1、考研数学（数学三）模拟试卷 375 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)在点 xa 可导，则极限( )f(a)（A）（B）（C）（D）2 当 x0 时，已知 f(lnx) ，则 xf(x)dx( )（A）一 4e（B） 4e（C） 2e（D）一 2e3 设 f(xy， xy)x 2y 2xy，则 df(x，y)( )（A）2xdxdy（B） 2xdxdy（C） 2xdxdy（D）2xdxdy4 设平面区域 D 由 x0，y0，xy12，x y1 围成，若 I 1 ln(x y)7dxdy， I 2 (xy) 7dxdy， I 3 sin(x
2、y) 7dxdy，则 I1，I 2，I 3 之间的大小顺序为( ) （A）I 1I 2 I3（B） I3I 2I 1（C） I1I 3I 2（D）I 3I 1 I25 设 A ，B ，C ，D ，那么与对角矩阵相似的矩阵是( )（A）A，B，C（B） A，C ， D（C） B，D（D）A，C6 设线性方程组 有非零解，则组成基础解系的线性无关的解向量有( ) （A）1 个（B） 2 个（C） 3 个（D）4 个7 设 A，B，C 是三个两两相互独立的事件，且 P(ABC)0，0P(C) 1，则一定有( )（A）P(ABC)P(A)P(B)P(C)（B） P(AB )P(A)P(B)（C） P(
3、ABC)P(A)P(B)（D）P(ABC)P(A)P(B)P(C)8 已知随机变量 X 的密度函数 f(x) (0，A 为常数)，则概率P(Xa)(a 0)的值( )（A）与 a 无关，随 的增大而增大（B）与 a 无关，随 的增大而减小（C）与 无关，随 a 的增大而增大（D）与 无关，随 a 的增大而减小二、填空题9 已知 xn xn_10 已知级数 与广义积分 e(p2)x dx 均收敛，则 p 的取值范围是_11 差分方程 yx1 一 的通解为_12 化下述积分为极坐标系下的累次积分，则 f(x，y)dy_13 A，B，C 是二阶矩阵，其中 则满足 BACA 的所有矩阵 A_14 设
4、A，B 是两个随机事件，已知 P(AB)0 3，P(B A) 04，P( )07，则 P(AB)_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设函数 f(x)在a，b(a 0)上连续，在(a，b)内可微，且 f(x)0证明存在， (a， b)，使得 16 设函数 yy(x) 由方程组 所确定，试求 t017 设 f(x)在0，1上连续，且满足f(0)1，f(x)f(x)axa求 f(x)，并求 a 的值使曲线 yf(x)与 x0，y0，x1 所围平面图形绕 x 轴旋转一周所得的体积最小18 求解差分方程 3yx1 一 9yxx.3 x1 19 计算二重积分 I dy20 用配方法化
5、二次型 f(x，y，z) x 22y 25z 22xy6yz2zx 为标准形，并求所用的可逆线性变换21 已知线性方程组问：(1)a，b 为何值时，方程组有解?(2) 有解时，求出方程组导出组的一个基础解系；(3)有解时，求出方程组导出组的全部解22 某种产品的寿命 T(单位：年 )服从指数分布： f(t) (1)求产品的平均寿命；(2)产品每件售价 1 万元，厂家规定：若产品在一年内损坏，厂家赔偿顾客 08 万元，若寿命超过一年，但不到平均寿命，厂家赔偿顾客 05 万元；若达到或超过平均寿命，厂家就不赔偿，问其售出一件产品，厂家的期望收入是多少?23 连续随机变量 X 的概率密度为 f(x)
