1、考研数学（数学三）模拟试卷 367 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (ex21) sinx( )（A）0（B） 1（C） 2（D）32 设 f(x)在(a，b)内可微，且f(a)f(b) 0，f(a)0，f(b)0，则方程 f(x)0 在(a，b)内( )（A）没有实根（B）有且仅有一个实根（C）有且仅有两个不等实根（D）至少有两个不等实根3 设 f(x)有二阶连续导数，且(x 0，f(x 0)为曲线 y f(x)的拐点，则( )（A）0（B） 1（C） -1（D）不存在4 设 D(x，y) x 2y 2R2，R0，常数 0，则积分 (ercose
2、 rsin )rdr 的值( )（A）为正（B）为负（C）为零（D）0 时为正，0 时为负5 设 A 是 n 阶矩阵，A *是 A 的伴随矩阵，若Aa，则行列式 等于( )（A）一 an（B） an（C） (一 1)n22an（D）(一 1)n22nan6 设 A 是三节矩阵，P 是三阶可逆矩阵，已知 P 1 AP ，且A1 1，A 2 2，A 30，则 p 是( )（A） 1， 1， 1 3（B） 2， 3， 1（C） 213 2，一 82，4 3（D） 1 2， 2 3， 3 17 设 A，B 为随机事件，P(A)07，P(AB)03，则 P( )( )（A）0.4（B） 0.5（C） 0
3、.6（D）0.78 设总体 X 服从正态分布 N(0， 2)(2 已知)，X 1， X2，X n 是取自总体 X 的简单随机样本，S 2 为样本方差，则 ( )（A） 2(n)（B） 2(n 一 1)（C） 2(n)（D） 2(n)二、填空题9 _10 _11 设方程 x2y 2y 确定 y 是 x 的函数，则 dy_12 ex2 dx_13 已知 A ，矩阵 B 满足 BA*2A 1B，其中 A*是 A 的伴随矩阵，则B _14 已知随机变量 Y 的概率密度为 随机变量Z 的数学期望 E(Z)_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 证明方程 xe2x2xcosx x 220
4、 有且仅有两个根16 已知 f(x)arctan(x1) 2，且 f(0)0，求 f(x)dx17 求微分方程 y一 3y一 4y(10x 一 7)ex 34sinx 的通解18 已知函数 zu(x，y)e axby ，且 ，试确定常数 a，b，使函数zz(x，y) 能满足方程19 求数项级数 的和20 设 ，问方程组什么时候有解?什么时候无解? 有解时，求出其相应的解21 设二次型 f(x1，x 2，x 3)X TAXx 1，x 2，x 3 满足aii2，AB0，其中 B (1) 用正交变换化二次型为标准形，并求所作的正交变换；(2)求该二次型22 设钢管内径 X 眼从正态分布 N(， 2)
5、，规定内径在 98 到 102 之间的为合格品；超过 102 的为废品，不是 98 的为次品已知该批产品的次品率为 159，内径超过 101 的产品在总产品中占 228，求整批产品的合格率23 已知总体 X 的概率密度函数为 现抽取n6 的样本，样本观察值分别为 02，03，09，07，08，07试用矩估计法和极大似然估计法求出 的估计值考研数学（数学三）模拟试卷 367 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 极限函数为幂指函数，可用换底法求其极限2 【正确答案】 D【试题解析】 利用极限的保号性及 f(a)0，f(b)0先证
6、明存在一点 c(a，b) ，使 f(c)0于是 f(x)有三个零点，两次使用罗尔定理便得到结论(D)成立因 利用极限的保号性，在a 的右邻域内必存在点 x1，使 f(x1)0，其中 ax 1 同理由 f(b)0 知，必存在一点 x2，使 f(x2)0，其中 x 2b由连续函数的零点定理知，必存在 C(x1，x 2) (a，b) ，使 f(c)0在闭区间a ，c ，(c，b 上对 f(x)分别使用罗尔定理可知，至少存在一点 1(a，C)使得 f(1)0，至少存在一点 2(c，b)使f(2)一 0故方程 f(x) 0 在(a，b)内至少有两个不等实根，仅(D)入选3 【正确答案】 A【试题解析】
7、因 f(x)有二阶连续导数，故可对左边的极限式两次使用洛必达法则，利用题设有 f(x0)0，从而所求极限的值即可得到而点(x0，f(x 0)为曲线的拐点，故 f(x0)0仅(A)入选4 【正确答案】 C【试题解析】 化为直角坐标系下的二重积分，便于利用积分的对称性及被积分函数的奇偶性求解原式 (ex一 ey )d因 D 关于 yx 对称，故ex d又 D 关于 Y 轴对称，而 ex一 ex 为奇函数(自变量带相反符号的两同名函数之差为奇函数)，故 (ex一 ex )d0，即 (ex一 ex )d0仅(C)入选5 【正确答案】 D【试题解析】 利用行列式性质及A *A n1 求之仅(D)入选6
