x=0 得
11、 y=0，z=1，将方程 +ln(1+y)=0 及 ey+z=e+lnz 对 x 求导得 将 x=0，y=0z=1 代入得13 【正确答案】 【试题解析】 由 ABAT=E+2BAT，得 ABAT=(AT)-1AT+2BAT，因为 AT 可逆，所以AB=(AT)-1+2B 或 B=(A 一 2E)-1(AT)-1=AT(A 一 2E)-1，解得 B=14 【正确答案】 【试题解析】 因为 X，Y 都服从(一 1，1)上的均匀分布，所以FZ(z)=PZz=Pmax(X，Y)z=PXzPYz=F X(z)FY(z)，则于是 P0Z1=F Z(1)一 FZ(0)=三、解答题解答应写出文字说明、证明过
12、程或演算步骤。15 【正确答案】 由 =2，得 f(0)=0，f(0)=2 作多项式 P(x)=Ax3+Bx2+Cx+D，使得 P(0)=0，P(0)=2 ，P(1)=1 ，P(2)=6，解得 ，C=2，D=0令 (x)=f(x)一 则 (x)在0，2上连续，在(0，2)内可导，且 (0)=(1)=(2)=0因此 (x)在0 ，1和1 ，2上都满足罗尔定理的条件，则存在 1(0，1)， 2(1，2)，使得 (1)=(2)=0 又 (0)=0，由罗尔定理，存在 1(0， 1)， 2(1， 2)，使得 ”(1)=“(2)=0，再由罗尔定理，存在(1， 2) (0，2)，使得 “()=0而 “(x)
13、=f“(x)一 9，所以 f“()=916 【正确答案】 由 ex+ey=ez 得=2x(2yf11“+xey-xf12“)+(ey-z 一 xex+y-2z)f2+(z+xex-z)(2yf21“+xey-zf22“)=4xyf11“+(2x2ey-z+2yz+2xyex-z)f12“+(ey-zxex+y-2z)f2+xey-z(z+xex-z)f22“17 【正确答案】 () 利润函数为 L=RC=15x+34y 一 x2-2xy-4y236 一 x-2y =14x+32y-x2 一 2xy 一 4y2-36 因为只有唯一一个驻点，且该实际问题一定有最大值，所以当 时，利润达到最大，最大
14、利润为 L(4，3)=40(万) ()令 F(x，y，)=L(x，y)+(x+2y 一 6)，因为该实际问题一定有最大值，故当 时，总利润最大，且最大利润为 L(2，2)=28(万)18 【正确答案】 因为 f(x)为偶函数，所以 f(一 x)=一 f(x)，于是 f(0)=0因为 f(x)在 x=0 的邻域内二阶连续可导，所以 f(x)=f(0)+f(0)x+ +0(x2)，即 f(x)-1=2x2+0(x2)，于是19 【正确答案】 特征方程为 2+ 一 2=0，特征值为 1=一 2， 22=1，y“+y一 2y=0的通解为 y=C1e-2x+C2ex设 y“+y一 2y=xex (*)
15、y“+y一 2y=sin2x (*)令(*)的特解为 y1(x)=(ax2+bx)ex，代入(*)得 由 y“+y一 2y=sin2x 得 y“+y一2y= (1 一 cos2x)显然 y“+y一 2y= 对 y“+y一 2y=，令其特解为 y=Acos2x+Bsin2x，代入得 则 y2(x)=，所以原方程的通解为20 【正确答案】 由 A(EC-1B)TCT=E+A 得 AC(EC -1B)T=E+A，即 E+A=A(CB)T，E=A(C-B)一 ET，21 【正确答案】 22 【正确答案】 令 Ak=X=k(k=1，2，)，B=Y=3)，P(B|A 1)=P(B|A2)=0， P(B|Ak)= (k3)，由全概率公式得23 【正确答案】 因为 X1，X 2，X n 独立且都服从正态分布，所以 Y1+Y2 服从正态分布，
