1、考研数学（数学三）模拟试卷 399 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 0xmin1，t 2)dt= ( )2 曲线 y= 的渐近线 ( )（A）只有水平的与铅直的，无斜的（B）只有水平的与斜的，无铅直的（C）只有铅直的与斜的，无水平的（D）水平的、铅直的与斜的都有3 微分方程 y“一 2y+y=ex 有特解形式 ( )（A）y *=Ax(A0)（B） y*=(A+Bx)ex(B0)（C） y*=(A+Bx+Cx2)ex(C0)（D）y *=(A+Bx+Cx2+Dx3)ex(D0)4 f(x)= 在区间(一，+)内零点个数为( )（A）0（B） 1（C
2、） 2（D）无穷多5 已知线性非齐次方程组 A34=b(*)有通解 k1(1，2 ，0，一 2)T+k2(4，一 1，一 1，一 1)T+(1，0，一 1，1) T，其中 k1，k 2 是任意常数，则满足条件 x1=x2，x 3=x4 的解是 ( )（A）(2 ，2，1，1) T（B） (1，1，2，2) T（C） (一 2，一 2，一 1，一 1)T（D）(2 ，2，一 1，一 1)T6 设 A= ，且 AA则参数 a ( )（A）a= 一 10（B） a=10（C） a一 10（D）a10 7 设随机变量 XN(0，1)，Y=maxX ，0)，则 ( )（A）Y 为离散型随机变量（B） Y
3、 为连续型随机变量（C） X 与 Y 相互独立（D）Cov(X,Y)= 8 设随机变量 X ，且 PX=1，Y=1=PX=1，y=一1，则 X 与 Y ( )（A）必不相关（B）必独立（C）必不独立（D）必相关二、填空题9 设 f(x)= ，为连续函数，则常数a=_，b=_10 某企业生产某产品，在单位时间上分摊到该产品的固定成本为 c0 元又设在单位时间内生产 x 件产品的边际成本为 ax+b(元件)，a0，b0，均为常数则成本函数 c(x)= _11 设 an=01x(1 一 x)n1dx，则 (一 1)nan=_12 设 x0，则微分方程 的通解为 y=_13 设 A，B 均是 n 阶矩
4、阵，满足 AB=A+B，则 r(AB 一 BA+AE)= _。14 设随机变量 X 的密度为 f(x)= ，随机变量 Y 服从参数为 1 的泊松分布，且 X 与 Y 独立，则 D(XY)= _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 f(x)在 x=0 处连续，且 x0 时 f(x)= 求曲线 y=f(x)在 x=0 对应的点处的切线方程16 设曲线 y=ax2(x0，常数 a0)与曲线 y=1 一 x2 交于点 A，过坐标原点 O 和点 A的直线与曲线 y=ax2 围成一平面图形 D求 ()D 绕 x 轴旋转一周所成的旋转体的体积 V(a)； ()a 为何值时，V(a)为最
5、大17 求z在约束条件 ，下的最大值与最小值18 设 f(x)在 x=0 的某邻域内具有连续的导数，又设是条件收敛，绝对收敛，还是发散19 设 f(x)具有一阶连续导数，f(0)=0，且表达式 xy(1+y)一 f(x)ydx+f(x)+x2ydy 为某二元函数 u(x，y) 的全微分 () 求 f(x)； ()求 u(x，y)的一般表达式20 设 A= ()求 A的对应于 i(i=1，2，3)的特征值； ()求 Ax=3 的通解； ()求 A21 设 A= ，其中 s，n 是正整数，证明 ATA 是实对称阵，并就正整数 s，n 的情况讨论矩阵 ATA 的正定性22 一等边三角形 ROT(如图
6、)的边长为 1，在三角形内随机地取点 Q(X，Y)(意指随机点(X，Y) 在三角形 ROT 内均匀分布)求：( ) 点 Q 到底边 OT 的距离的概率密度；( )PY ()f X|Y (xy)23 设总体 X 的概率密度为 f(x；，)= ，其中 ， 是未知参数利用总体 X 的如下样本值：一 05，03，一 02，一 06，一01，04，05，一 08，求 的矩估计值与最大似然估计值考研数学（数学三）模拟试卷 399 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 将 min1，t 2写成分段函数：故应选(B)2 【正确答案】 D【试题
7、解析】 所以有斜渐近线 y=x3 【正确答案】 C【试题解析】 因为右边 ex 指数上的 1 是二重特征根，故特解的形式为y*=Ax2ex(A0)，即选项(C)中 C0 的形式故选(C)4 【正确答案】 C【试题解析】 f(x)为偶函数，f(0) 0， 内f(x)至少有 1 个零点又当 x0 时，所以在区间(0，+)内 f(x)至多有 1 个零点，故在区间(0，+) 内 f(x)有且仅有 1 个零点，所以在(一 ，+) 内有且仅有 2 个零点5 【正确答案】 D【试题解析】 方程组(*)的通解是解得 k1=1，k 2=0，代入通解，得方程组(*)满 足 x1=x2，x 3=x4 的解是(2，2
