1、考研数学（数学三）模拟试卷 369 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)是( 一，) 内以 T 为周期的连续奇函数，则下列函数中不是周期函数的是( )（A） f(t)dt（B） f(t)dt（C） f(t)dt（D） tf(t)dt2 若直线 yx 与对数曲线 ylog ax 相切，则 a( )（A）e（B） 1e（C） ee（D）e e13 设 f(x)g(x)在点 x0 的某邻域内连续，且 f(x)具有一阶连续导数，满足0，f(x)一 2x2 g(x 一 t)dt，则( )（A）x0 为 f(x)的极小值点（B） x0 为 f(x)的极
2、大值点（C） (0，f(0)为曲线 y f(x)的拐点（D）x0 不是 f(x)的极值点， (0，f(0) 也不是曲线 yf(x)的拐点4 计算二重积分 I ( )（A） 232（B） 232（C） 16（D）45 设四阶行列式 D ，则第 3 列各元素的代数余子式之和A13A 23A 33A 34( ) （A）3（B）一 3（C） 2（D）16 设 A 是四阶方阵，A *是 A 的伴随矩阵，其特征值为 1，一 1，2，4，则下列矩阵中为可逆矩阵的是( ) （A）AE（B） 2AE（C） A2E（D）A 一 4E7 已知随机变量(X，Y) 的联合密度函数为则 t 的二次方程 t2 一 2XtY
3、 0 有实根的概率为( ) （A）e（B） e1（C） e2（D）e 28 设 X1，X 2，X n，是相互独立的随机变量序列，X n 服从参数为n(n1 ，2，)的指数分布，则下列不服从切比雪夫大数定律的随机变量序列是( )（A）X 1，X 2，X n，（B） X1，2 2X2，n 2Xn，（C） X1，X 22，X nn，（D）X 1，2X 2，nX n，二、填空题9 若函数 yf(x 2) ，其中 f 为可微的正值函数，则 dy_10 _11 ey2 dy _12 差分方程 yx1 一 的通解是_13 设随机变量 X 和 Y 的联合概率分布为则 X 和 Y的协方差 cov(X，Y)_14
4、 设 X1，X 2，X n 是取自正态总体 N(0， 2)(0)的简单随机样本，Xi(1kn)，则 cov( )_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 求16 设函数 f(x)(xx 0)n(x)(n为任意自然数)，其中函数 (x)当 xx 0 时连续 (1)证明 f(x)在点 xx 0 处可导； (2) 若 (x)0，问函数 f(x)在 xx 0 处有无极值，为什么?17 计算18 求 y 的通解，及其在初始条件 y x1 0 下的特解19 设 f(x)二阶可导，且 f(x)0，u(t)为任一连续函数；a 0，求证：20 设向量组() ： 1， 2， ， m，组() ： 1
5、， 2， n，其秩分别为 1， 2，向量组() ： 1， 2， m， 1， 2， n 的秩为 3，证明 max 1， 231 221 设 A 为三阶方阵， 为三维列向量，已知向量组 ，A，A 2线性无关，且A33A2A 2，证明： ()矩阵 B，A，A 4可逆； ()B TB 为正定矩阵22 将外形相同的球分别装入三个盒子中，第一个盒子装入 5 个红球和 3 个黑球，第二个盒子装入 3 个黑球和 2 个红球，第 3 个盒子中装入 4 个黑球和 2 个红球先在第一个盒子中任取一球，若取到黑球，则在第二个盒子中任取两球，若取到红球，则在第三个盒子中任取两球，求第二次取到的两个球是黑球时，第一次取到
6、的是黑球的概率23 设随机变量(，) 的密度函数为 试求()(，)的分布函数； ()概率 P( )考研数学（数学三）模拟试卷 369 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 因 f(x)是周期为 T 的连续周期奇函数，则其原函数也是周期函数据此，可知(A) 、(B) 、(C) 中的函数都是周期函数但(D)中变项积分不是 f(x)的原函数，因而不是周期函数解一 (D)中函数不是周期函数事实上，令 (x)tf(t)dt，则故(D)中函数不是周期函数解二 下证(A) 、(B)、(C)中函数均是周期函数对于(A)，令 g(x) f(t)
7、dt，则 对于(B) ，令 h(x) f(t)dt，则 故 h(x)h(xT)同法可证 均是周期为 T 的周期函数，故其差也是周期为 T 的周期函数仅(D)入选2 【正确答案】 D【试题解析】 两曲线相切即两曲线相交且相切，而两曲线相切就是在切点导数值相等，相交就是在交点(切点)其函数值相等据此可建立两个方程求解未知参数由 y1(log ax) 该点也在曲线 ylog ax 上，于是有 故lna ，所以 ae e1 仅(D)入选3 【正确答案】 C【试题解析】 由 f(x)的表示式易知 f(0)0，为判定选项的正确性，只需考察f(0) 的符号的有关情况，为此计算 ，看其是否等于非零常数由 有