6、 (1)求系数 A；(2)求 x 在区间( )内的概率；(3)求 X 的分布函数考研数学（数学三）模拟试卷 375 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 利用函数导数的定义求函数的极限但也可利用下述结论观察求出：设 f(x)在点 x0 处可导，且对任意两常数 r1 与 r2，有(r 1r 2)f(x0)因 f(x)在 xa 可导，利用上述结论直接求之：(A) 中极限 (一 1)0f(a) f(a)；(B)中极限1 一(一 1)f(a)2f(a) ；(C)中极限(20)f(a)2f(a)；(D)中极限(10)f(a) f(a)因
7、而仅(D)入选2 【正确答案】 B【试题解析】 先作变量代换 lnxt，求出 f(x)，再用分部积分法求之这是因为被积函数含有导数因子原式 f(x)dx，令lnxt ，即 xe t，于是有 f(t)1 ，则仅(B)入选3 【正确答案】 A【试题解析】 先求出 f(x，y)的表示式，再求其微分因 f(xy，xy)x 2y 2xyx 2y 22xyxy(xy) 2xy，故 f(x，y)x 2 一 y，且一 1，显然其偏导数 都连续，故 f(x，y)可微，且 df(x，y) dy2xdx dy仅(A) 入选4 【正确答案】 C【试题解析】 积分区域相同，只需比较被积分函数的大小由积分区域应看出：12
8、xy1据此可比较被积函数大小 ln(xy)sin(xy)xy 从而ln(xy) 7 sin(xy) 7 (xy) 7于是仅(C)入选5 【正确答案】 B【试题解析】 利用与对角阵相似的充分条件判别之易求得矩阵 A 的特征值是1，3，5因为它们是三个不同的特征值，所以 AA 矩阵 B 特征值是2，2，5，由于 所以，2 只有一个线性无关的特征向量，因而矩阵 B 不能相似对角化矩阵 C 是实对称矩阵，故必有CA矩阵 D 特征值也是 2，2，5，由于秩 所以，2 有两个线性无关的特征向量，因而矩阵 D 可以相似对角化仅(B)入选6 【正确答案】 B【试题解析】 先求出方程组的系数矩阵的秩 r(A)，
9、然后由 n 一 r(A)确定对系数矩阵作初等行变换 当 ad一 bce0 时，r(A)4，方程组有唯一零解不合题意当 adbce0 时，r(A)2，方程组基础解系的线性无关解向量是 2 个，仅(B)入选7 【正确答案】 C【试题解析】 直接利用事件的运算法则计算即可仅(C)入选8 【正确答案】 C【试题解析】 可由随机变量落入区间内的概率的几何意义确定，也可算出结果分析解一 因连续型随机变量落入某一区间的概率等于密度曲线在该区间上的曲边梯形面积，故 P(xa)随 a 的增大而增大，仅(C)入选解二 由 f(x)dx1 可求得 Ae ，故 P(xa) 1e 一 a 此值与 无关且随 a 的增大而
10、增大仅(C)入选二、填空题9 【正确答案】 3【试题解析】 所求数项级数的和可拆分为两个数项级数而求之：故 x14 一 13 注意 常用到级数 S(x) n.xn1 的和函数 最好能记住此外，级数一 ln(1x)(一 1x1)最好也能记住10 【正确答案】 0P 2【试题解析】 应分别求出交错 p 级数 收敛时，p 的取值范围及广义积分 e(p2)x dx 收敛时 p 的取值范围，两者的交集即为所求由于是交错 p 级数，只要 p0 就符合莱布尼兹判别法的要求，因而是收敛的而且 P0 时，该级数的通项不趋于 0，所以一定发散而对于 e(p2)x dx来说，直接计算即可知：p2 时收敛，p2 时发
11、散两者结合得 0P 2 为所求11 【正确答案】 【试题解析】 所给差分方程的类型为 yx1 ay xcb x，b，C 为常数这种类型当ab 时，其特解形式 kbx将其代入原方程易求得 k其通解为 y xAa x bx (A 为任意常数) 由上述分析易知，所给方程的特解为 而对应齐次方程的通解为 ，其中 A 为任意常数，故所求通解为 A 为任意常数12 【正确答案】 【试题解析】 根据所给条件先将累次积分化成二重积分并求出积分区域 D：它是由 yx，y1 一 x 及 x 轴所围成(见下图)，再将其化为极坐标系下的累次积分极坐标系下一般先对 r 积分后对 积分，这时穿入的边界线 yx1 化为极坐
