1、考研数学（数学三）模拟试卷 361 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设图形(a)，(b)，(c)如下：从定性上看，若函数 f(x)在0，1内可导，则 y=f(x)， 与 y=f(x)的图形分别是（A）(a)，(b)，(c)（B） (a)，(c)，(b) （C） (b)，(a) ，(c)（D） (c)，(a)，(b)2 设 f(x)为恒大于零的可微函数，当 时，恒有 f(x)sinxf(x)cosx 则当时，下列不等式恒成立的是3 设 z=fcos(x2+y2)一 1，In(1+x 2+y2)，其中 f 有连续的一阶偏导数，则=（A）4f 2(0，0
2、)（B） f1(0， 0)+f2(0，0)（C） 0（D）不存在4 设 f(x)在a ，b上可导，f(x)+f(x) 2 一 =0，且 ，则 在(a， b)内必定（A）恒为正（B）恒为负（C）恒为零（D）变号5 设 ，B 是 2 阶矩阵，且满足 AB=B，k 1，k 2 是任意常数，则 B=6 设矩阵 A 是秩为 2 的 4 阶矩阵，又 1， 2， 3 是线性方程组 Ax=b 的解，且1+2 一 3=(2，0，一 5，4) T， 2+23=(3，12，3， 3)T， 321=(2，4，1，一 2)T，则方程组 Ax=b 的通解 x=7 在考核中，若学员中靶两次，则认定合格而停止射击，但限定每人
3、最多只能射击三次设事件 A=“考核合格 ”，B=“ 最多中靶一次”，C=“射击三次”，已知学员中靶率为 p(0p1) ，则（A）AB 与 C 独立（B） BC 与 A 独立（C） AC 与 B 独立（D）A，B，C 相互独立8 设随机变量 X 的密度函数为 则下列服从标准正态分布的随机变量是二、填空题9 设函数 在 x=1 处连续，则 A=_10 设 y(x)是由 x2+xy+y=tan(x-y)确定的隐函数，且 y(0)=0，则 y“(0)=_.11 已知 y1=xex+e2x,y2=xex+e-x，y 3=xex+e2x-e-x 是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，则此微分方程为_.12
4、设函数 ，则 f(10)(1)=_13 已知 ，A *是 A 的伴随矩阵，则 =_14 掷一枚不均匀的硬币，设正面出现的概率为 P，反面出现的概率为 q=1-p，随机变量 X 为一直掷到正面和反面都出现为止所需要的次数，则 X 的概率分布为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 b 为常数(I)求曲线 L： 的斜渐近线 l 的方程；()设 L 与 l从 x=1 延伸到 x+之间的图形的面积 A 为有限值求 b 及 A 的值16 ()设 ；()求 17 设某企业生产一种产品，其成本 C(Q)= 一 16Q2+100Q+1000，平均收益=a 一 (a0，0b24)，当边际收
5、益 MR=44,需求价格弹性 时获得最大利润，求获得最大利润时产品的产量及常数 a 与 b 的值18 设积分区域 D=(x，y)x 2+y2x+y，计算二重积分19 设 f(x)在a，b上连续且单调增加，试证：20 已知向量 =(a1，a 2，a 3，a 4)T 可以由 1=(1，0，0，1) T， 2=(1，1，0，0)T， 3=(0，2，一 1，一 3)T， 4=(0，0，3，3) T 线性表出 (I)求 a1， 2，a 3，a 4 应满足的条件； () 求向量组 1， 2， 3， 4 的一个极大线性无关组，并把其他向量用该极大线性无关组线性表出； ()把向量 分别用 1， 2， 3， 4
6、 和它的极大线性无关组线性表出21 已知矩阵 试判断矩阵 A 和 B 是否相似，若相似则求出可逆矩阵 P，使 P-1AP=B，若不相似则说明理由22 假设男孩的出生率为 51，同性双胞胎是异性双胞胎的 3 倍，已知一双胞胎第一个是男孩，试求第二个也是男孩的概率23 设总体 X 的概率分布为 ，其中参数 未知且从总体 X 中抽取一个容量为 8 的简单随机样本，其 8 个样本值分别是1，0，1，一 1，1，1，2，1试求：(I) 的矩估计值 ；() 的最大似然估计值；( )经验分布函数 F8(x)考研数学（数学三）模拟试卷 361 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目
7、要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 以(a)或(b)或 (c)为 y=f(x)的图形，从 及 f(x)的几何意义来看其它两个图形是否分别是 和 y=f(x)的图形 若(a)是 y=f(x)的图形，则f(x)在0，1 单调上升且 f(x)0 (x 0，1)f(x)0， 但(C)中 x 轴下方有图像，故 (a)不是 y=f(x)的图形，于是(A) ，(B)均不正确 若(b)是 y=f(x)的图形，则 f(x)有唯一最大值点x0(0，1)，f(x)在0，x 0单调上升，在x i，1单调下降，且 f(x)0(x(0，1)，故且单调上升(x0 ，1)，f(x) 0(x (0，x 0)，f(x 0)=
