1、考研数学（数学三）模拟试卷 363 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 f(x)在(一，+)内连续，其导函数 y=f(x)的曲线如图所示，则 f(x)有（A）两个极小值点，一个极大值点，三个拐点（B）一个极小值点，一个极大值点，两个拐点（C）一个极小值点，一个极大值点，三个拐点（D）一个极小值点，两个极大值点，三个拐点2 设 f(x)在0，1上连续，又 F(x)= ，则（A）F(x+) F(x)(x(一 ，+)（B） F(x+)F(x)(x (一，+)（C） F(x+)=F(x)(x(一 ，+) （D）x0 时 F(x+)F(x)，x0 时 F
2、x+)F(x)3 设 m 与 n 是正整数，则 =4 极数 的收敛域为（A）(0 ，4)（B） 0，4) （C） (0，2) （D）0 ，2)5 a=一 5 是齐次方程组 有非零解的（A）充分必要条件（B）充分而非必要条件（C）必要而非充分条件（D）既非充分也非必要条件6 设 n 维列向量 ，矩阵 A=E 一 4T，其中 E 是 n 阶单位矩阵，若 n 维列向量 =(1，1，1) T，则向量 A 的长度为（A） （B） （C） n（D）n 27 设随机变量 X 服从正态分布 N(，2 2)，X 1，X 2，X 10 是来自 X 的简单随机样本，若 PXa= ，则 =8 设随机变量 XF(n，
3、n)，记 =PX1，=PX1，则在下列关于 与 关系式+=1， =，中正确的是（A）（B） （C） （D）二、填空题9 设曲线 与直线 y=mx(m0) 所围图形绕 x 轴旋转一周与绕 y 轴旋转一周所得旋转体体积相等，则 m=_10 设函数 f(x)可导，且 f(0)=0，f(0)=1，F(x)= ,则=_11 设 a 是一个常数，则 =_12 设方程 的全部解均以 为周期，则常数 a=_13 已知 ，又矩阵 A 和 B 相似，A *是 A 的伴随矩阵，则A *+3E=_14 设 X，Y 分别服从参数为 的 0-1 分布，且它们的相关系数 ，则 X与 Y 的联合概率分布为_.三、解答题解答应
4、写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 已知 f(x)，g(x) 连续，且满足 ，求F(x)=f(x)+g(x)的极大值与极小值16 求通过点(1，1) 的曲线方程 y=f(x)(f(x)0)，使此曲线在1，x上所形成的曲边梯形面积的值等于曲线终点的横坐标 x 与纵坐标 y 之比的 2 倍减去 2，其中 x117 计算18 求级数 的收敛域19 证明导函数的中间值定理(达布定理)：设函数 f(x)在区间a，b上可导(注意：不要求导函数 f(x)在区间a，b上连续!)，则对于任何满足 minf(a)，f(b)maxf(a)，f(b)的常数 ，存在 a，b使得 f()=20 已知 A=(1， 2，
5、 3， 4)是 4 阶矩阵， 1， 2， 3， 4 是 4 维列向量，若方程组Ax= 的通解是(1，2，2，1) T+k(1，一 2，4，0) T，又 B=(3， 2， 1， 一 4)，求方程组 Bx=1 一 2 的通解21 已知矩阵 (I)求可逆矩阵 P，使(AP) T(AP)为对角矩阵；() 若A+kE 正定，求 k 的取值22 设随机变量 X 的概率密度为 又随机变量 Y 在区间(0，X)上服从均匀分布，试求：(I)随机变量 X 和 Y 的联合密度 f(x，y)；( )随机变量 Y的概率密度 f2(y)；(III)X，Y 的协方差 cov(X，Y)23 有甲、乙、丙三个口袋，其中甲袋装有
6、 1 个红球，2 个白球，2 个黑球；乙袋装有 2 个红球，1 个白球，2 个黑球；丙袋装有 2 个红球，3 个白球现任取一袋，从中任取 2 个球，用 X 表示取到的红球数，Y 表示取到的白球数，Z 表示取到的黑球数，试求：(I)(X，Y)的联合分布；()cov(X ，Y)+cov(Y ，Z)考研数学（数学三）模拟试卷 363 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 由图可知，f(x)有两个零点：x 10 ，x 20，且在 x1 两侧 f(x)由正变为负，即 f(x)先增后减，于是 x1 为极大值点；类似分析可知 x2 为极小值
7、点x=0为 f(x)不存在的点(第二类间断点)，在 x=0 两侧均有 f(x)0，因此 x=0 不是极值点但在 x=0 两侧 f(x)由减函数变为增函数，由此可断定(0，f(0)为曲线 y=f(x)的拐点 另外，除 x=0 点外，考察 f(x)的增减性，还有两个点 x3，x 4，使 f(x)在它们的两侧改变增减性，因此这两个点也是曲线)y=f(x)的拐点 综合上述分析，应选(C)2 【正确答案】 C【试题解析】 3 【正确答案】 B【试题解析】 4 【正确答案】 A【试题解析】 5 【正确答案】 B【试题解析】 6 【正确答案】 B【试题解析】 7 【正确答案】 B【试题解析】 8 【正确答案
8、 B【试题解析】 二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 10 【正确答案】 【试题解析】 11 【正确答案】 【试题解析】 12 【正确答案】 【试题解析】 13 【正确答案】 27【试题解析】 由14 【正确答案】 【试题解析】 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 16 【正确答案】 17 【正确答案】 【试题解析】 18 【正确答案】 19 【正确答案】 若 f(a)=f(b)，则取 =a 或 =b 即可若 f(a)f(b)，为了确定起见，无妨设 f(a) f(b)(对 f(a)f(b)的情形可类似证明)当 =f(a)或 =f(b)时相应取=a 或
9、b 即可从而只需证明 介于 f(a)与 f(b)之间的情形定理的结论也成立 引入辅助函数 F(x)=f(x)一 (x 一 a)，则 F(a)=f(a)一 0，由导数的定义即得 ，从而存在 x1(a，b)使得 ，于是 F(x1)F(a)，这表明 F(a)不是 F(x)在a ， b上的最大值此外还有 F(b)=f(b)一 0，同样由导数定义得 ，从而存在 x2(x1， b)使得 ，于是F(x2)F(b)，这表明 F(b)也不是 F(x)在a ，b上的最大值 综上所述即知必存在(a， b)使得 F()是 F(x)在a，b上的最大值，由 F(x)的可导性必有 F()=0 即 f()=类似可证，在相反
10、的情形下必存在 (a，b) 使得 F()是 F(x)在a，b上的最小值，由 F(x)的可导性也有 F()=0 即 f()= 成立20 【正确答案】 由方程组 Ax= 的解的结构，可知 r(A)=r( 1， 2， 3， 4)=3， 且 1+22+23+4=， 122+43=0 因为 B=(3， 2， 1， 一 4)=(3， 2， 1， 1+22+23)，且 1， 2， 3 线性相关，而知秩 r(B)=221 【正确答案】 (I)因为 AT=A，则(AP) T(AP)=PTATAP=PTA2P，又构造二次型 xTA2x=x12+x22+5x32+20x42+20x3x4，经配方，有 xTA2x=x12+x22+5(x3+2x4)2，()由E一 A=( 21)( 一 5)，知矩阵 A 的特征值为：1，5，0，一 1，进而可知 A+kE的特征值为 k+1，k+5 ，k ，k 一 1于是由 A+kE 正定可知，k122 【正确答案】 (I)()()23 【正确答案】 (I)()
