1、考研数学（数学三）模拟试卷 390 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 下列反常积分发散的是 ( )2 设 f(x，y)= ，则在点 0(0，0) 处 ( )（A）偏导数存在，但函数不连续（B）偏导数不存在，但函数连续（C）偏导数存在，函数也连续（D）偏导数不存在，函数也不连续3 设齐次线性方程组 Ax=0 有通解 k11+k22=k1(1， 2，0，一 2)T+k2(4，一 1，一1，一 1)T，其中 k1，k 2 是任意常数，则下列向量中不是 Ax=0 的解向量的是 ( )（A） 1=(1， 2，0，一 2)T（B） 2=(6，1，一 2，一 2)
2、T（C） 3=(一 5，8，2，一 4)T（D） 4=(5， 1，一 1，一 3)T4 设 A，B，C 均是 3 阶方阵，满足 AB=C，其中则必有 ( )（A）a= 一 1 时，r(A)=1 （B） a=一 1 时，r(A)=2 （C） a一 1 时，r(A)一 1（D）a一 1 时，r(A)=25 将一枚均匀硬币连续抛 n 次，以 A 表示“正面最多出现一次”，以 B 表示“ 正面和反面各至少出现一次” ，则 ( )（A）n=2 时，A 与 B 相互独立（B） n=2 时，A B（C） n=2 时，A 与 B 互不相容（D）n=3 时，A 与 B 相互独立6 设随机变量 X1，X n(n1
3、)独立同分布，其方差 20，记(1s，tn) 的值等于 ( )（A） （B） （C） 2maxs，t) （D） 2mins，t)7 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且都在(0，a) 上服从均匀分布，则随机变量Z=maxX，Y的概率密度为( )8 设随机变量 tt(n)，对 (0，1)，t (n)为满足 P(tt (n)= 的实数，则满足P(t b)=a 的 b 等于( )二、填空题9 设函数 在 x=0 处连续，则 a=_10 设四次曲线 y=ax4+bx3+cx2+dx+f 经过点(0，0)，并且点(3，2)是它的一个拐点，过该曲线上点(0，0) 与点(3 ，2) 的切线交于点(2，4)
4、，则该四次曲线的方程为y=_11 _12 _13 _14 设随机变量 XN(0， 2)，YN(0，4 2)且 PX1，y2)= ，则PX1，y2=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 f(x，y)在点(0，0)处连续，且 ，并讨论 f(x， y)在(0，0)处是否可微，若可微求出16 作变换 t=tanx，把方程 变换成 y关于 t 的微分方程，并求原方程的通解17 设函数 f(x)在0，1上连续，在 (0，1)内可导，且 f(0)f(1)0求证：存在(0， 1)，使得 f()+(2 )f()=018 设 f(x)满足 f(x)=x2+ ，其中区域 D 是以(1，1)，
5、(1， 1)，(1，1)为顶点的三角形区域，且 f(1)=0，求18 一商家销售某种商品的价格满足关系 P=70 2x(万元吨)，x 为销售量( 单位：吨)，商品的成本函数是 C=3x+1(万元) 19 若每销一吨商品，政府要征税 t(万元)，求该商家获最大利润时的销售量；20 t 为何值时，政府税收总额最大?20 已知 是非齐次线性方程组 Ax=b 的一个特解， 1， 2， nr ，是对应齐次方程组 Ax=0 的基础解系，证明：21 ，+ 1，+ 2，+ nr 是 Ax=b 的 nr+1 个线性无关解；22 方程组 Ax=b 的任一个解均可由 ，+ 1，+ 2，+ nr 线性表出22 设齐次
