1、考研数学（数学三）模拟试卷 387 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)= ，则 f(x)有( ) （A）两个可去间断点（B）两个无穷间断点（C）一个可去间断点，一个跳跃间断点（D）一个可去间断点，一个无穷间断点2 设 f(x)满足： =0，x (x)一 x2f2(x)=1 一 e2x 且 f(x)二阶连续可导，则( )（A）x=0 为 f(x)的极小点（B） x=0 为 f(x)的极大点（C） x=0 不是 f(x)的极值点（D）(0 ，f(0) 是 y=f(x)的拐点3 设 f(t)= arctan(1+x2+y2)dxdy,则 为(
2、)（A）（B）（C）（D）4 设 f(x)在 x0 的邻域内三阶连续可导，且 f(x0)= (x0)一 0 (x0)0，则下列结论正确的是( ) （A）x=x 0 为 f(x)的极大点（B） x=x0 为 f(x)的极小点（C） (x0，f(x 0)为曲线 y=f(x)的拐点（D）(x 0，f(x 0)不是曲线 y=f(x)的拐点5 设 A，B 及 A*都是 n(n3)阶非零矩阵，且 AB=O，则 r(B)=( )（A）0（B） 1（C） 2（D）36 设 A 是 mn 矩阵，r(A)=n，则下列结论不正确的是( )（A）若 AB=O，则 B=O （B）对任意矩阵 B，有 r(AB)=R(B)
3、（C）存在 B，使得 BA=E （D）对任意矩阵 B，有 r(BA)=r(B)7 设二维随机变量(x，y) 的联合密度函数为 f(x，y)=则 k 为( )（A）2（B） 4（C） 6（D）88 已知 E(X)=1，E(X 2)=3，用切比雪夫不等式估计 p(-1（A）（B）（C）（D）二、填空题9 _10 设 z=z(X，y)由 (x2z 2,ez+2y)=0 确定，其中 连续可偏导，则=_11 设 y=y(x)由 dt=x+1 一 y 确定，则 _12 设 D 是由曲线 y= 与直线 y=x 围成，则dxdy=_.13 设 A,B 为三阶矩阵，AB， 1=一 1， 2=1 为矩阵 A 的两
4、个特征值，又B 1 = ，则 _.14 设总体 XN(0，1) ，X 1，X 2，X 3，X 4 为来自总体的简单随机样本，则服从的分布为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 g(x)二阶可导，且 f(x)= (I)求常数口，使得 f(x)在 x=0处连续； () 求 f(x)，并讨论 f(x)在 x=0 处的连续性16 设 a 为实数，问方程 ex=ax2 有几个实根?17 计算 ( +xy2)d，其中 D 是由 x2+y2=4 与 x2+(y+1)2=1 围成的区域18 已知微分方程 =(yx)z， 作变换 u=x2+y2，= ，=lnz 一(x+y)确定函数 =(
5、u，)，求经过变换后原方程化成的关于 ，u， 的微分方程的形式19 设 un(x)满足 (x)=un(x)+ ex(n=1，2，)，且 un(1)= ，求 un(x)的和函数20 (I)当 a，b 为何值时， 不可由 a1，a 2，a 3 线性表示；()当 a，b 为何值时， 可由 a1，a 2，a 3 线性表示，写出表达式21 设 A 为三阶矩阵，a 1，a 2，a 3 是三维线性无关的向量组，且 Aa1=a1+3a2，Aa 25a1 一 a2，Aa 3=a1 一 a2+4a3 (I) 求矩阵 A 的特征值； () 求可逆 Q，使得 Q1 AQ为对角阵 22 设随机变量 X 服从参数为 A
6、的指数分布，令 Y= 求： ()PX+Y=0； ()随机变量 Y 的分布函数； ()E(Y)23 设有 n 台仪器，已知用第 i 台仪器测量时，测定值总体的标准差为i(i=1，2，n)用这些仪器独立地对某一物理量 各观察一次，分别得到X1，X 2，X n设 E(Xi)=(i=1，2，n) ，问 k1，k 2，k n 应取何值，才能在使用 估计 时， 无偏，并且 D( )最小?考研数学（数学三）模拟试卷 387 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 显然 x=0，x=1 为 f(x)的间断点f(0+0)= f(x)= ，f(0
