1、考研数学（数学三）模拟试卷 392 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设x表示不超过 x 的最大整数，则 x=0 是 的( )（A）可去间断点（B）跳跃间断点（C）无穷间断点（D）连续点2 设 f(x)=3x3+x2x，则使 f(n)(0)存在的最高阶数为( )（A）0（B） 1（C） 2（D）33 设 f(x)满足 ，则 f(x)( )（A）有极大值 f(0)=1 及渐近线 y=x（B）有极小值 f(0)=1 及渐近线 y=x（C）有极大值 f(0)=1 及渐近线 y=x（D）有极小值 f(0)=1 及渐近线 y=x4 设函数 f(x， y)在点
2、P0(x0，y 0)处的两个偏导数 fx(x0，y 0)，f y(x0，y 0)都存在，则( )（A）f(x，y)在点 P0 处必连续（B） f(x，y)在点 P0 处必可微（C）（D）5 设 A 为 mn 矩阵，r(A)=n，则下列结论不正确的是( )（A）若 AB=0，则 B=0（B）对任意矩阵 B，总有 r(AB)=r(B)（C）存在 B，使 BA=E（D）对任意矩阵 B，总有 r(BA)=r(B)6 设 n 元齐次线性方程组 Ax=0 的系数矩阵的秩 r(A)=n3，且 1， 2， 3 为此方程组的三个线性无关的解，则下列向量组中可以作为 Ax=0 的基础解系的是( )（A） 1，2
3、2，3 3+1 2（B） 1+2， 2 3， 3+1（C） 12 2，3 3 1， 33+22（D）2 1+42，2 2+3， 3+17 设 F1(x)，F 2(x)为两个分布函数，其相应的概率密度 f1(x)，f 2(x)是连续函数，则必为概率密度的是( )（A）f 1(x)f2(x)（B） 2f2(x)F1(z)（C） f1(x)F2(x)（D）f 1(x)1F 2(x)+f2(x)1F 1(x)8 设二维随机变量(X，Y)N(1 ，2；1，4； )，且 PaX+bY1)= ，则( )二、填空题9 _10 y=(x25x+6)x 33x 2+2x不可导点的个数为 _个11 设某商品的收益函
4、数为 R(p)，收益弹性为 1+p+plnp(其中 p 是价格)，且 R(1)=1，则 R(p)=_12 y=e2x+(1+x)ex 是二阶常系数线性微分方程 y+ay+y=rex 的一个特解，则2+2+r2=_13 ，r(A)=2，则 A*x=0 的通解为 _14 设(X，Y)服从二维正态分布，其概率密度为 f(x，y)= ，x+， y+，概率 P(XY)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设随机变量 X 的密度函数为 f(x)，已知方差 DX=1，而随机变量 Y 的密度函数为 f(一 y)，且 X 与 Y 的相关系数为一 ，记 Z=X+Y，求 ()EZ，DZ； ()
5、用切比雪夫不等式估计 PZ 2 16 证明：17 设二元函数 f(x，y)= 计算二重积分其中 D=(x，y)x+y2 18 设函数 y(x)在区间0，+)上有连续导数，并且满足 y(x)=1+x+2 (xt)y(t)y(t)dt 求 y(x)19 讨论级数 ， 为常数的敛散性，若收敛，指出是条件收敛还是绝对收敛，并说明理由19 设 1， 2， 3， 4， 为四维列向量组，A=( 1， 2， 3， 4)，已知方程组 Ax=的通解是（1，1，0，2） T+k（1，1，2，0） T20 能否由 1， 2， 3 线性表示?21 求 1， 2， 3， 4， 的一个极大线性无关组22 已知二次型 f(x
6、1，x 2，x 3)=x12+x22+x324x 1x24x 1x3+2ax2x3 通过正交变换 x=Qy化为标准形 f(x1，x 2，x 3)=3y12+3y22+by32，求参数 a，b 及所用的正交变换22 设随机变量 X，Y 相互独立均服从正态分布 N(0， 2)，求23 的概率密度 fz(z)；24 E(Z)和 D(Z) 24 设总体 X 服从0， 上的均匀分布 未知( 0)，X 1，X 2，X 3 是取自 X 的一个样本， ，求25 ；26 考研数学（数学三）模拟试卷 392 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】
7、，所以 x=0 是 f(x)的跳跃间断点2 【正确答案】 C【试题解析】 3 【正确答案】 A【试题解析】 上式两边求导，得 f(x)=x e x ，所以 f(x)=xe x f(x)=1e x，令 f(x)=1e x=0，得 x=0 f(x)=e x，f(0)=10，所以 x=0 是 f(x)的极大值点，极大值为 f(0)=0 e0=1(答案排除 B，D) 所以斜渐近线的斜率为 1，故答案选 A4 【正确答案】 C【试题解析】 由偏导数定义可知 f(x，y 0)在 x=x0 处连续， f(x0，y)在 y=y0 处连续，故答案应选 C5 【正确答案】 D【试题解析】 对于选项(A)，因为 A
