1、考研数学（数学三）模拟试卷 377 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)，g(x) 在( 一，+)上有定义，且 x=x1 是 f(x)的唯一间断点，x=x 2 是 g(x)的唯一间断点，则( )（A）当 x1=x2 时 g(x)+g(x)必有唯一的间断点 x=x1。（B）当 x1x2 时 g(x)+g(x)必有两个间断点 x=x1 与 x=x2。（C）当 x1=x2 时 g(x)g(x)必有唯一间断点 x=x1。（D）当 x1x2 时 g(x)g(x)必有两个间断点 x=x1 与 x=x2。2 曲线 渐近线的条数为( )（A）0。（B） 1
2、。（C） 2。（D）3。3 设 确定了可导函数 y=f(x)，则 ( )（A）x=0 是 y=f(x)的极小值点。（B） x=0 是 y=f(x)的极大值点。（C） x=0 不是 y=f(x)的驻点。（D）存在 x=0 的一个小邻域，在此邻域内 y=f(x)是单调的。4 设 其中 D1=(x，y)x 2+y2R2，D2=(x，y) x 2+y22R2， D3=(x，y)xR，yR。则下列关于I1，I 2，I 3 大小关系正确的是( )（A）I 1I 2 I3。（B） I2I 3I 2。（C） I2I 3I 1。（D）I 3I 2 I1。5 设矩阵 Amn 经过若干次初等行变换后得到 B，下面
3、4 个结论正确的是( ) A 的行向量均可由 B 的行向量线性表示； A 的列向量均可由 B 的列向量线性表示； B 的行向量均可由 A 的行向量线性表示； B 的列向量均可由 A 的列向量线性表示。（A），。（B） ，。（C） ，。（D），。6 已知 则 A 与 B( )（A）等价、相似、合同。（B）等价、相似、不合同。（C）不等价、不相似、不合同。（D）等价、不相似、合同。7 设 A，B 是两个随机事件，当 A，B 同时发生时，事件 C 一定发生，下列结论正确的是( )（A）P(C)=P(A+B)。（B） P(C)=P(AB)。（C） P(C)P(A)+P(B)一 1。（D）P(C)P(A
4、)+P(B)一 1。8 设随机变量 X 与 Y 的联合分布是二维正态分布，X 与 Y 相互独立的充分必要条件是( )（A）E(X Y)=0。（B） D(XY)=0。（C） E(X2 一 Y2)=0。（D）EX(YE(Y)=0。二、填空题9 曲线 的斜渐近线为_。10 设 f(x)0，1，且 =_。11 设 f(x，y， z)=exyz2 是由 x+y+z+xyz=0 确定的隐函数，其中 z=z(x，y)，则fx(0，1，一 1)=_。12 差分方程 yx+1 一 2yx=32x 的通解为 y(x)=_。13 设 A，B 都是三阶矩阵，A 相似于 B，且E A=E 一 2A=E 一3A=0，则B
5、 一 1+2E =_。14 设随机变量 X 和 Y 的相关系数为 ，且 E(X)=0，E(Y)=1 ，E(X 2)=4，E(Y 2)=10，则 E(X+Y)2=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 f(x)在( 一，0上连续，且满足 求 f(x)及其极小值。16 设某厂生产甲、乙两种产品，当这两种产品的产量分别为 x 和 y(单位：吨)时总收益函数为 R(x，y)=27x+42y 一 x2 一 2zy 一 4y2，总成本函数为 C(x，y)=36+12x+8y(单位：万元)。除此之外，生产甲种产品每吨还需支付排污费 1 万元，生产乙种产品每吨还需支付排污费 2 万元。
6、 (I)在不限制排污费用支出的情况下，这两种产品的产量各为多少时总利润最大?总利润是多少? ()当限制排污费用支出总和为 6 万元的情况下，这两种产品的产量各为多少时总利润最大?最大利润是多少?17 设 f(x)在区间0，1上连续，在 (0，1)内可导，且满足 证明：存在 (0，1)，使得 f()=2f()。18 将函数 展开成 x-2 的幂级数，并求出其收敛域。19 计算二重积分 ，其中积分区域 D 由 y 轴与曲线围成。20 已知线性方程组 的通解是(2，1，0，3) T+k(1，一1，2，0) T，如令 i=(ai，b i，c i，d i)T(i=1，2，3，4，5)，试问：(I) 1
