1、考研数学（数学三）模拟试卷 379 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)在 x=a 的某个邻域内有定义，则 f(x)在 x=a 处可导的一个充分条件是( )（A）（B）（C）（D）2 当 x0 时 f(x)是 g(x)的( )（A）高阶无穷小。（B）低阶无穷小。（C）等价无穷小。（D）同阶而非等价无穷小。3 设 f(x，y)=g(x，y)x 一 y，g(x，y)在(0 ，0)的某邻域内连续，则 g(0，0)=0是 fx(0，0),f y(0，0)存在的( )（A）充分非必要条件。（B）必要非充分条件。（C）充要条件。 （D）既非充分又非必要
2、条件。4 设 ， ， 均为大于 1 的常数，则级数 ( )（A）当 时收敛。（B）当 时收敛。（C）当 时收敛。（D）当 时收敛。5 已知三阶矩阵 A 的特征值为 0，1，则下列结论中不正确的是( )（A）矩阵 A 是不可逆的。（B）矩阵 A 的主对角元素之和为 0。（C） 1 和一 1 所对应的特征向量正交。（D）Ax=0 的基础解系由一个向量构成。6 设 1,2,3,4,5 都是四维列向量，A=( 1,2,3,4)，非齐次线性方程组 Ax=5 有通解 k+=k(1，一 1，2，0) T+(2，1，0，1) T，则下列关系式中不正确的是( )（A）2 1+3+4 一 5=0。（B） 5 一
3、4 一 2331=0。（C） 1 一 2+23 一 5=0。（D） 5 一 4+43 一 32=0。7 设 A，B，C 是三个随机事件， P(ABC)=0，且 0P(c)1，则一定有( )（A）P(ABC)=P(A)P(B)P(C)。（B） P(A+B)C=P(A C)+P(BC)。（C） P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)。（D） 。8 设 X1，X 2，X n 独立同分布，且置(i=l，2，n)服从参数为 的指数分布，则下列各式成立的是( )(其中 (x)表示标准正态分布的分布函数)（A）（B）（C）（D）二、填空题9 =_。10 函数 y=f(x)由方程 e2x+ycosxy
4、=e 一 1 所确定，则曲线 y=f(x)在点(0，1)处的法线方程为_。11 函数 u=f(x+y，xy)，则 =_。12 过点 且满足关系式 的曲线方程为_。13 设三阶方阵 A，B 满足 A2BAB=E，其中 E 为三阶单位矩阵，若 A=则B=_。14 相互独立的随机变量 X1 和 X2 均服从正态分布 ，则 D(X 1 一 X2)=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 假设16 设 f(x)在0，2上连续，在 (0，2)内二阶可导，且 ，又 f(2)= ，证明：存在 (0，2)，使得 f()+f()=0。17 求 z=x2+12xy+2y2 在区域 4x2+y22
5、5上的最值。18 求级数 的收敛域与和函数。19 湖泊含水量为 V，每年流入湖中的清水体积为 ，流入湖中含污染物 A 的污水体积为 ，混合均匀后的湖水以每年 的速度排出湖，目前湖中污染物 A 的含量为 5m0，为治理湖泊污染，规定从现在开始流入湖中的污水浓度为 ，问经过多少年湖中污染物 A 的含量下降为 m0?20 设矩阵 有解但不唯一。(I)求 a 的值；()求可逆矩阵 P，使得 P 一 1AP 为对角矩阵；() 求正交矩阵 Q，使得 QTAQ 为对角矩阵。21 设实二次型 f=XTAX 经过正交变换化为标准形 f=2y12 一 y22y32，又设=(1， 1，1) T 满足 A*=，求 A
6、。22 设随机变量 X 和 Y 相互独立，X 服从正态分布 N(， 2)，Y 在区间一 ，上服从均匀分布，求随机变量 Z=X+Y 的概率分布。 (计算结果用标准正态分布 表示，其中23 设总体 X 的密度函数为 其中 一 1 是未知参数，X 1，X 2，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，分别用矩估计法和极大似然估计法求 的估计量。考研数学（数学三）模拟试卷 379 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 对于选项 D 中的表达式选项 A 错在 h 趋近于正无穷，导致 趋近于 0+，所以该极限存在只能保证右导数存在。选项 B
