1、考研数学（数学三）模拟试卷 356 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设正数列a n满足 ，则极限 =（A）e（B） 1（C） 0（D）2 设函数 则 x=0 是 f(x)的（A）可去间断点（B）跳跃间断点（C）第二类间断点（D）连续点3 设有函数 f1(x)=1nx，f 2(x)= ，f 3(x)=x33x2+x+1，f 4(x)=x一 1+1nx，则以 (1，0)为曲线拐点的函数有（A）1 个（B） 2 个（C） 3 个（D）4 个4 设 =x2 一 xy+y2，则 fx(1，1)=（A）1（B） 0（C）一 1（D）5 设 A 是 mn 矩阵，
2、且方程组 Ax=b 有解，则（A）当 Ax=b 有唯一解时，必有 m=n（B） 当 Ax=b 有唯一解时，必有 r(A)=n（C）当 Ax=b 有无穷多解时，必有 mn（D）当 Ax=b 有无穷多解时，必有 r(A)m6 下列矩阵中不能相似对角化的是7 设事件 A，B，C 是一个完备事件组，即它们两两互不相容且其和为 ，则下列结论中一定成立的是8 设 是取自同一正态总体 N(， 2)的两个相互独立且容量相同的简单随机样本的两个样本均值，则满足 的最小样本容量n=_（A）4（B） 8（C） 12（D）24二、填空题9 已知级数 与反常积分 均收敛，则常数 p 的取值范围是_10 若由曲线 及曲线
3、某点处的切线方程与两条直线 x=1，x=3 围成的平面区域的面积最小，则该切线方程为_11 若一条二次曲线把(一，0)内的曲线段 y=ex 和(1，+)内的曲线段 连接成一条一阶可导的曲线，则定义在0，1上的这条二次曲线为_12 由于折旧等因素，某机器转售价格 P(t)是时间 t(周)的减函数 ，其中 A 是机器的最初价格，在任何时间 t，机器开动就能产生 的利润，则使转售出去总利润最大时机器使用的时间 t=_周(1n20693)13 已知 ，那么矩阵 A=_14 设随机变量 X 的密度函数为 则 Y=-2X+3 服从的分布是_.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 F(
4、x)= ，求 F(x)(x一 1，x0)并讨论 F(x)在(一 1， +)上的连续性16 抛物线 y=x2 上任意点(a，a 2)(a0)处引切线 L1，在另一点处引另一切线 L2，L 2与 L1 垂直 (I)求 L1 与 L2 交点的横坐标 x1； ()求 L1，L 2 与抛物线 y=x2 所围图形的面积 S(a)； ()问 a0 取何值时 S(a)取最小值17 设函数 计算二重积分 其中D=(x，y) x 2+(y 一 1)2118 作自变量替换 ，把方程变换成 y 关于 t 的微分方程，并求原方程的通解19 设函数 f(x)在区间0， 4上连续，且 ，求证：存在 (0，4)使得f()+f
5、(4一 )=020 设 A 是 n 阶反对称矩阵， (I)证明：A 可逆的必要条件是 n 为偶数；当 n 为奇数时，A *是对称矩阵； ()举一个 4 阶不可逆的反对称矩阵的例子； ()证明：如果是 A 的特征值，那么一 也必是 A 的特征值21 已知 ，求 A 的特征值与特征向量，并指出 A 可以相似对角化的条件22 设离散型二维随机变量(X，Y)的取值为(x i，y j)(i，j=1，2)，且PX=x2= ，Py=y 1X=x 2= ，pX=x 1Y=y 1= ，试求：(I)二维随机变量(X， Y)的联合概率分布；(II)条件概率 PY=yjX=x 1，j=1，223 设 X1，X 2，X
6、 n 是来自总体 X 的简单随机样本，X 的概率密度为是未知参数(I)求 的矩估计量 ；()求 的最大似然估计量 ，并求 考研数学（数学三）模拟试卷 356 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 2 【正确答案】 B【试题解析】 3 【正确答案】 D【试题解析】 首先 fi(1)=0，i=1，2，3，4，说明点(1，0)都在曲线上 由lnx的图形容易判断(1，0) 是 f1(x)的拐点 令f2“(x)=0，x=1(x=一 1 不在定义域内)，由于 f2“(x)在 x=1 的左、右异号，故(1，0)是 f2(x)的拐点 f 3(
