1、考研数学（数学三）模拟试卷 357 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)与 x 为等价无穷小，且 f(x)x，则当 x0 +时，f(x) x 一 xx 是（A）比 f(x)一 x 高阶的无穷小（B）比 f(x)一 x 低阶的无穷小（C）比 f(x)一 x 同阶但不等价的无穷小（D）与 f(x)一 x 等价的无穷小2 设 ，则 f(x)在( 一，+)内（A）没有零点（B）只有一个零点（C）恰有两个零点（D）恰有三个零点3 若 f(一 1， 0)为函数 f(x， y)=e-x(ax+by2)的极大值，则常数 a，b 应满足的条件是（A）a0 ，
2、b=a+1 （B） a0，b=2a（C） a0，b=a+1（D）a0， b=2a4 已知函数 f(x)在区间0， 2上可积，且满足 ，则函数 f(x)的解析式是5 设 A 为 n 阶矩阵，对于齐次线性方程()A nx=0 和()A n+1x=0，则必有（A）() 的解是 ()的解，()的解也是()的解（B） ()的解是( )的解，但( )的解不是()的解（C） ()的解是( )的解，但( )的解不是()的解（D）() 的解不是 ()的解，()的解也不是()的解6 已知 4 维列向量 1， 2， 3 线性无关，若 i(i=1，2，3，4)非零且与 1， 2， 3均正交，则秩 r(1， 2， 3，
3、 4)=（A）1（B） 2（C） 3（D）47 设随机变量 X 的密度函数关于 x= 对称，F(x)为其分布函数，则有（A）F(+x)=F( 一 x)（B） F(+x)+F( 一 x)1（C） 0F(+x)+F( 一 x)1（D）F(+x)+F( 一 x)=18 设随机变量 X 的概率分布为 PX=k=aCnkpkqn-k(k=1，2，n，q=1 一 p)，则EX=二、填空题9 设 f(x)在 x=0 处连续，且 ，则曲线 )y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程为_10 将抛物线 y=x2 一 x 与 x 轴及直线 x=c(c1) 所围成平面图形绕 x 轴旋转一周，所得旋转体的体积 Vx
4、 等于弦 op(p 为抛物线与直线 x=c 的交点)绕 x 轴旋转所得锥体的体积 V 锥 ，则 c 的值为_11 设 ，其中 z=z(x，y)是由方程 3x2+2y2+z2=6 确定的隐函数，且 z(1，1)=1，则 =_12 设平面区域 D=(x，y)x 3y1，一 1x1，f(x)是定义在一 a，a(a1)上的任意连续函数，则 =_13 设 ，B 是 3 阶非零矩阵，满足 BA=0.则矩阵 B=_.14 设二维随机变量(X，Y)服从正态分布 N(，； 2， 2；0)，则 Emin(X，Y)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 (I)讨论 f(x)的连续性，若有间断
5、点并指出间断点的类型；()判断 f(x)在(一，1 是否有界，并说明理由16 设二元可微函数 F(x，y)在直角坐标系中可写成 F(x，y)=f(x)+g(y)，其中 f(x)，g(y)均为可微函数，而在极坐标系中可写成 F(x，y)=H(r) ，求二元函数 F(x，y)17 设积分区域 D=(x，y)0x1，0y1，求 18 19 设函数 y(x)在a ，b 上连续在(a，b)内二次可导，且满足其中函数 p(x)，q(x)与 f(x)都在a ，b上连续，且存在常数 q00 使得 q(x)q0，存在常数 F0 使得f(x) F求证：当xa，b时 20 设 ，且 B=P-1AP(I) 求矩阵 A
6、 的特征值与特征向量。()当时，求矩阵 B；()求 A10021 设 A 为三阶方阵， 为三维列向量，已知向量组 ，A，A 2 线性无关，且A3=3A 一 2A2 证明：(I)矩阵 B=(，A，A 4)可逆； ()B TB 是正定矩阵22 设 X，Y 相互独立且同服从0，( 0)上的均匀分布，求 Emin(X，Y) ，Emax(X，Y)23 独立重复某项试验，直到成功为止每次试验成功的概率为 P，假设前 5 次试验每次试验费用为 100 元，从第 6 次起，每次试验费用为 80 元，试求该项试验总费用的期望值 W考研数学（数学三）模拟试卷 357 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，