7、0)= f(x)= =0，由 f(0+0)=f(0 一 0)=0，得x=0 为 f(x)的可去间断点；f(1 0)= f(x)= =1，f(1+0)= f(x)= =1 由 f(10)f(1+0)，得 x=1 为 f(x)的跳跃间断点，应选(C) 2 【正确答案】 A【试题解析】 由 =0 得 f(0)=0，f(0)=0，当 x0 时，由 x (x)一 x2f2(x)=1一 e2x 得 (x)=xf2(x)+ ，再由 f(x)二阶连续可导得 (0)=20，故 x=0 为 f(x)的极小点，应选(A)3 【正确答案】 C【试题解析】 由 f(t)= arctan(1+x2+y2)dxdy= ra
8、rctan(1+r2)dr =2 rarctan(1+r2)dr，得=选(C).4 【正确答案】 C【试题解析】 (x0)= 0，由极限的保号性，存在 0，当 00 0，当 x(x0，x 0)时， (x)0；当 x(x0，x 0+)时，(x)0，则 (x0，f(x 0)为曲线 y=f(x)的拐点，选(C).5 【正确答案】 B【试题解析】 由 B 为非零矩阵得 r(A)n，从而 r(A*)=或 r(A*)=1因为 A*为非零矩阵，所以 r(A*)=1，于是 r(A)=n1又由 AB=O 得 r(A)+r(B)n 从而 r(B)1，再由 B 为非零矩阵得 r(B)1，故 r(B)=1，选(B).
9、6 【正确答案】 D【试题解析】 因为 r(A)=n，所以方程组 AX=0 只有零解，而由 AB=O 得 B 的列向量为方程组 AX=0 的解，故若 AB=O，则 B=O；令 BX=0，ABX=0 为两个方程组，显然若 BX=0，则 ABX=0，反之，若 ABX=0，因为 r(A)=n，所以方程组 AX=0 只有零解，于是 BX=0，即方程组 BX=0 与 ABX=0 为同解方程组，故 r(AB)=r(B)；因为 r(A)=n，所以 A 经过有限次初等行变换化为 ，即存在可逆矩阵 P 使得PA= ，令 B=(EnO)P，则 BA=E；令 A= ，B=(1 1 1)，r(A)=1，但 r(BA)
10、=0r(B)=1，选(D) 7 【正确答案】 C【试题解析】 由 =dx(2y+3) = =1 得 k=66，选(C) 8 【正确答案】 C【试题解析】 D(X)=2，由切比雪夫不等式得 PX E(X)1 一p1 一 X P 一 1 ，则 a 的最大值为 ，选(C)二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 原式= 10 【正确答案】 【试题解析】 (x 2 一 z2，e z+2y)=0 两边对 x 求偏导，得(2x 一 2z )1+ =0，解得11 【正确答案】 【试题解析】 由 得 =x+1 一 y取 x=0 代入得=1 一 y，解得 y=1. du=x+1y 两边对 x 求导得 =1 ，从
11、而 ； =1 一 两边再对 x 求导得一 2y( )2，从而 12 【正确答案】 【试题解析】 令 ，0rcos dxdy=dr 13 【正确答案】 【试题解析】 因为B 2= ，所以B=3 ，又因为 AB，所以 A，B 有相同的特征值，设 A 的另一个特征值为 3，由A= 123，得 3=3，因为 A3E的特征值为4，2，6,所以A 一 3E=一 48因为 B*+(一 B)1 =BB 1 一 4B1 =一 B1 ，所以B*+( B)1 =(一 1)3B 1 = 一 于是14 【正确答案】 t(1)【试题解析】 由 X1+X2N(0，2)得 N(0，1)，由 X3+X4N(0，2)得N(0，1
