1、考研数学（数学三）模拟试卷 393 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 f(x)在 x=a 处可导，则 ( )（A）3a 2f(a)+2f(a)（B）（C） 3a2f(a) f(a) （D）2 设 f(x)在 x=0 处连续，且 ，则( )（A）f(0)是 f(x)的极大值（B） f(0)是 f(x)的极小值（C） 0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点（D）f(0)不是 f(x)的极值，(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点3 设 f(x，y)= 则 f(x，y)在点(0，0)处( )（A） 不存在（B） 连续（C）可微（D）不连续4
2、以下命题正确的个数为( ) 若 收敛，则 收敛 若 收敛，则收敛若 收敛，则 收敛 若 发散，则存在非零常数 ，使（A）1 个（B） 2 个（C） 3 个（D）4 个5 设 A，B 是 n 阶可逆矩阵，满足 AB=A+B，则下面命题中正确的个数是 ( ) A+B=AB （AB） 1 =B1 A1 (AE)x=0 只有零解 BE不可逆（A）1（B） 2（C） 3（D）46 设 ，B 是三阶非零矩阵，且 AB=0，则( )（A）当 k=1 时，r(B)=1 （B）当 K=3 时，r(B)=1（C）当 k=1 时，r(B)=2（D）当 K=2 时，r(B)=27 设 P(AB)=P(BA)= ， ，
3、则( )（A）事件 A，B 独立且 P(A+B)=（B）事件 A，B 独立且 P(A+B)=（C）事件 A，B 不独立且 P(A+B)=（D）事件 A，B 不独立且 P(A+B)=8 设连续型随机变量 X 的概率密度 F(x)为偶函数，且 F(x)= ，则对任意常数 a0，P Xa)为( )（A）22F(a)（B） 1F(a)（C） 2F(a)（D）2F(a) 1二、填空题9 由方程 sin(xy) =1 所确定的曲线 y=y(x)在 x=0 处的切线方程为_10 _11 当 x0 时，微分方程(3x 2+2)y=6xy的某个解与 ex1 是等价无穷小，则该解为_12 设 f(r)在0，1 上
4、连续，则 _13 设 ，则（E+A） *=_14 设总体 X 在a，b上服从均匀分布， X1，X 2， ，X n 为其样本，样本均值 ，样本方差 S2，则 a，b 的矩估计 _， _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 f(x)三阶可导，且 f(a)0，f(x)=f(a)+f(a)(xa)+ (xa)2(01) 求 16 设函数 f(x)连续， 求 F(x)并讨论 F(x)的连续性17 设二元函数 u=u(x，y)有二阶连续偏导数，并满足方程 ，且u(x，2x)=x ， ux=(x，2x)=x 2，求 uxx(x，2x)，u xy(x，2x)，u yy(x，2x)18 设
5、有微分方程 y+p(x)y=x2，其中 求在(，+)内的连续函数 y=f(x)，使其满足所给的微分方程，且满足条件 y(0)=219 求二元函数 f(x，y)=e xy 在区域 D=(x，y)x 2+4y21上的最大值和最小值20 设 f(u)具有连续的一阶导数，且当 x0，y0 时，z= 满足 求 z 的表达式21 证明考 1， 2， n 线性无关；22 求 Ax=0 的通解；23 求出 A 的全部特征值和特征向量，并证明 A 不可对角化24 设 I1= ，其中 a 是正常数，试证明：I 1I 225 ()求方程组(*)的基础解系和通解；() 问参数 a，b，c 满足什么条件时，方程组(*)
6、和(*)是同解方程组26 (X， Y)的分布函数；27 (X， Y)的两个边缘概率密度；28 P(X+Y1)及 29 设总体 X 的概率密度为 其中0 ， 为未知参数，X1，X 2，X n 为取自 X 的简单随机样本试求 ， 的最大似然估计量考研数学（数学三）模拟试卷 393 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 2 【正确答案】 C【试题解析】 3 【正确答案】 C【试题解析】 4 【正确答案】 B【试题解析】 为正项级数时，此命题正确a n3a n2比较判别法为充分，非必要条件故正确，错误5 【正确答案】 C【试题解析】
7、A，B 可逆，A+B=AB A+B =AB=AB；（AB）1 =B1 A1 ； A+B=AB A=ABB=(AE)B AE 可逆 (AE)x=0只有零解；A+B=AB B=ABA=A(BE) BE 可逆6 【正确答案】 B【试题解析】 ，AB=0 r(A)+r(B)3；B0 r(B)0，从而 r(A)3 A=0 k=1 或 k=3当 k=1 时，r(A)=1 ，r(B)2；当k= 3 时，r(A)=2，r(B)=1从而选(B)7 【正确答案】 C【试题解析】 考察(C) ，P(A)= ，P(BA)=，P(AB)= 从而 P(A+B)=P(A)+P(B) P(AB)= 8 【正确答案】 A【试题