8、f(x)4xg(x)，则 404，可见在 x0 的两侧因 x 变号，f(x)也变号，因而 (0，f(0) 为曲线 yf(x)的拐点仅(C)入选4 【正确答案】 A【试题解析】 由所给的二次积分易求出其积分区域如下图所示由于积分区域为圆域的一部分，且被积函数又为 f(x2y 2)，应使用极坐标求此二重积分所给曲线为(y 1)2x 21 的上半圆周，区域 D 如下图所示，其直角坐标方程为(y1) 2x 21， 即 y 2x 2一 2y，将 xrcos，yrsin 代入得到极坐标系下的方程 r2一 2rsin， 即 r一 2sin于是 D(r，)40，0r一 2sin，则 仅(A)入选5 【正确答案
9、】 B【试题解析】 尽管直接求出每个代数余子式的值，再求其和也是可行的，但较繁，一般不用此法因行列式 D 中元素 aij 的代数余子式 Aij 与 aij 的值无关，仅与其所在位置有关常用此性质构成新行列式，利用行列式性质求出各元素的代数余子式的线性组合的值将行列式 D 的第 3 列元素换为 1，1，1，1，则 6 【正确答案】 A【试题解析】 利用矩阵行列式与其矩阵特征值的关系：A 12 n 判别之，其中 i 为 A 的特征值解一 设 A*的特征值为 ，则于是 A *1.(1).2.48，因而A 41 A *，故A 38，即A2，所以 A 的特征值为因而 AE 的特征值为1213， 2211
10、， 3112， 412132，故AE 1.2.3.490，所以 AE 可逆解二 由 A 的特征值易求得其他矩阵 2AE，A2E，A2E 的特征值分别都含有零特征值，因而其行列式等于 0，它们均不可逆仅(A)入选7 【正确答案】 B【试题解析】 先找出有实根的 X 与 Y 所满足的条件，再在此条件范围内求出其概率因二次方程 t2 一 2XtY0 有实根的充要条件为 4X 2 一 4Y0， 即 X 2Y，如下图所示，故所求概率为8 【正确答案】 B【试题解析】 根据切比雪夫大数定律所要求的条件判别切比雪夫大数定律要求三个条件：首先是要求 X1，X 2，X n 相互独立；其次是要求 Xn(n1，2，
11、)的期望和方差都存在；最后还要求方差一致有界，即对任何正整数 n，D(X n)L，其中 L 是与 n 无关的一个常数题中四个随机变量序列显然全满足前两个条件，由于对于(A) ，有 对于(B)，有 E(n 2Xn)n 2E(Xn)n 2. n， D(n 2Xn)n 4D(Xn)n 4. n 2；对于(C)，有 对于(D)，有 E(nX n)nE(X n)n. 1， D(nXn)n 2D(Xn)n 2. 1显然(B)序列的方差 D(n2Xn)不能对所有 n 均小于一个共同常数，因此不满足切比雪夫大数定律综上分析，仅(B)入选二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 y 为幂指函数，为求其导数，可先
12、用取对数法或换底法处理，再用复合函数求导法则求之因为 y ，于是 故dyydx2f(x 2)(f(x2) lnf(x2)dx10 【正确答案】 arctane 4【试题解析】 分母提取因子 n，再使用定积分定义求之原式arctane x arctane 411 【正确答案】 【试题解析】 直接先求内层积分无法求出可变更积分次序，再用 函数计算较简；也可用分部积分法求之解 解二 12 【正确答案】 【试题解析】 先求对应的齐次差分方程的通解，再求特解 齐次差分方程 yx1 yx0 的特征方程为 0，解得特征根 ，故齐次差分方程的通解为 C()x 因 a (特征根不等于底数)，故其特解为 ，代入原
13、方程得 A 故所求通解为 13 【正确答案】 0056【试题解析】 由定义或同一表格法分别求出 X，Y 与 XY 的分布，再求其期望解一 由表易知 因此 E(X)00 4010 60060， E(Y)(一 1)0 1800501032014 E(XY) (1)0 0800701022014从而 cov(X，Y)E(XY)E(X)E(Y)0056解二 用同一表格法求之为此将所给的联合分布改写成下表，并在同一表格中求出 X，Y 及 XY 的分布故 下同解一14 【正确答案】 【试题解析】 利用协方差的有关性质，特别是线性性质求之由于 Xi，X j(ij)独立，cov(Xi，X j)0，又 cov(
14、Xi，X j)D(X i) 2，则三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 解一 【试题解析】 用恒等变形法或提公因式法化简极限函数，再用等价无穷小代换求出结果16 【正确答案】 (1)由于 即f(x)在 xx 0 处可导，且 f(x0)0(2)由于 (x)在 xx 0 处连续，且 (x0)O，所以(x)在点 x0 的充分小的邻域(x 0 一 ，x 0) 内与 (x0)同号，于是 f(x)的符号只与 n的奇偶性有关若 n 为奇数，则经过 x0 时，f(x)的值变号，所以在 xx 0 处没有极值；若 n 为偶数，则 (xx0)n0(xx 0)当 (x0)0，且 0xx