8、0，f(x)0(x (x0，1)因此(C)是正确的 若(C)是 y=f(x)的图形，则 f(x)在0，1单调下降，于是 f(x)0因此(D)不正确，故应选(C) 2 【正确答案】 D【试题解析】 3 【正确答案】 A【试题解析】 4 【正确答案】 C【试题解析】 5 【正确答案】 D【试题解析】 由 AB=B 有(AE)B=0 ，因而 B 的列向量是齐次方程组 (AE)x=0的解又 那么齐次方程组(AE)x=0 的基础解系是(一1，1) T，所以应选(D) 6 【正确答案】 A【试题解析】 由于 nr(A)=42=2，故方程组 Ax=b 的通解形式应为+k11+k22这样可排除(C)，(D)
9、因为 ，A( 321)=一 b，所以(A)中(1，4，1，1) T 和(B)中(一 2，一 4，一 1，2) T。都是方程组 Ax=b 的解 (A)和(B)中均有(2，2，一 2，1) T，因此它必是 Ax=0 的解只要检验(1，一 4，一6，3) T 和 (1 ，8，2，5) T。哪一个是 Ax=0 的解就可以了 由于 3(1+2 一 3)一(2+23)=3(13)+2(2 一 3)是 Ax=0 的解，所以(3，一 12，一 18，9) T 是 Ax=0的解那么(1，一 4，一 6，3) T 是 Ax=0 的解故应选(A)7 【正确答案】 A【试题解析】 依题意 A 与 B 为对立事件，因此
10、 ，BC=B，而不可能事件与任何事件相互独立，故应选(A) 若进一步分析， P(ABC)=0，而 P(A)，P(B)，P(C) ， P(AC)，P(BC)均不为 0，因此(B) 、(C) 、 (D)均不正确8 【正确答案】 D【试题解析】 二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 10 【正确答案】 【试题解析】 11 【正确答案】 y“一 y一 2y=(12x)ex【试题解析】 y 1y2=e2xe-x，y 1 一 y3=e-x 都是相应齐次方程的解 而(y 1 一 y2)+(y1y3)=e2x 也是齐次方程的解，e 2x 与 e-x 是两个线性无关的解，而 y2=xex+e-x 是非齐次方
11、程的解，从而)y 2 一 e-x=xex 也是非齐次方程的解，由 e-x，e 2x 是齐次方程的解，可知特征根 r1=一 l，r 2=2，特征方程为(r+1)(r 一 2)=0，即 r2 一 r-2=0设所求非齐次方程为 y“一 y一 2y=f(x)将非齐次解 xex 代入，得 f(x)=(xe x)“一(ze x)一 2xex=(12x)ex 故所求方程为 y“一 y一 2y=(12x)ex12 【正确答案】 一 10！2 10【试题解析】 13 【正确答案】 【试题解析】 14 【正确答案】 PX=k=pq(p k-2+qk-2) k=2，3，【试题解析】 易知 X 的取值为 2，3，而X
12、=k表示前 k 一 1 次出现的是正面而第 k 次出现的是反面，或前 k 一 1 次出现的是反面，而第 k 次出现的是反面，于是有 PX=k=p k-1q+qk-1p=pq(pk-2+qk-2)，k=2 ，3，三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 ()()16 【正确答案】 17 【正确答案】 收益函数 ，当取得最大利润时，边际收益等于边际成本， 即 MR=MC 又 MR=R=a 一 bQ，于是 44=C(Q)=2Q 232Q+100， 即 Q 216Q+28=0 解得 Q 1=14， Q 1=2当Q=2 时，得 b=38，不满足 0b24 的条件，故舍去所以当
13、产量 Q=14 时，企业利润取极大值，也是最大值18 【正确答案】 19 【正确答案】 引进辅助函数，把证明常数不等式转化为证明函数不等式(可用单调性方法)20 【正确答案】 () 可由 1， 2， 3， 4 线性表出，即方程组x11+x22+x33+x44= 有解对增广矩阵作初等行变换，有所以向量 可以由 1， 2， 3， 4 线性表出的充分必要条件是：a 1 一 a2+a3 一 a4=0 ()向量组 1， 2， 3， 4 的极大线性无关组是： 1， 2， 3，而 4=一 61+6233 () 方程组的通解是： x 1=a1 一 a2+2a36t，x 2=a22a3+6t，x 3=a33t，x 4=t，其中 t 为任意常数，所以 =(a1a2+2a36t)1+(a22a3+6t)2+(a33t)3+t4，其中t 为任意常数由把 4 代入，得 =(a 1 一 a2+2a3)1+(a22a3)a2+a3321 【正确答案】 由矩阵 A 的特征多项式知(一 EA)x=0 有 2 个线性无关的解，即 =一 1 时矩阵 A 有 2 个线性无关的特征向量，矩阵 A 可以相似对角化 而(一 E 一 B)x=0 只有 1 个线性无关的解，即 =一1 时矩阵 B 只有 1 个线性无关的特征向量，矩阵 B 不能相似对角化因此矩阵 A和 B 不相似22 【正确答案】 23 【正确答案】 ()()()