7、只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 2 【正确答案】 C【试题解析】 3 【正确答案】 B【试题解析】 4 【正确答案】 B【试题解析】 5 【正确答案】 A【试题解析】 若 是(I)的解，即 An=0，显然 An+1=A(An)=AO=0，即 必是()的解可排除 (C)和(D) 若 是()的解，即 An+1=0假若 不是()的解，即 An0，那么对于向量组 ，A ，A 2，A n，一方面这是 n+1 个 n 维向量必线性相关；另一方面，若 k+k 1A+k2A2+k nAn=0， 用 An 左乘上式，并把An+1=0，A n+2=0，代入，得 kAn=0 由于 An0
8、，必有 k=0对 k1A+k2A2+k nAn=0， 用 An-1 左乘上式可推知 k1=0 类似可知ki=0(i=2，3，n)于是向量组 ，A ，A 2，A n 线性无关，两者矛盾所以必有 An=0，即()的解必是()的解由此可排除(B)故应选(A)6 【正确答案】 A【试题解析】 设 1=(a11，a 12，a 13，a 14)T， 2=(a21，a 22，a 23，a 24)T， 3=(a31,a32,a33，a 34)T，那么 i 与 1， 2， 3 均正交，即内积iTj=O(j=1，2，3，4) 由于1， 2， 3 线性无关，故系数矩阵的秩为 3所以基础解系有 43=1 个解向量从而
9、 r(1， 2， 3， 4)=1故应选(A) 7 【正确答案】 D【试题解析】 利用分布函数与密度函数的关系及密度函数的对称性，作积分变量替换可导出所需要的结论8 【正确答案】 C【试题解析】 首先我们注意到该分布不考虑 a 时，与二项分布仅差 k=0 的一项，先利用概率分布的和等于 1 求出常数 a，再用二项分布的期望求 EX由二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 10 【正确答案】 【试题解析】 11 【正确答案】 2e(cos2 一 sin2)【试题解析】 12 【正确答案】 0【试题解析】 令 F(x)=(x+1)f(x)+(x 一 1)f(一 x) 则 F(一 x)=(一 x+1
10、)f(一 x)+(一 x-1)f(x)=一(x 一 1)f(一 x)+(x+1)f(x)=一 F(x) 即 F(x)为奇函数其中 1-x6 为偶函数，F(x)为奇函数，因此被积函数为奇函数，在对称区间上的积分为零13 【正确答案】 【试题解析】 由 BA=0 知 r(B)+r(A)3又由 B0 知 r(B)1显然 A 中有 2 阶子式非 0，知 r(A)2故必有 r(A)=2，r(B)=1因 ATBT=0，所以齐次线性方程组ATx=0 的解就是 B 的行向量又由14 【正确答案】 【试题解析】 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 (I)()16 【正确答案】
11、17 【正确答案】 18 【正确答案】 19 【正确答案】 20 【正确答案】 (I)() ()21 【正确答案】 () 由于 A3=3A 一 2A2，故 A 4=3A2 一 2A3=3A2 一 2(3A一 2A2)=7A2 一 6A 若 k1+k2A+k3A4=0，即 k1+k2A+k3(7A2 一 6A)=0， 亦即 k1+(k26k3)A+7k3A2=0，因为 ，A，A 2 线性无关，故 所以，A，A 4 线性无关，因而矩阵B 可逆 ()因为(B TB)T=BT(BT)T=BTB，故 BTB 是对称矩阵又 ，由于矩阵 B 可逆，恒有 Bx0，那么恒有 xT(BTB)x=(Bx)T(Bx)0，故二次型 xT(BTB)x 是正定二次型，从而矩阵 BTB 是正定矩阵22 【正确答案】 23 【正确答案】