12、标，可表示为 xyrcosrsin1，即 r1(cossin) 穿出的边界线为 r 由上述分析易知13 【正确答案】 【试题解析】 因BC0，用解方程组的方法求出所有的 ABACA， 即(BC)A0， 求满足条件BACA 的所有 A 化为求解方程组(BC)A0 的所有解设 A ，则由 得到 因 故方程组的基础解系为 1一1，0，1，0 T， 20，一 1，0，1 T于是方程组 的通解为故 其中 k1，k 2 为任意常数14 【正确答案】 058【试题解析】 首先要根据条件概率的数值关系 P(AB)03，P( )07，得到 P(AB) P( )1判定 A 与 B 为独立事件由 P(A )1得到
13、P(A )10703于是 P(AB)P(A )03，即 A 与 B 相互独立因而有 P(AB)P(A) 03， P(B) P(BA)04，则 P(AB)P(A)P(B)P(AB) P(A) P(B)一 P(A)P(B)058注意 判断出事件 A 与 B 独立是计算本题的关键三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 令 g(x)lnx，则 g(x)与 f(x)在a，b上满足柯西中值定理的条件，故存在 (a， b) ，使得f(b)f(a)，从而 分别对g(x)，f(x) 在a，b 上使用拉格朗日中值定理，则分别存在 ， (a，b)使得将式与式代入式得【试题解析】 由 f
14、() f() ，应想到先对 f(x)与 g(x)lnx 使用柯西中值定理，产生一个中值 再对这两个函数的差 lnblna 与 f(b)一 f(a)凑成可使用拉格朗日中值定理的形式，再分别使用该定理又可得到两个 与 16 【正确答案】 由 eysinty10 中可得因为 y t0 1， t0 e，于是 注意 对参数方程求二阶导数时，要用复合函数求导法则：【试题解析】 由方程 eysinty10 所确定的隐函数 y(t)，其导数可在等式两边对 t 求导得到，然后再用参数方程求导公式计算即可17 【正确答案】 方程 f(x)f(x) axa 可以改写为 f(x)f(x)axa ，则 f(x)e xe
15、 x (axa)dxC e x(axe x C)Ce xax 由 f(0)1 知 C1，所以 f(x)e xax V x(a) (a2x2 一 2axexe 2x)dx (e21)将 Vx(a)对 a 求导数，并令 Vx(a)( 一 2)0，得a3又由 Vx(a) 0 知，当 a3 时，V x 取最小值，即所求旋转体体积最小，此时 f(x)e x 一 3x注意 求解一阶线性微分方程 yP(x)y Q(x)，不少考生将通解公式 ye P(x)dxQ(x)eP(x)dxdxC错记为 ye P(x)dxQ(x)eP(x)dx dxC，从而导致结果错误【试题解析】 先求解一阶微分方程，求出 f(x)，
16、再求旋转体体积，最后求其最值18 【正确答案】 先将方程化为标准方程 y x1 3y xx.3 x， 其特征方程为30，得 3故齐次方程的通解为 xC3 x，C 为任意常数由于非齐次项的底数为 b3，b3 是特征根，故可设方程的特解为 x(A 0A 1x).3x，代入方程得 (x1)A 0A 1(x1).3 x1 3x(A 0A 1x).3xx.3 x，整理并比较两端同次幂的函数，得 解得 A 01 6， A 116故一个特解为 x( 16x6).3 x，原方程的通解是(显然，与原方程同解) yx y *C3 xx(16x6).3 x注意 对形如 yx1 ay xf(x)的一阶线性差方方程，求
17、其通解的步骤如下：(1)求解特征方程 a0，得到对应的齐次差方方程 yx1 ay x0 的通解 Ca x，其中 C 为任意常数；(2)依据非齐次项 f(x)的结构特点，设出特解形式，为方便计称 b 为 f(x)的底数：若 f(x)Ax n(Ax n.1x)，则【试题解析】 将所给方程化为标准差分方程得到 yx1 3y xx.3 x关键在于正确写出特解形式因特征方程为 30，故特征根为 3，与底数 b3 相等，故该特解形式为 x(A 0A 1x).3x19 【正确答案】 已知积分区域 D(x，y)0x1，1一 yz，如上图所示，利用极坐标，则D(r，)0 ，0r2sin，因此【试题解析】 由所给