7、能否由2， 3， 4 线性表示；() 4 能否由 1， 2， 3 线性表示，并说明理由。21 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=xTAx=3x12+ax22+3x12 一 4x1x28x1x34x2x3，其中一 2是二次型矩阵 A 的一个特征值。 (I)试用正交变换将二次型 f 化为标准形，并写出所用正交变换； () 求 f 在条件 x12+x22+x32=1 下的最小值，并求最小值点(x1，x 2，x 3)； ()如果 A*+kE 是正定矩阵，求 k 的取值。22 设随机变量 Y 服从参数为 =1 的泊松分布，随机变量试求：(I)X 0 和 X1 的联合分布律；()E(X 0 一 X1)
8、；()Cov(X0，X 1)。23 设总体 X 服从0， 上的均匀分布，X 1，X 2，X 3，X n 是取自总体 X 的一个简单随机样本，试求：(I)未知参数 的最大似然估计量 ；() 的值。考研数学（数学三）模拟试卷 377 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 令 F(x)=f(x)+g(x)，假设 F(x)在 x=x1 处连续，由 f(x)=F(x)一 g(x)及已知条件 g(x)仅在 x=x2 处间断，其他点处均连续，于是推出 f(x)在 x=x1 处连续，这与已知条件矛盾，故 F(x)在 x=x1 处间断。同理，推
9、出 F(x)在 x=x2 处亦间断。下面一一举出其他三个选项的反例：选项 A 的反例 ,而f(x)+g(x)=0 无间断点；选项 C 的反例与选项 A 的相同，此时 f(x)g(x)=一 1，无间断点；选项 D 的反例 , 无间断点。故选 B。2 【正确答案】 C【试题解析】 函数 的无定义点只有 x=0。由于所以 x=0 为曲线的垂直渐近线。3 【正确答案】 B【试题解析】 由 x=arctant 知，且其中 0 是充分小的数，因此，x=0 是 y=f(x)极大值点。故选 B。4 【正确答案】 B【试题解析】 三个积分区域如下图所示： D1，D 2 均是以原点为圆心，半径分别为 R 和 的圆
10、；D 3 是正方形，边长为 2R。又因为被积函数f(x，y)=e -(x2+y2)连续，且恒正，所以 I1I 3I 2，故选 B。5 【正确答案】 B【试题解析】 由题设 A 经初等行变换得到 B 知，有初等矩阵 P1，P 2，P s 使得PsP2P1A=B。记 P=PsP2P1 则 P=(pij)mm 是可逆矩阵，将 A，B 均按行向量分块有 即pi11+pi22+pimm=i(i=1，2，m)，故 B 的行向量均可由 A 的行向量线性表示，又 P=(pij)mm 是可逆矩阵，所以两边同乘 P 一 1 得 故 A 的行向量均可由 B 的行向量线性表示。故选 B。6 【正确答案】 D【试题解析
11、】 由于 r(a)=3，r(b)=3 ，所以 A 与 B 等价。A 与 B 均为实对称矩阵，若特征值相同，则 A 与 B 相似，否则 A 与 B 不相似。由于所以 A 的特征值为 A=一 1，3，1， B 的特征值为 因此 A 与 B 不相似。由于 A 与 B 的正负惯性指数是相同的，且正惯性指数均为 2，负惯性指数均为 1，所以 A 与 B 合同。故选 D.7 【正确答案】 C【试题解析】 因为事件 A，B 发生时，事件 C 一定发生，所以 ，于是P(C)P(AB)，而 P(AB)=P(A)+P(B)一 P(A+B)P(A)+P(B)一 1，故 P(C)P(A)+P(B)一 1。故选 C。8
12、 【正确答案】 D【试题解析】 (X，Y) 服从二维正态分布，则 X 与 Y 独立的充分必要条件是它们的相关系数 XY=0。而对任何两个随机变量 X 与 Y 有 ，而 E(XY)=E(X).E(Y)又可以变形为 E(XY)一 E(X).E(Y)=EX(YE(Y)=0。故选 D。二、填空题9 【正确答案】 y=2x 一 4【试题解析】 斜渐近线的斜率：10 【正确答案】 【试题解析】 11 【正确答案】 1【试题解析】 z 是关于 x，y 的函数，因此 f(x，y，z)=e xyz2 两边对 x 求偏导可得，12 【正确答案】 其中 C 为任意常数【试题解析】 原方程对应齐次差分方程 yx+1
13、一 2yx=0 的通解为 y=C2x，又 f(x)=32x，因为 2 是其特征值，所以特解形式可设为 yz*=ax2x，代入原方程可得。故原差分方程的通解为 其中 C 为任意常数。13 【正确答案】 60【试题解析】 根据已知EA=E 一 2A= E 一 3A=0 可得矩阵 A 的三个特征值为 ， ，1，又已知 A 相似于 B，所以 B 的特征值也为 ，从而B 一 1 的特征值为 1，2，3，进一步 B 一 1+2E 的特征值为 3，4，5，因此可得B 一1+2E=60。14 【正确答案】 18【试题解析】 由已知及方差的计算公式得 D(X)=E(X)一E(X) 2=4，D(Y)=E(Y 2)