7、x)=3x26x+1，f 3“(x)=6(x 一 1)，f 3“(1)=0， 又 f3“(x)在 x=1 左右异号，故(1，0) 是 f3(x)的拐点 对 f4(x)求导比较麻烦，我们可以由 g(x)=x 一1+lnx 来讨论 可知 g(x)，又 ，故 g(x)的图形上凸，当 x(0，1)时 g(x)0，当 x(1，+)时 g(x)0，所以 f4(x)=g(x)的图形以(1 ，0) 为拐点 综上所述，应选(D) 4 【正确答案】 D【试题解析】 5 【正确答案】 B【试题解析】 6 【正确答案】 C【试题解析】 7 【正确答案】 C【试题解析】 8 【正确答案】 B【试题解析】 二、填空题9
8、【正确答案】 0p2【试题解析】 由于 是交错级数，只要 p0 就符合莱布尼兹判别法的要求，因而收敛，而当 p0 时，该级数的通项不趋于零，所以一定发散又对于来说，直接计算即可知：p2 时收敛，p2 时发散两者结合即得上述答案10 【正确答案】 【试题解析】 11 【正确答案】 y=一 x2+x+1【试题解析】 设二次曲线为 y=ax2+bx+c 由f(x)的连续性，在点 x=0 处有 e0=c，则 c=1； 在点 x=1 处有 a+b+c=1，可知a+b=0 由可导性 f+(0)=b，f -(0)=e0=1，故由 f+(0)=f-(0)得 b=1，a=一 1， 所以二次曲线为 y=一 x2+
9、x+112 【正确答案】 333【试题解析】 假设机器使用了 t 周后出售，在时间t，t+dt内机器开动产生的利润为 令 f(t)=0，得t=961n32333当 t96In32 时，f(t) 0；当 t96In32 时，f(t)0，故机器使用了 333 周后转售出去总利润最大13 【正确答案】 【试题解析】 14 【正确答案】 N(5，2)【试题解析】 Y=一 2X+3仍服从正态分布，且 EY=一 2EX+3=5DY=4DX=2，所以 YN(5 ，2)三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 先将 F(x)转化为变限积分，令 s=xt，则16 【正确答案】 (I)
10、 ()()17 【正确答案】 如图所示，设在直线 y=1 下方的部分记为 D1，在 y=l 上方的部分记为 D2，且 D2 在 y 轴右侧的部分记为 D2，于是18 【正确答案】 (I) ()求解二阶常系数线性方程 相应的特征方程 2+2+1=0，有重根 =一 1 非齐次方程可设特解 y*=Asint+Bcost，代入得 一(Asint+Bcost)+2(AcostBsint)+(Asint+Bcost)=2sint， 即 AcostBsint=sint， 比较系数得 A=0，B=-1 即 y*(t)=一 cost，因此的通解为 y=(C 1+C1t)e-t 一 cost()原方程的通解为19
11、 【正确答案】 用反证法来证明本题 由题设 f(x)在0，4上连续即知 f(4 一 x)在0，4上连续，从而其和 f(x)+f(4 一 x)也在 0，4上连续若不存在 (0，4)使f()+f(4一 )=0，则 f(x)+f(4 一 x)或在(0，4)内恒正，或在 (0，4)内恒负，于是必有20 【正确答案】 (I)按反对称矩阵定义：A T=一 A，那么 A=A T=A=(一 1)n A，即1 一(一 1)nA=0 若 n=2k+l，必有A =0 所以 A可逆的必要条件是 n 为偶数 因 AT=一 A，由(A *)T=(AT)*有 (A *)T=(AT)*=(一 A)* 又因(kA) *=kn-
12、1A*，故当 n=2k+1 时，有 (A *)T=(一 1)2kA*=A*， 即 A*是对称矩阵( )例如， 是 4 阶反对称矩阵，且不可逆()若 是 A 的特征值，有EA=0，那么 -E-A= (一 E-A)T=-E AT=-E+A= 一(E-A)=(一 1)nE-A=0，所以一 是 A 的特征值21 【正确答案】 由矩阵 A 的特征多项式22 【正确答案】 () 因 X 与 Y 独立，所以有()【试题解析】 依题意，随机变量 X 与 Y 的可能取值分别为 x1，x 2 与 y1，y 2，且又题设 于是有 PX=x1Y=y 1=PX=x1，即事件X=x 1与事件Y=y 1相互独立，因而X=x 1的对立事件X=x 2与Y=y 1独立，且X=x 1与Y=y 1的对立事件Y=y 2独立；X=x 2与Y=y2独立，即 X 与 Y 相互独立23 【正确答案】