8、【正确答案】 C【试题解析】 P 的三个列向量是 A 的对直于特征值的特征向量，判别时要利用下述三条原则： (1)A 的对于同一特征值的特征向量 1， 2 的线性组合如k1，k 1k 2 仍是 A 的属于同一特征值的特征向量； (2)对于不同特征值的特征向量的线性组合(例如其和或其差)不再是 A 的特征向量； (3)P 中特征向量的排列次序与对角阵中特征值的排列次序一致 利用上述原则即可判定正确的选项 解一 (A)中 1 3 不是 A 的特征向量，(D)中 2 3， 3 1，也不再是 A 的特征向量，(B) 中特征向量与对角阵中特征值的排列不一致，故均不能充当 P仅(C) 入选 解二 因为 1
9、、 2 是 1 的特征向量， 3 是 0 的特征向量，2 13 2，一82 仍是 1 的特征向量， 43 仍是 0 的特征向量，且其排列次序与对角阵中特征值的排列次序一致仅(C)入选7 【正确答案】 C【试题解析】 先用事件的运算将 ，则所求概率归结为求 P( )1 一 P(AB)利用全集分解有 P(AB)P(A )P(AB)P(AB)P(A)仅(C)入选 1(0703) 104068 【正确答案】 C【试题解析】 利用 2 分布的下述可加性求之利用 2 分布的下述可加性求之设Xi 2(mi)(i1，2， k)，X 1，X 2，X k 相互独立，则 X1X 2X k 2(m1m 2m k)且
10、与 S2 相互独立，由 2 分布的可加性得到 2(n)仅(C)入选二、填空题9 【正确答案】 e 2005【试题解析】 所求极限的函数为幂指函数，先用换底法将其化为以 e 为底的指数函数，再用等价无穷小代换：ln(1f(x) f(x)(f(x)0)求其极限而5.4012005故原式e 200510 【正确答案】 2.e 2(4 1)【试题解析】 对 n 项乘积先取对数，产生因子 1n ，再用定积分定义求之令，在其两边取对数，得到再用定积分定义得到故原式2.e 2(41) 11 【正确答案】 【试题解析】 所给方程含幂指函数，先取对数或化为以 e 为底的指数函数求出 y即得 dylnx 2lny
11、 2y，即 2lnx2ylny，两边求导得到 2 .y2ylny2y故 y 所以 dyydx dx12 【正确答案】 【试题解析】 按题设积分次序求不出积分值，需换坐标系为此先画出二重积分的区域所给积分的积分区域用 D 表示如下图所示该积分改用极坐标系计算，得到13 【正确答案】 【试题解析】 矩阵方程中出现未知矩阵 A*或 A1 时，尤其是同时出现 A*与 A1时，常在矩阵方程两边左乘或右乘矩阵 A，利用 A*AAA *A E 及 A1 AAA 1 E 消掉 A*与 A1 ，从而简化矩阵方程，在此基础上再提公因式使所求矩阵化为因子矩阵在原方程两边右乘 A，得到 BA*A2A 1 ABA 得
12、AB2E 3B2EBA 亦即 BA3B2E，B(A 3E)2E，故 BA一 3E2E ，B 8， B14 【正确答案】 【试题解析】 求 E(Z)就是求随机变量 Z 的函数 的期望，可用一般公式求之计算时，尽量使用 函数的结果三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 令 f(x)xe 2x 一 2xcosxx 22，则 f(x)为连续函数，且 f(一 1)e 2 2 一 cos11 2 1e 2 1 一 cos11 20， f(0) 一 10， f(1)e 2 一 2 一 cos112 0 根据零点定理知，f(x)0 在(一 1，1)内有两个实根 下证 f(x)0
13、在(一 1，1)内不可能有三个根事实上，如果 f(x)在(一 1，1)内有三个实根，不妨设为 x1，x 2，x 3，则 f(x 1)f(x 2)f(x 3)0 由于 f(x)二阶可导，故存在 (x1，x 3)使 f()0，但这是不可能的这是因为 f(x)e 2x(12x)一2sinx x， f(x)4e 2x(1x)cosx10， x(一 1，1) 此外当 x一 1 时，f(x)0，当 x1 时，f(x)0，而 f(一 1)0，f(1)0，故函数 f(x)在区间(一，一 1)内单调减少且 f(x) 0；在(1，) 内 f(x)单调增加，且 f(x)0，故在(一 ，一 1)内及在 (1，)内 f
14、(x)不可能有根，因而 f(x)0 仅有两根【试题解析】 为证题设方程有两个根，需在两个区间利用零点定理，为此要找出三点，函数 f(x)xe 2x 一 2xcosxx 22 在此三点相继反号为证 f(x)0 仅有两根，还要利用 f(x)的单调性16 【正确答案】 分部积分两次得【试题解析】 已知被积函数的导数，常用分部积分法求其积分的值17 【正确答案】 齐次方程 y一 3y一 4y0 的特征方程为 2 一 3 一 40， 由此求得特征根 14， 2一 1对应齐次方程的通解为 YC 1e4xC 2ex 则 f1(x)(10x 一 7)ex 的特解形式为 y 1*x(ABx)e x (AxBx