14、一E(Y)2=9， D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y)=4+9+4=17，则有 E(X+Y) 2=D(X+Y)+E(X+Y)2，其中 E(X+Y)=E(X)+E(Y)=1，所以 E(X+Y)2=17+1=18。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 16 【正确答案】 (I)总利润函数 L(x，y)为 L(x，y)=R(x，y)一 C(x，y)一 x 一2y=14x+32y 一 x2 一 2xy 一 4y2 一 36。求 L(x，y)的驻点，令可解得唯一驻点 x=4，y=3，且此时 L(x，y)=40。因驻点唯一，且实际问题必有最大利润，故计算结
15、果表明，在不限制排污费用支出的情况下，当甲、乙两种产品的产量分别为 x=4(吨) 和 y=3(吨)时，总利润达到最大值，且总利润是 40 万元。() 求总利润函数 L(x，y)在约束条件 x+2y=6 下的最大值，可用拉格朗日乘数法。引入拉格朗日函数 F(x，y，)=L(x，y)+(x+2y 一 6)，求F(x，y，) 的驻点，令 可解得唯一驻点 x=2，y=2 ，且此时 L(x，y)=28。因驻点唯一，且实际问题必有最大利润，故计算结果表明，当排污费用限于 6 万元的情况下，两种产品的产量均为 2 吨时总利润最大，最大利润为 28 万元。17 【正确答案】 由积分中值定理，存在一点 使得18
16、 【正确答案】 令 u=x 一 2，于是 z=u+2，又当 x=3 时，上述级数发散，当 x=1 时，上述级数收敛，且当 x=1 时 f(x)连续，故此函数幂级数展开式的收敛域为 1x3。19 【正确答案】 由直角坐标与极坐标间的关系 x=rcos，y=rsin，在极坐标(r，)中积分区域 D 可表示为 于是20 【正确答案】 (I)注意到 i 为所给方程组的增广矩阵的列向量，将方程组改写成列向量的形式：x 11+x22+x33+x44=5，对应的齐次线性方程组为x11+x22+x33+x44=0， (*)因为(1 ，一 1，2，0) T 为方程组(*)的解，将其代入得到1.1+(一 1)2+
17、2.2+0.4=1 一 2+23=0，即 1=223+0.4，因而 1 可由2， 3， 4 线性表示。 ()因方程组(*)的基础解系只含有一个解向量，故 r(a)=n一 1=41=3，因而 A 的列秩等于 3。因为 1 可由 2， 3， 4 线性表示，故3=r(2,3,4)=r(1,2,3,4)=r(1， 2， 3)+1，因而 4 不能由 1,2,3 线性表示。21 【正确答案】 得到矩阵 A的特征值是 1=2=7， 3=一 2。对 =7，解齐次方程组(7E A)x=0 得基础解系1=(1，一 2， 0)T， 2=(1，0，一 1)T，对 =一 2，解齐次方程组 (一 2EA)x=0 得基础解
18、系 3=(2，1，2) T。因为 1， 2 不正交，故需施密特正交化，有xTAx=yTAy=7y12+7y22 一 2y32() 条件 x12+x22+x32=1，即 xTx=1。而 xTx=(Qy)T(Qy)=yTQTQy=yTy，可知 f 在条件 x12+x22+x32=1 下的最小值，即为 f 在条件y12+y22+y32=1 下的最小值。由于 f(x1，x 2，x 3)=xTAx=7y12+7y22 一 2y32一2(y12+y22+y32)， ()因为矩阵 A 的特征值为 7，7，一 2。所以A=一 98，那么 A*的特征值为一 14，一 14，49。从而 A*+kE 的特征值为 k
19、 一 14，k 一 14，k+49。因此，k14 时，A*+kE 正定。22 【正确答案】 (I)PX 0=0，X 1=0：PY0，Y1=PY=0= 一1e，PX 0=1，X 1=0=PY0，Y1=PY=1=e 一 1，PX 0=0，X 1=1：PY0，Y 1=0，PX 0=1，X 1=1=PY0，Y1：PY1=1 一 PY=0一PY=1=12e 一 1。所以 X0 和 X1 的联合分布律为：(11)由(I)知，X 0 和 X1 的边缘分布律为： 所以，E(X0X1)=E(X0)一 E(X1)=(1 一 e 一 1)一(12e 一 1)=e 一 1。()由(I)()的计算结果，X0X1 的分布律为：Cov(X0，X 1)=E(X0X1)一E(X0)E(X1)=12e 一 1 一(1 一 e 一 1)(12e 一 1)=e 一 1 一 2e 一 2。23 【正确答案】 由于 X1，X n 相互独立，于是有