8、解析】 因为概率密度 f(x)为偶函数及对称性可得P(Xa)=P(Xa 或 Xa)=2P(Xa)=21P(Xa)=2=2F(a)二、填空题9 【正确答案】 y=e+e(1 e)x【试题解析】 当 x=0 时，y=e，在方程两边对 x 求导，得 cos(xy)(y+xy)=0，因此 y x=0=e(1e)，故切线方程为 y=e+e(1e)x10 【正确答案】 0【试题解析】 11 【正确答案】 y= x3+x【试题解析】 12 【正确答案】 0【试题解析】 13 【正确答案】 【试题解析】 14 【正确答案】 【试题解析】 由均匀分布的数字特征结论 令E(X)= ，D(X)=S 2，解得 a,b
9、 的矩估计为三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 16 【正确答案】 所以 F(x)在x=0 处连续当 x0 时，因为 f(x)连续，所以变上限积分 也是连续的，于是 F(x)是连续的综上：F(x)在(，+)上是连续的17 【正确答案】 18 【正确答案】 当 x1 时，微分方程为 y+y=x2，这是一阶线性微分方程，该方程的通解为 当 x1 时，微分方程为 ，这是一阶线性微分方程，该方程的通解为由于方程的解在点 x=1 处连续，所以 从而 ，所以原方程通解为 由于 y(0)=2，所以 c=0，所以满足条件的函数为19 【正确答案】 首先由于 fx(x，y)=
10、ye xy ，f y(x，y)= xe xy ，所以在 D 的内部f(x，y)有唯一的驻点(0， 0)，且 f(0，0)=1 其次在 D 的边界 x2+4y2=1 上，作Lagrange 函数 L(x，y，)= e xy +(x2+4y21) ，比较函数值可得 f(x，y)在 D 上的最大值为 最小值为20 【正确答案】 21 【正确答案】 设 k11+ k22+ knn=0，依次在等式两边左乘以A，A 2，A n2 ，A n1 ，分别得 k 12+ k23+ kn1 n=0， k 13+ k24+ kn2 n=0， k 1n1 + k2n=0， k 1n=0， 因为 n0，并依次回代得 k2
11、= kn1 = kn=0，所以 1， 2， n.22 【正确答案】 由题意知又因为 1， 2， n 线性无关，故 r(A)=n1，所以 Ax=0 的基础解系中只有一个解向量，而 An=0， n0，因此 n 为 Ax=0 的一个基础解系，所以 Ax=0 的通解为kn，k 为任意常数23 【正确答案】 记 P=(1， 2， n)，则 P 可逆，且由此可得 A 的特征值 1=2= n=0，其特征向量为 kn (k0)，从而 A 的属于特征值 0 的线性无关特征向量仅有一个，故 A 不可对角化24 【正确答案】 25 【正确答案】 () 方程组(*) 的系数矩阵 已是阶梯形求得基础解系 1=(一 1，
12、2，一 1，1，0) T， 2=(一 1，一 2，1，0，1) T，方程组通解为 k11+ k11= ，其中 k1、k 1 为任意常数。()方程组(*)和(*)是同解方程组，将 1= 代入方程组(*)的第 1、2 个方程，由显然 1 也满足方程组(*)的第 3个方程将 2= 代入方程组(*)的第 3 个方程，由 3(一 1)+(一 2)+1+c=0，得c=4显然， 2 也满足方程组(*)的第 1、2 个方程故知当 a=一 1，b=2，c=4 时，由解的性质知方程组(*)的解全部是方程组(*) 的解反之，当 a=一 1，b=一2，c=4 时，方程组(*)的系数矩阵 方程组(*)的未知量个数 n=
13、5，方程组 (*)的基础解系由两个线性无关解组成，已验算方程组(*)的解全部是方程组(*) 的解故方程组(*) 的解也全部是方程组(*) 的解，方程组(*)、(*)是同解方程组26 【正确答案】 本题主要考查二维连续型随机变量的分布函数、边缘概率密度、条件密度及其概率，是一道有一定难度的综合题 由 F(x，y)= (u，v)dudv，得 当 x0 或 y0 时，f(x，y)=0 ，从而 F(x， y)=0 当 0x1，0y2 时，当 0x1， y2 时，当 x1，0y2 时，当 x1，y2 时，F(x，y)=1 综上所述，(X，Y) 的分布函数为27 【正确答案】 当 0x1 时，从而 X 的边缘概率密度为当 0y2 时，从而 Y 的边缘概率密度为28 【正确答案】 当 0y2 时，X 关于 Y=y 的条件密度为当 0x1 时，y 关于 X=x 的条件密度为 由概率密度的性质，得29 【正确答案】 本题考查总体概率密度含有两个未知参数的最大似然估计量，是一道有难度的综合题 似然函数为由(2)知 lnL 关于 单调增加，即 L(x1，x n；，)关于 单调增加又，所以 的最大似然估计量为 由(1)式，令 ，得 的最大似然估计量为
