1、考研数学（数学三）模拟试卷 381 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设x表示不超过 x 的最大整数，则 x=0 是 的( )（A）跳跃间断点。（B）可去间断点。（C）无穷间断点。（D）振荡间断点。2 f(x，y)在点(x 0，y 0)处连续，则 f(x，y)在点(x 0，y 0)处可偏导是函数在该点可微的( )（A）充分必要条件。（B）必要但非充分条件。（C）充分但非必要条件。（D）既非充分又非必要条件。3 将二重积分 改写成直角坐标形式为( )（A） 02dx02xf(x2+y2)dy（B） 02dx02f(x2+y2)dy（C）（D）4 下列选
2、项中正确的是( )（A）若 有相同敛散性。（B）若正项级数（C）若正项级数（D）正项级数 的敛散性与 ， 有关。5 设 A，B 为 n 阶对称矩阵，下列结论不正确的是 ( )（A）AB 为对称矩阵。（B）设 A，B 可逆，则 A 一 1+B 一 1 为对称矩阵。（C） A+B 为对称矩阵。（D）kA 为对称矩阵。6 已知 1，是矩阵 A 属于特征值 =2 的特征向量， 2， 3 是矩阵 A 属于特征值 =6 的特征向量，那么矩阵 P 不能是( )（A）( 1，一 2， 3)。（B） (1， 2+3， 223)。（C） (1， 3， 2)。（D）( 1+2， 1 一 2， 3)。7 设 F1(x
3、)，F 2(x)分别为随机变量 X1 与 X2 的分布函数，概率密度分别为 f1(x)，f 2(x)(两个函数均连续) ，则必为概率密度的是( )（A）f 1(x)f2(x)。（B） 2f2(x)F1(x)。（C） f1(x)F2(x)。 （D）f 1(x)F1(x)+f2(x)F1(x)。8 设随机变量 X 与 Y 独立同分布，方差存在且不为零，记 U=XY，V=X+Y ，则U 与 V 必然( )（A）不独立。（B）独立。（C）相关系数不为零。（D）相关系数为零。二、填空题9 =_.10 f(x)=sinxsin3xsin5x，则 f(4)(0)=_。11 曲线 的弧长为_。12 差分方程
4、yx+1 一 2yx=3x 的通解为_。13 行列式 =_。14 随机变量 X 的概率密度 随机变量 Y=aX+bN(0，1)，则ab=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 计算反常积分16 设 f(x)，g(x) 在a，b 上连续，在(a ，b)内可导，且 f(A)=f(B)=0。证明：(I)存在一点 (a，b)，使得 f()=2f()；()存在一点 (a，b) ，使得 f()=一 3f()g()。17 求幂级数 的收敛域及和函数。18 设函数 f(x)(x0)可微，且 f(x)0。将曲线 y=f(x)，x=1，x=a(a 1)及 x 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转一
5、周得旋转体体积为 ，求：(I)f(x)的表达式；()f(x)的极值。19 某企业在两个不同市场上销售同一产品，市场价格分别为 p1=182Q1，p 2=12一 Q2，其中 Q1，Q 2 分别表示产品在两个市场上的需求量，该企业的总成本为C=2Q+5，其中 Q=Q1+Q2。 (I)若企业实行价格不同战略，试确定两个市场上产品的产量及价格，使得企业利润最大； ()若企业在两个市场上价格相同，求企业最大利润，比较两种战略优劣。20 线性方程组 有公共的非零解，求 a，b 的值和全部公共解。21 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=4x22 一 3x32+2ax1x24x1x3+8x2x3(其中 a
6、 为整数)经过正交变换化为标准形 f=y12+6y22+6y32，求： (I) 参数 a，b 的值； ( )正交变换矩阵 Q。22 设连续型随机变量 X 的概率密度为求：(I)a，b，c的值；() 随机变量 Y=eX 的数学期望与方差。23 已知总体 X 的概率密度 是来自总体 X 的简单随机样本。求 的矩估计量 和最大似然估计量 。考研数学（数学三）模拟试卷 381 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 由于 所以 x=0 是的跳跃间断点。故选 A。2 【正确答案】 B【试题解析】 举例证明选项 B 是正确的。设函数容易验证
7、 f(x，y)在点(0，0)处既连续又存在偏导，由 fx(0，0)=f y(0，0)=0 ，因此不存在，所以 f(x，y)在点(0，0)处不可微。故选 B。3 【正确答案】 C【试题解析】 极坐标系中的 2sec 对应直角坐标系中的直线 x=2，极坐标系中的2csc 对应直角坐标系中的直线 y=2，因此根据极坐标系下的表达式可画出积分区域如下图： 根据极坐标系与直角坐标系间的关系x=rcos，y=rsin，可得二重积分化为直角坐标形式为 ，故选 C。4 【正确答案】 D【试题解析】 比较判别法极限形式仅适合正项级数，故选项 A 不正确。由反例收敛，但有 ，故选项 B 和 C 均不正确。在选项