8、B=0 r(A)+r(B)n，又 r(A)=n，所以 r(B)=0，所以 B=0排除 对于(B)，因为 A 为 mn 矩阵，r(A)=n，所以 A 为列满秩矩阵，于是存在 m 阶可逆矩阵 P，n 阶矩阵 Q，使 PAQ=故排除(C)故选(D)事实上，若取 A=（1，2，1） T，B=(1，1，1)，则 r(A)=1，r(BA)=0r(B)=16 【正确答案】 A【试题解析】 因为 r(A)=n3，所以基础解系所含向量的个数为 n(n 3)=3；又由解的性质可知，四组备选答案中任何一组的三个向量均为解向量，现在要验证的是哪组解向量线性无关，又因为选项(A)中7 【正确答案】 D8 【正确答案】
9、D【试题解析】 利用二维正态分布的性质得到 aX+bY 服从一维正态分布又因为PaX+bY1)= ，所以 E(aX+bY)=1，即 a+26=1选项中只有 D 满足此条件二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 10 【正确答案】 2【试题解析】 本题考查 y=(xa)xa在 x=a 点可导 y=(x25x+6)x 33x 2+2x=(x2)(x3)x(x1)(x2)，从而本函数有两个不可导点11 【正确答案】 p 1+p【试题解析】 1nR(p)=lnp+plnp+c=(p+1)lnp+c， 再由 R(1)=1 可得 c=0则 R(p)=pp+112 【正确答案】 14【试题解析】 根据解的
10、结构定理可得 y=e2x+ex+xex进而可求得=3，=2，r=1 2+2+r2=1413 【正确答案】 k 1（1，0，1） T+k2（5，3，4） T【试题解析】 r(A)=23 r(A*)=1 所以 A*x=0 的基础解系中有两个线性无关的解向量，A *A=AE=0， 即 A 的每一列均为 A*x=0 的解，两个线性无关解为 通解为14 【正确答案】 【试题解析】 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 ()EZ=E(X+Y)=EX+EY= -+xf(x)dx+-+yf(-y)dy -+xf(x)dx+-+(一 u)f(u)(一 du) =-+xf(x)dx
11、-+uf(u)du=0， DZ=D(X+Y)=DX+DY+2Cov(X，Y)=DX+DY+ 又 DY=E(Y2)一(EY) 2， 其中 EY=一 EX，E(Y 2)=-+y2f(-y)dy=-+(一 u)2f(u)(一 du)=-+u2f(u)du=E(X2)， 则DY=E(X2)一(一 EX)2=E(X2)一(EX) 2 一 DX=1，16 【正确答案】 设 g(x)=xcosxsinx，则g(x)=xsinx0 因此 g(x)在 内单调递减，又 ，所以在内 g(x)0，故 F(x)0，所以 F(x)在 内单调递减，从而17 【正确答案】 设区域 D 在第一象限的部分为 D，由对称性可得记
12、D1 为 x+y=1 与 x 轴 y 轴所围部分，D 2 为 D 挖掉D1 剩余部分，则18 【正确答案】 对所给方程变形方程两端对 x 求导，得 y(x)=1+2 y(t)y(t)dt，继续求导，得 y(z)x=2y(x)y(x)，且 y(0)=1，y(0)=1微分方程不显含自变量 x，令 P=y，方程可化为 这是自变量可分离的微分方程，求得通解为 P=y2+c1，即 y=y2+c1由 y(0)=1，y(0)=1 可得，c 1=0，从而y=y2，所以 再由 y(0)=1，得 c2=1，故函数 为所求特解19 【正确答案】 由于当 n 充分大时，保持定号，所以级数从某项起以后为交错级数当 不是
13、整数时，不论 取何值，总有 ，故级数发散； 当 是整数时，有 ，所以利用比较判别法的极限形式得： 当 0 时，级数 发散，又因为非增的趋于零，故由交错级数的莱布尼兹判别法知，级数 收敛，且为条件收敛； 当 =0 时，级数显然收敛，且绝对收敛20 【正确答案】 设 =k11+ k22+ k33，则 Ax= 有解（ k1，k 2，k 3，0） T 与（1，1，0，2） T，又（1，1，2，0） T 为 Ax=0 的基础解系，因此 （k 1+1，k 2 1，k 3，2） T=t（1，1，2，0） T 上式矛盾，所以 不能由1， 2， 3 线性表示 21 【正确答案】 由 4r(A)=1，知 r(A)
14、=3，即 r(1， 2， 3， 4，)=3， 所以 3 与 都可由 1， 2， 4 线性表示，故 1， 2， 3， 4， 的一个极大线性无关组为 1， 2， 422 【正确答案】 本题主要考查特征值的性质及二次型通过正交变换化为标准形，是一道有一定难度的综合题 二次型的矩阵为 由题设知矩阵 A 的特征值为 1=3， 2=3， 3=b由特征值的性质，解得 a=2，b=3，从而矩阵 A 的特征值是 3，3，3当 =3 时，对(3EA)x=0 的系数矩阵作初等行变换，其基础解系为 1=（1，1，0） T， 2=（1，0，1） T当=3 时，对(3EA)=0 的系数矩阵作初等行变换，其基础解系为 2=（1，1，1） T将1， 2，Schmidt 正交化，令令 Q=(1， 2， 3)，经过正交变换 x=Qy，f(x 1，x 2，x 3)化成标准形 f(x 1，x 2，x 3)=3y12+3y223y 3223 【正确答案】 先求 Z 的分布函数 FZ(z)=P(Zz)= 当 z0 时，FZ(z)=0；当 z0 时，24 【正确答案】 25 【正确答案】 设 X 的分布函数为 F(x)，则26 【正确答案】