15、 0 时，f(x)(xx 0)n(x)0f(x 0)，所以在 xx 0 处有极小值 f(x0)当 (x0)0，且0xx 0 时，f(x)(xx 0)n(x)0f(x 0)，所以在 xx 0 处有极大值f(x0)【试题解析】 用导数定义证明(1)；用极值的定义证明(2)17 【正确答案】 注意到 ，令x1sect，则当 x2 时，t0，当 x 时，t2，故 【试题解析】 这是一个积分区间为无穷，且被积函数在2，)上是无界函数的反常积分，试作变量代换化为定积分求之18 【正确答案】 这是一个一阶方程注意到 2yy(xe y22)e y2， 即 (xe y22)e y2若以 x 为未知函数， y2
16、为自变量，原方程就会化为 x 的一阶线性非齐次方程： x2e y2 其通解为 xe y2(C2e y2y2 dy2Ce y2e 2y2 ，代入初始条件 y x1 0 即得 1C 一 1 C2，所以满足条件下特解为 x2e y2e 2y219 【正确答案】 题设 f(x)0，则由泰勒公式有 f(x)f(x 0)f(x 0)(xx0) f()(xx0)2 f(x0)f(x 0)(xx 0)，其中 在 x0，x 之间取 x0 u(t)dt，xu(t) 代入上式得 对上式两端从 0 到 a 积分，得 【试题解析】 给出函数 f(x)二阶可导，且 f(x)0，该条件常使人想到利用泰勒公式证明不等式比较待
17、证的等式易看出，应取 xu(t)，x 0 u(t)dt (此为常数)20 【正确答案】 分别取向量组()、() 、()的最大无关组： 组( )： i1， i2， ， ir1；组()： j1， j2， jr2； 组( )： t1， t2， tr2 又设组()： i1， i2， ir1， j1， j2， jr2 因组 ()能由()线性表出，其部分组()也能由 ()线性表出，且组 ()线性无关对于组( )与组(IV) ，有r3r1r 2 因组 ()、组 ()分别可由组()线性表出，且组()、组()分别线性无关，于是 r1r3，r 2r3，则 maxr 1，r 2r 3【试题解析】 遇有一组向量可用另
18、一组向量线性表出的题设或题断时，常取其最大无关组作出线性无关的向量组，利用有关结论证其相关命题 21 【正确答案】 (1)证一 由 A33A 一 2A2得到 A4A.A 33A 2一2A33A 2一 2(3A一 2A2)一 6A7A 2，则 ，A，A 4 ，A，A 2，A，A 2G因G 70， ，A ，A 2线性无关，故 ，A ，A 4线性无关，所以矩阵 B 可逆证二 设k1k 2A k3A40，即 k 1k 2Ak 3(7A2一 6A)0，亦即 k 1(k 26k 2)A7k 3A20因 ，A，A 4线性无关，故 k 10， k 26k 30， 7k 30， 即 k1k 2k 30，所以 ，
19、A，A 4线性无关，因而矩阵 B 可逆(2)因(B TB)T BT(BT)T BTB，故 BTB 为实对称矩阵又对任意 x0，因 B 可逆，有 BX0，于是有 X T(BTB)X(BX) T(BX)0，故二次型 XTBTBX 是正定二次型，从而 BTB 为正定矩阵【试题解析】 (1)利用矩阵 B 的可逆性可构造矩阵证之为此将 B 表示为两个可逆矩阵的乘积，也可利用向量组 ，A ，A 2 线性无关的性质用定义证明 (2)用定义证明 XTBTBX 为正定二次型22 【正确答案】 设事件 A 表示从第一个盒子中取到黑球，事件 B 表示第二次取出的两个球都是黑球，则【试题解析】 先用全概率公式求出第二
20、次取到的两个球是黑球的概率，再用条件概率公式求出第一次取到的是黑球的概率23 【正确答案】 (1)将 (x，y)定义域中的边界线段延长为直线，它们将整个平面分成 5 个子区域： D1：x0 或 y0时， F(x ，y)P(Xx ，Yy) 0dxdy0D 2：0x1，0y2 时， F(x ，y)P(Xx，Yy)D3：x1，0y2 时，F(x， y)P(Xx，Yy)P(0X1，0Yy)D4：0X1，y2 时，F(x，y)P(Xx，Yy)P(0Xx ，0Y2)D5：x1，y2 时，F (x，y)P(Xx，Yy)P(0X1， 0Y2)【试题解析】 连续型随机变量(，)的概率密度为 (x，y)，则分布函数 F(x，y)P(Xx，Yy) (x，y)dxdy 若 (x，y)的取值不分区域，则求二次积分即可求出 F(x，y)；若 (x，y)分区域定义时，则先绘出 (x，y)取非零值的区域D，再将其边界线段延长为直线，于是它们将整个平面分成若干个子区域，然后再根据 P(，)G) (x,y)dxdy，其中 G 为子区域与 (x，y)取非零值的定义域的交集，求出各个小区域上的分布函数的表达式，即得 F(x，y)