8、D 中，当 1时，收敛性取决于 ，=1 时，收敛性取决于 ，故选D。5 【正确答案】 A【试题解析】 根据(A+B) T=AT+BT=A+B，可得 A+B 为对称矩阵；根据(A 一 1+B 一1)T=(A 一 1)T+(B 一 1)T=A 一 1+B 一 1，得 A 一 1+B 一 1 为对称矩阵；由(kA) T=kAT=kA，得 kA 为对称矩阵。故选 A。6 【正确答案】 D【试题解析】 若 P=(1,2,3)，则有 AP=PA，即亦即 (A 1，A 2，A 3)=(11， 22， 33)。可见 i 是矩阵 A 属于特征值 i 的特征向量(i=1，2，3)，又因矩阵 P 可逆，因此 1，
9、2， 3 线性无关。若 是属于特征值 的特征向量，则一 仍是属于特征值 的特征向量，故选项 A 正确。若 ， 是属于特征值 的特征向量，则 ， 的线性组合仍是属于特征值 的特征向量。本题中， 2， 3 是属于 =6的线性无关的特征向量，故 2+3， 2 一 23，仍是 =6的特征向量，并且2+3， 2 一 23 线性无关，故选项 B 正确。对于选项 C，因为 2， 3 均是 =6的特征向量，所以 2 与 3 谁在前谁在后均正确即选项 C 正确。由于 1， 2 是不同特征值的特征向量，因此 1+2， 1 一 2 不再是矩阵 A 的特征向量，故选 D。7 【正确答案】 D【试题解析】 设 X1U(
10、0，1)，X 2U(1 ，2)，则即可排除选项A，B，C。对于选项 D，满足 f2(x)F2(x)+f2(x)F1(x)0，且因此选项 D 可作为概率密度。故选 D。8 【正确答案】 D【试题解析】 根据独立同分布随机变量的性质，有 E(UV)=E(X2Y2)=E(X2)一E(Y2)=0，E(U)E(V)=E(X) 2 一E(Y) 2=0。所以由 Cov(U，V)=E(UV)一 E(U)E(V)=0 可得相关系数 UV=0。故选 D。二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 10 【正确答案】 0【试题解析】 11 【正确答案】 【试题解析】 12 【正确答案】 y(x)=C2 x+3x，其中
11、 C 为任意常数【试题解析】 由已知方程知对应的齐次差分方程的特征值 =2，通解为 y(x)=C2x。因为 =23，所以令特解 y*=A.3x，代入原方程得 A=1，故原方程的通解为y(x)=C2x+3x，其中 C 为任意常数。13 【正确答案】 n+1【试题解析】 将各列加到第一列14 【正确答案】 1【试题解析】 根据服从正态分布的随机变量的概率密度表达式可知三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 先对原积分进行变量替换和等价变形所以16 【正确答案】 (I)令 (x)=e-2f(x)，因为 f(A)=f(B)=0，所以 (A)=(B)=0，根据罗尔定理，存在
12、一点 (a，b)，使得 ()=0，而 (x)=e-2xf(x)一 2f(x)且 e-2x0，所以 f()=2f()。 ( )令 h(x)=f9x)e3g(x)，因为 f(A)=f(B)=0，所以 h(A)=h(B)=0，根据罗尔定理，存在一点 (a，b)，使得 h()=0，而 h(x)=e3g(x)f(x)+3f(x)g(x)且 e3g(x)0，所以 f()=一 3f(n)g()。17 【正确答案】 18 【正确答案】 (I)由已知，根据旋转体体积公式可知19 【正确答案】 (I)总收入函数为 r=p1Q1+p2Q2=18Q1 一 2Q12+12Q2 一 Q22，则总利润函数为 L=RC=一
13、5+16Q1+10Q22Q12 一 Q22，由 解得Q1=4，Q 2=5，两市场的价格分别为 p1=10，p 2=7，此时企业利润最大为 L=52。( )令 p1=p2=p，由 182Q1=12 一 Q2，可得 2Q1 一 Q26=0。即求函数 L=一5+16Q1+10Q2 一 2Q12 一 Q22 在条件 2Q1 一 Q2 一 6=0 下的最大值。构造拉格朗日乘数方程 L(Q1， Q2，)=一 5+16Q1+10Q2 一 2Q12Q22+(2Q1 一 Q26)，解方程组得 Q1=5，Q 2=4，价格为 p=8，最大利润为 L=49。(I) 和()的结果比较可见，实行价格差别战略，企业的利润比
14、较大。20 【正确答案】 因为线性方程组(I)、( )有公共的非零解，所以它们的联立方程组()有非零解，即 ()系数矩阵 A 的秩小于 4。对矩阵 A 进行初等行变换，得所以 a=一 2，b=3。且 r(A)=3。此时可解方程组 得 =(0，2，一 3，1) T，即为()的一个非零解。又 r(A)=3，所以 构成()的基础解系。因此， (I)和()的全部公共解为 k(0，2，一 3，1)T(其中 k 为任意常数 )。21 【正确答案】 (I)二次型矩阵为 ，由二次型的标准形f=y12+6y22+6y32，可知该二次型矩阵的特征值为 1=1， 2=6， 3=b，根据特征值的和与乘积的性质可得方程组22 【正确答案】 (I)由概率密度的性质，即 ，可得23 【正确答案】 由已知