15、2)ex ， f 2(x)34sinx 的特解形式为 y 2*Csinx Dcosx。 于是由叠加原理知，非齐次方程的特解为 y*y 1*y 2*(AxBx 2)ex CsinxDcosx， 则 (y*)(A 2BxAx 一 Bx2)ex Ccosx Dsinx， (y *)(2B 一 2A 一 4BxAx Bx 2)ex 一 CcosxDsinx， 代入原方程，求得 A1，B一 1，C一 5，D3，从而 y *x(1 一 x)ex 一5sinx 3cosx 于是原方程的通解为 yYy *C 1A4x(C 2xx 2)ex 一5sinx 3cosx【试题解析】 利用二阶非齐次线性方程解的叠加原
16、理求之 设 y1*(x)与 y2*(x)分别是方程 yp(x)yq(x)yf 1(x) 与 yp(x)yq(x)yf 2(x) 的特解，则 y *(x)y 1*(x)y 2*(x) 是方程 y p(x)yq(x)yf 1(x)f 2(x) 的特解18 【正确答案】 代入方程的左边得到 为使方程即(b1) (abab1)u0 成立，由此可确定 a1， b1【试题解析】 按二元复合函数的求导法则，先求出 ，再代入所给的方程为使方程等于 0 确定常数 a，b19 【正确答案】 解一 ，故幂级数的收敛半径 R1当 x1 时，得调和级数 ，显然它发散当 x一 1 时，得级数 由交错级数的莱布尼兹判别法易
17、知该数项级数收敛，因而幂级数 的收敛域为一 1，1)下求其和函数设 s(x) ，x 一1，1)为消掉分母中的系数 n，可采用先求导后积分的方法求之： S(x)x1，x) ，则 S(x)dtln(1 一 x)，x 一 1，x)，故 ln3ln2解二 直接利用幂级数的和函数的结果求之： ln(1x)，x 1，1)显然代入上式中即得 ln3 ln2 注意 下面几个幂级数的和函数及其收敛域很常用，应记住： 【试题解析】 由所给数项级数的形式，应考察幂级数 ，求出其收敛区域及和函数 s(x)，将 x 代入 S(x)中即得所求数项级数的和20 【正确答案】 当A (1k)(4k)0 即 k1，4 时r(
18、)r(A)3，方程组有唯一解，且由克拉默法则易求得唯一解为 当 k1 时，方程组为 因r(A)2r( )3，故方程组无解当 k4 时，方程组为因 r( )r(A)2n3，故方程组有解，且有无穷多解由基础解系和特解的简便求法即得基础解系为 一 3，一 1，1 T，特解为 0，4，0 T，故所求通解为K0，4，0 Tk 3，一 1，1 T， k 为任意常数【试题解析】 使用初等行变换将其增广矩阵化为行阶梯形矩阵，分别讨论 k 取何值时，r( )r(A)3有解时，再求其解21 【正确答案】 (1)由 AB0 即知 B 中三个列向量均为 A 的属于零特征值的特征向量事实上，设 B 1， 2， 3，则
19、Ai0(i1，2，3)显然 1， 2 线性无关，且 3 1 2，故 10 至少是二重特征值又因 故1 20， 32设对应于 32 的特征向量为 3x 1，x 2，x 3T，则 1 与3， 2 与 3 正交，于是有 由知，该方程组的基础解系为 一 12，一 12，1T为方便计，取 31，1，2 T注意到 1， 2， 3 两两相交，只需单位化则Q 1， 2， 3为正交矩阵，作正交变换 XQY ，则 fX TAX(QY) TA(QY)Y T(QTAQ)Y【试题解析】 为解决问题(1)与(2) 需先求出 A 的特征值、特征向量因 A 为抽象矩阵，故只能由定义及其性质求之22 【正确答案】 要求产品合格
20、率，即要计算 P(98X102)，而计算正态分布随机变量取值的概率，需要已知分布参数 与 2为此，应先根据条件确定 与 2 的值依题意知 P(X98)0159，P(X101)00228。0159P(X98)P(X98) ， 0841， 00228 P(x101) 1P(X101)1 一 ， 09772 根据式与式，查正态分布表可得关于 与 的二元方程组：于是 P(98X102)(10299)一 (9899) (3)一 (一 1)083995【试题解析】 求正态分布随机变量满足一定条件的概率，一般都应先标准化利用标准正态分布求概率或建立未知参数的函数关系，这是常用的方法与技巧要计算 P(98X102)，必标准化，要标准化必须知道参数 和 2为此，先利用题设条件求出 与 2 的值23 【正确答案】 (1) E(x) 令 E(x)而 故 的矩估计值为 (2)极大似然函数为 L ( 1) n(x1x2xn)， lnLnln(1)ln(x 1x2xn)， ln(x 1x2xn)，令，则所求的极大似然估计值为 【试题解析】 先求出 E(X)及样本均值 代替 E(X)，解出参数 即可求出 的矩估计值按极大似然估计的一般求法求出 ，再用观察值代替表达式中的xi(i 1，2，6)即可