7、 和 C 都错在分子上的两项都是变动的，可导性定义的推广中分子上必须是“一定一动”。由于式中的 h 趋近于 0 但不会等于 0，所以该极限值本质上和 f(x)在 x=a 处的函数值是无关的，该极限存在甚至不能保证 f(x)在 x=a 处连续。例如令 f(x)= 故选D。2 【正确答案】 D【试题解析】 故选D。3 【正确答案】 C【试题解析】 由偏导数定义4 【正确答案】 B【试题解析】 5 【正确答案】 C【试题解析】 根据A= 123=0，a 11+a22+a33=1+2+3=0，可知选项 A 和选项B 正确；而 1=0 是单根，因此(0E 一 A)x=一 Ax=0 只有一个线性无关的解向
8、量，即 Ax=0 的基础解系只由一个线性无关解向量构成，选项 D 也正确。故选 C。6 【正确答案】 C【试题解析】 根据非齐次线性方程组有通解 k+ 可知=(k+2)2+(1 一 k)2+2k3+4。即 5 一(k+2) 1 一(1一 k)2 一 2k3 一 4=0，其中 k 是任意常数，即 1,2,3,4,5 线性相关，上式线性组合中必须含有 4 和 5，而选项 C 没有 4。当 k=0 时选项 A 成立；k=1 时选项B 成立； k=一 2 时选项 D 成立。故选 C。7 【正确答案】 B【试题解析】 选项 A，由于 P(a)或 P(b)是否为零未知，因此选项 A 中的等式不一定成立。选
9、项 B，P(A+B)C=P(AC+BC)=P(AC)+P(BC)一 P(ABC)=P(AC)+P(BC)，故 可见选项 B 正确。选项 C，P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)一 P(AB)一 P(AC)一 P(BC)+P(ABC)，由于不能确定 P(AC)，P(AB)，P(BC)的概率是否全为零，因此选项 C不一定成立。选项 D，而 P(ABC)=P(AB)一P(ABC)，其值是否为零不能判断，因此选项 D 中的等式也不一定成立。故选 B。8 【正确答案】 A【试题解析】 根据列维一林德伯格中心极限定理有：故选 A。二、填空题9 【正确答案】 0【试题解析】 10 【正确答案】 x
10、 一 2y+2=0【试题解析】 方程 e2x+y 一 cosxy=e 一 1 两边同时对 x 求导，得11 【正确答案】 f 11+(x+y)gf12+xyf22+f2【试题解析】 由多元函数求导法则12 【正确答案】 【试题解析】 13 【正确答案】 【试题解析】 由 A2B 一 A 一 B=E 可知(A 2 一 E)B=A+E，即(A+E)(AE)B=A+E，两边同时取行列式得(A+E)(AE)B=A+E，即(A+E)(A E)B = A+E，显然A+E0，因此有A 一 EB=1 ，因为14 【正确答案】 【试题解析】 随机变量 X1 和 X2 均服从正态分布 记 Z=X1 一 X2，则Z
11、N(0，1) ，因此有概率密度三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 第一步，证明数列a n单调有界，从而保证数列的极限存在：由题设可知， 故数列a n有上界。又 可知数列a n单调递增。由单调有界收敛定理可知数列an是收敛的。第二步，在递推公式两端同时取极限：假设两边同时取极限可得16 【正确答案】 17 【正确答案】 当 4x2+y225 时，函数 z 对 x 和 y 分别求偏导并令其为零，有得驻点为(x，y)=(0，0)。当 4x2+y2=25 时，令F=x2+12xy+2y2+(4x2+y2 一 25)，由拉格朗日乘数法可得18 【正确答案】 令 x2+x
12、+1=t，则级数可化为 所以级数19 【正确答案】 设从现在开始第 t 年污染物 A 的含量为 m(t)，取时间微元为t，t+dt，在该时间20 【正确答案】 (I)因为方程组有解但不唯一，所以解得 a=一 2 或 a=1。21 【正确答案】 由于 f=xTAx 经过正交变换化为标准形 f=2y12 一 y22 一 y32，可知A 的特征值为 2，1，一 1。又由于 A*=，等式两边同时左乘 A 可得A=A ，其中A=2，可知 即为矩阵 A 属于特征值 2 的特征向量。由于 A 为实对称矩阵，属于不同特征值的特征向量正交，可知属于特征值一 1 的特征向量满足 x1+x2+x3=0，解得基础解系为 1=(1，一 1，0) T， 2=(1，0，一 1)T。可知 1， 2 即为属于特征值一 1 的两个线性无关的特征向量。22 【正确答案】 X 和 Y 的概率密度分别为23 【正确答案】 由已知条件