6、线性方程组(2EA)x=0 有通解 x=k1=k（1，1，1） T，k 是任意常数，其中 A 是二次型 f(x1，x 2，x 3)=xTAx 对应的矩阵，且 r(A)=123 求方程组 Ax=0 的通解24 求二次型 f(x1，x 2，x 3)24 设二维随机变量(X，Y)的概率分布为其中 a，b，c 为常数，且 X 的数学期望 E(X)=02，PY0X0=0 5记 Z=X+Y25 求 a，b， c 的值；26 求 Z=X+Y 的概率分布；27 求概率 PX=Z27 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 记U=maxX，Y，V=minX ，Y28 求 U 的概率密度 fU(u)；29 求 E(
7、UV)考研数学（数学三）模拟试卷 390 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 两个积分中只要有一个发散，就说该积分发散故应选(A)2 【正确答案】 A【试题解析】 由偏导数定义，得即两个偏导数都存在考虑连续性，取 y=kx2 让点(x，y)(0，0)则更谈不上连续性故应选(A) 3 【正确答案】 B【试题解析】 若 i 可由 1， 2 线性表示，则是 Ax=0 的解，不能由 1， 2 线性表示，则不是 Ax=0 的解 将 1， 2， 1， 2， 3， 4 合并成矩阵，并一起作初等行变换 故知， 2 不能由 1， 2 线性表示
8、，不是 Ax=0 的解向量( 1， 3， 4 是解向量)，故应选(B) 4 【正确答案】 C【试题解析】 显然 r(C)=1，又当 a一 1 时，有 r(B)=3， B 可逆，因 AB=C，故 r(A)=r(AB)=r(C)=1故应选(C)因(C) 成立，显然(D)不能成立 故(A)、(B)均不成立5 【正确答案】 D【试题解析】 当 n=2 时， 由P(AB)P(A)P(B)知 A 与 B 不独立又 P(A)P(B) ，故 A B，则 P(A)P(B)，矛盾) 当 n=3 时， 由上知 P(AB)=P(A)P(B)，因此 A 与 B 相互独立故应选(D)6 【正确答案】 A【试题解析】 因为
9、3=max2，3)，所以应选(A)7 【正确答案】 A【试题解析】 X，Y 独立同分布，Xf(x)=先求 Z=max(X，Y)的分布函数 F z(z)=PZz=Pmax(X，Y)z PXz ，Yz=F(z，z)=F X(z).FY(z)从而 FZ(z)=FX(z).FY(z)=8 【正确答案】 C【试题解析】 已知 0a1，P(tt a(n)=，P(tb)=a b0， P(t6)= P(tb)= P(t b) = 1P(t b)=二、填空题9 【正确答案】 -2【试题解析】 如果分段函数 f(x)连续，则 f(x)在 0 点处的左右极限相等，从而确定a 的值10 【正确答案】 11 【正确答案
10、】 3【试题解析】 由偏导数的定义得 ，将多元函数的偏导数问题转化为一元函数的导数问题 12 【正确答案】 【试题解析】 13 【正确答案】 【试题解析】 =E13，而 E132=E，故 E1320=E，E 1319=E13用 E13 右乘等于将 A 的一、三两列对换，故14 【正确答案】 【试题解析】 令X1=A，Y2)=B ，三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 解法一：当(x，y)(0，0) 时 x 2+y2，所以由 f(x，y)在点(0，0)处的连续性即得解法二：当(x ，y)(0 ，0)时由 f(x，y)在点(0 ，0)处的连续性即得，又由极限与无穷小
11、的关系可知 ，其中， 为当(x，y)(0，0)时的无穷小量，则 f(x，y)f(0 ，0)=2(x 2+y2)+(x2+y2) =0x+0y+0()，其中 所以f(x，y)在点(0，0)处可微，且 由全微分的形式不变性可知：16 【正确答案】 将它们代入原方程得 求解这个常系数线性方程：相应的特征方程为 2+2+1=0，有重特征根 =1 非齐次方程的特解 y*=t 2 因为方程的通解为 y=(C1+C2t)et 一 2 原方程的通解为 y=( C1+C2tanx) etanx +tanx 一 217 【正确答案】 令 F(x)=x2ex f(x)由题意知显然 F(z)在0，1上连续，在(0，1