12、) ，从而 2(1)，且 与 独立，由 t 分布的定义得 t(1)，即 t(1).三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 () 当 f(x)在 x=0 处连续时，g(0)=1当 f(x)在 x=0处连续时，a=g(0)() 当 x0 时，f(x)= ；当x=0 时， =则 f(x)=因为所以 f(x)在 x=0 处连续16 【正确答案】 当 a=0 时，方程无解； 当 a0 时，令 (x)=x2ex 由 (x)=2xex 一 x2ex =x(2 一 x)ex 一 0 得 x=0 或 x=2 当 x0 时，(x) 0； 当0372 时，(x)0； 当 x2 时，(x
13、)0， 于是 (0)=一 为极小值，(2)=为极大值，又 (x)=十， (x)=一 1)当 a0 时，方程无解； 2)a= 时，方程有两个根，分别位于(一 ，0)内及 x=2； 3)当 a 时，方程有三个根，分别位于(一，0) ，(0，2)，(2，+)内； 4)当 0a 时,方程只有一个根，位于(一 ，0)内17 【正确答案】 由对称性得 令D0：x 2+(y+1)21，则 I= ， 其中，所以 I=(32)18 【正确答案】 =lnz (x+y)两边关于 x 求偏导得 一 1；=lnz 一(x+y)两边关于 y 求偏导得 一 1，解得 带入原方程整理得 =0 19 【正确答案】 由 un(x
14、)=un(x)+ 得 unu n(x)= ，于是 un(x)=因为，令 =t，显然 的收敛域为一 1，1)，即 un(x)的收敛域为一 2，2).因为 =ln(1+t)，所以=ln(1t),故 (一 2x20 【正确答案】 ()当 a 6，a+2b40 时，因为 r(A)r( )，所以 不可由 a1，a 2，a 3 线性表示；()当 a6，a+2b4=0 时， 可由 a1，a 2，a 3 唯一线性表示，表达式为 =2a1 一 a2+0a3；当 a=一 6 时，当 a=一 6，b5 时，由 ， 可由 a1，a 2，a 3，唯一线性表示，表达式为 =6a1+a2+2a3；当 a=一 6，b=5 时
15、，由 ， 可由 a1，a 2，a 3，唯一线性表示，表达式为 = (2k+2)a1+(k 一 1)a2+ka3，其中 k 为任意常数21 【正确答案】 (I)令 P=(a1，a 2，a 3)，因为 a1，a 2，a 3 线性无关，所以 P 可逆因为 Aa1a 1+3a2，Aa 2=5a1 一 a2，a 1 一 a2+4a3， 所以(Aa 1，Aa 2，Aa 3)=(a1+3a2，5a 1一 a1，a 1 一 a2+4a3)，从而 A(a1，a 2，a 3)=(a1，a 2，a 3) ，即 AP=P或者 p1 Ap= =B，于是有 AB由XEB=(+4)( 一 4)2=0 得 A 的特征值为 1
16、=4， 2=3=4. ()因为AB，所以 B 的特征值为 1=一 4， 2=3=4 当 1=一 4 时，由(一 4E 一 B)X=0得 1= ； 当 2=3=4 时，由(4EB)X=0 得 2= ， 令P1=(1， 2， 3)= ,则 ，因为 P1 AP=B，所以取Q=PP1=(a 1+a2，5a 1+3a2+a1+3a3)，则 Q1 AQ=22 【正确答案】 (I)PX+Y=0)=PY=一 X=PX1) =1 一 PX1)=1 一(1 一e )=e ()F Y(y)=PYy=PYy，01 =PXY，01 当 y一 1 时，F Y(y)=PX一 y=1 一 PX一 y=ey； 当一 lYY(y)=PX1=e； 当 0y1 时，F Y(y)=P0Xy)+PX1)=1 一 ey +e ； 当 Y1 时，F Y(y)=P0X1)+PX 1)=1于是 ()因为 fY(y)=所以 E(y)= 23 【正确答案】 因为 E(xi)=(i=1，2，n)，所以 =一 kiXi 的无偏性要求是=1这就是约束条件，而目标函数为 D( )= 由拉格朗日乘数法，作函数 f(k1，k 2，k n)= ，由 =0(i=1，2，n)得方程组，解得 ，所以当取(i=1，2 ，n) 时， 的方差最小