18、的累次积分画出积分域 D 的草图，然后根据 D 的形状及被积分函数的情况选择坐标系与积分次序20 【正确答案】 解 用配方法，先集中含 x 的项，配方得到 f(x，y，z)x 22(y z)x2y 25z 26yz (xyz) 2 一(yz) 22y 25z 26yz (xyz)2y 24z 2 4yz (xy z)2(y2z) 2 令 则有 f(x，y，z)x 2y 2 且所用的线性变换(即用新变量 x，y，z表示旧变量 x，y，z 的线性变换)为可逆的线性变换：其中 1021 【正确答案】 解一 ()当a1，b3 时， r(A)2 r( )，方程组有解()当 a1，b3 时，对变换矩阵B1
19、 进一步用初等行变换将其化为含最高阶单位矩阵(2 阶单位矩阵)的矩阵，再用基础解系和特解的简便求法即可写出其基础解系和特解，从而写出其全部解：则其基础解系含 3 个解向量： 11，一 2，1，0 ，0 T， 21，一 2，0，1，0T， 35，一 6，0，0，1 T，其一个特解 一 2，3，0，0，0 T()所求的全部解为 Xk 11k 22k 33，其中 k1，k 2，k 3 为任意常数解二 因该方程组的参数仅出现在方程右端的常数项，可先用观察法求出方程组有解的参数取值观察左边的各个方程，有下述关系： 因此要使方程组有解，其右端也应有相同关系： 2a 02， 3a 0b 解之得 a1，b3下
20、同解一解三 用高斯消元法求解由式中矩阵 B2 得到同解的齐次方程组为 选 x3，x 4，x 5 为自由变量，分别令 x 31， x 40， x50； x 30， x 41， x 50； x 3x 40，x 51代入上式得到基础解系为 1 1，一 2，1，0，0 T， 21，一 2，0，1，0 T， 35，一 6，0，0，1 T，再令 x3x 4x 50，得其特解 一 2，3，0，0，0 T故其全部解为 Xk 11k 22k 33，其中 k1，k 2，k 3 为任意实数【试题解析】 利用有解的充要条件 r(A)r 求 a，bA 与分别为上述方程组的系数矩阵与增广矩阵，可利用基础解系和特解的简便求
21、法求解设非齐次线性方程组 AXb 有无穷多个解，其中 A 为 mn 矩阵设 秩(A) 秩( )r，对增广矩阵 用初等行变换，将其化为 其中 A1 是将 A 化为含 r 阶 (最高阶)的单位矩阵的矩阵如果这 r 阶单位矩阵在 A1 的第 j1，j 2，j r 列，则基础解系的 nr 个解向量1， 2， nr 的第 j1，j 2， ，j r 个分量依次是 A1 中除 r 阶单位矩阵所在的 r 列以外的其余 n r 列的前 r 个分量反号，而 1， 2， nr 的其余 nr 个分量依次组成 nr 阶单位矩阵而特解 的第 j1，j 2，j r 个分量依次为 中最后一列的前 r 个分量(但不反号)，而
22、的其余 nr 个分量全部取成零22 【正确答案】 () 平均寿命 E(T) dt3()设售出一件产品厂家的收入为 Y，按题意有 期望收入 E(Y)02P(T1)05P(1T3)1.P(T3) 02dt 05989( 万元)【试题解析】 (I)求平均寿命就是求寿命 T 的期望 E(T)；()为求厂家的期望收入，首先要求出收入函数 Y，再依期望定义求之23 【正确答案】 (1)由归一性得到 f(x)dx1，故 1dx此为反常积分，由其定义有所以 A (2)P(3)因f(x)为分段函数，取值非零的区间为( 一 1，1)，故将 f(x)的定义区间(一 ，+)划分为三个区间(一，一 1，(一 1，1，(1，)，在每个区间上求变上限积分：【试题解析】 由概率密度的归一性即可求得 A；利用概率密度即可求得其概率的分布函数