12、)内可导因为 f(0)f(1)0，所以由零点定理知存在 (0，1)使得 f()=0，从而有 F()=0，F(0)=0 所以再由 Rolle 定理得存在 (0，) (0，1)，使得18 【正确答案】 19 【正确答案】 依题意，商品销售总收入 R=px=(702x)x，总税收额为 T=tx，利润函数为 =RCT=02x 2+(4t)x1， =04x+4t 令 =0，得驻点 x= (4t)， 又 =040，故当 x= (4t)时，利润 为最大值，即使利润最大的销售量为 (4t)20 【正确答案】 将 x= (4t) 代入 T=tx，得 T=t. (4t)=10t r2 令 =0，得t=2 又 =5
13、0，故 t=2 是 T 的极大值点，亦即最大值点所以，当税率为2 时，政府税收总额最大21 【正确答案】 A=b，A(+ i)=A=b，i=1 ，2，nr，故，+ 1，+ 2，+ n r，均是 Ax=b 的解向量 设有数 k0，k 1，k 2，k nr ，使得 k0+k1（+ 1）+ k2（ +2）+ k nr (+nr )=0， 整理得(k 0+ k1+ knr )+ k11+ kn rnr =0，(*) (*)式左乘 A，得(k 0+ k1+ knr )b=0，其中 b0，得 k0+ k1+ knr =0(* *)， 代入(*)，因 1， 2， nr 是对应齐次方程组的基础解系，线性无关，
14、得 k i=0，i=1 ，2，nr 代入(* *) ，得 k0=0，从而有，+ 1，+ 2，+ nr 是 Ax=b 的 nr+1 个线性无关解22 【正确答案】 Ax=b 的任一解，设为 *，则 *=+11+22+ nr nr ， 且*=+11+22+ nr nr ， =+ 1 (1+) 2 (2+)+ nr ( nr +) =(1 1 2 nr )+1 (1+)+ 2 (2+)+ nr ( nr +， 故任一个 Ax=b 的解 *均可由向量组 ，+ 1，+ 2，+ nr 线性表出23 【正确答案】 A 是二次型的对应矩阵，故 AT=A，由(2EA)x=0 有通x=k1=k（ 1，1，1） T
15、，知 A 有特征值 2=2，且 A 的对应于 1=2 的线性无关的特征向量为 1=（1，1，1） T 由于 r(A)=1，故知 =0 是 A 的二重特征值Ax=0 的非零解向量即是 A 的对应于 =0 的特征向量 设 2=3=0 所对应的特征向量为手 =（x 1，x 2，x 3） T，由于实对称矩阵不同特征值对应的特征向量相互正交，故 与 1 相互正交 由 1T=x 1+ x2+ x3=0，解得 2=（1，1，0）T， 3=（1，0 ，1） T 故方程组 Ax=0 的通解为 k22+ k33，k 2，k 3 为任意常数24 【正确答案】 求二次型即是求其对应矩阵法二：对 2， 3 进行正交化：
16、 2=2=（1，1，0） T对手1， 2， 3 正交化，得25 【正确答案】 利用概率分布的规范性得到 a+02+01+b+02+01+c=1 即 a+b+c=04 利用(X，Y)的概率分布得到 X 的边缘概率分布为E(X)=(a+02)+c+01=ca 01= 0 2 由得到 a=02，b=01，c=0126 【正确答案】 Z=X+Y 的概率分布为27 【正确答案】 PX=Z=PX=X+Y=PY=0=0228 【正确答案】 设 U 的分布函数为 FU(u)，则 F U(u)=PUu=Pmax(X，Y)u=PXu，Yu当 uU(u)=0；当 0u1 时， 当 1u2时， 当 2u 时，F U(u)=1U 的概率密度为29 【正确答案】 E(UV)=E(XY)=