8、，一 1，一 1)T，故应选(D)6 【正确答案】 A【试题解析】 由 AA，A 应有特征值 1=1， 2=3=2 对应 2=3=2 有 2 个线性无关特征向量，即有 r(2E 一 A)=1 故 r(2EA)=1a=一 10应选(A)7 【正确答案】 D【试题解析】 Y=maxx ，0= Y 的取值范围为0，+)。 当 y0 时，FY(y)=0； 当 y0 时， F Y(y)=PYy=PYy，X0+PYy ，X， 故 FY(y)= 在 y=0 处不连续且不是阶梯形，所以既不是离散型又不是连续型 Cov(X，Y)=E(XY)一 EXEY=E(XY)=E(X maxX，0) =+xmaxx，0(x
9、)dx (其中 (x)为标准正态概率密度) =0x0 (x)dx+ 0+x2(x)dx (其中 (x)为标准正态概率密度) = +x0(x)dx+0+x2(x)dx = 0。 则 X 与Y 不独立，选(D) 8 【正确答案】 A【试题解析】 设 PX=1，Y=1=P(X=1，Y=一 1=p， 则得联合分布EY=0，E(XY)=0， Cov(X，Y)=E(XY)一 EXEY=0，X 与 Y 不相关选(A)。 注意 p= 时 X 与Y 独立，选项(c)不成立二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 由表达式可见，除 x=0，x=1 外，f(x)均连续10 【正确答案】 x2+bx+c0【试题解析】
10、 在单位时间内生产 z 件产品的成本函数为 c(x)，边际成本就是 c(x)，已知 c(x)=ax+b 从而 c(x)= ax2+bx+c 由题设条件 c(0)=c0(即不生产也应支出的固定成本)，于是知 c=c0 从而 c(x)= x2+bx+c011 【正确答案】 12ln 2【试题解析】 12 【正确答案】 x(x+C)，其中 C 为任意常数【试题解析】 y= =x(ldx+C)=x(x+C)13 【正确答案】 n【试题解析】 由题设条件 AB=A+B，得 ABAB+E=E，即(AE)(BE)=E，从而知 AE 和 BE 是互逆矩阵且有(BE)(AE)=BA 一 AB+E=E，BA=A+
11、B ，则 AB=BA，且 r(AE)=r(BE)=n，故 r(ABBA+AE)一 r(AE)n14 【正确答案】 43【试题解析】 由 X 的概率密度知 X 一 2E( )，则 E(X2)=3，得 EX=5，D(X一 2)=32， 得 DX=9 因 YP(1)，则 EY=DY=1，故 D(XY)=E(XY)2一E(XY) 2 =E(X2Y2)一E(XY) 2 =E(X2)E(Y 2)一(EXEY) 2 =DX+(EX)2DY2+(EY)2一(EX)2(EY) 2 =DXDY+DX(EY)2+DY(EX)2 =91+912+152=43三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正
12、确答案】 由 f(x)在 x=0 处连续，所以切线方程为 y 一 e2=一 2e2(x 一 0)，即 y=一 2e2x+e216 【正确答案】 当 a0 时，得 V(a)的唯一驻点 a=4当 0a 4 时， V(a)0，当 a4 时，V(a)0故 a=4 为 V(a)的唯一极大值点，为最大值点17 【正确答案】 z 的最值点与 z 的最值点一致用拉格朗日乘数法，作 F(x，y，z， ，)=z 2+(x2+9y2 一 2z2)+(x+3y+3z5)18 【正确答案】 由于 f(x)在 x=0 的某邻域内存在连续的导数，所以当 x0 且 x 足够小时，f(x)0，进而 f(x)f(0)=0，亦即
13、f( )0(n 充分大时)由拉格朗日中值定理，有19 【正确答案】 () 由题意知， du=xy(1+y)一 f(x)ydx+f(x)+x2ydy， 即 =f(x)+x2y 由于 f(x)具有一阶连续导数，所以 u 的二阶混合偏导数连续，所以有 即有 x(1+2y)一 f(x)=f(x)+2xy， f(x)+f(x)=x连同已知 f(0)=0，可求得 f(x)=x 一 1+ex()由()知 du=(xy2+yyex)dx+(x 一 1+ex+x2y)dy求 u(x，y)有多种方法 凑微分法 du=(xy 2+yyex)dx+(x1+ex+x2y)dy =xy(ydx+xdy)+(ydx+xdy
14、)+(一 yexdx+exdy)一 dy =d (xy)2+xy+yex 一 y，所以 u(x，y)= (xy)2+xy+yxy+C(C 为任意常数)20 【正确答案】 () 因 1， 2， 3 是 A 的特征向量，假设对应的特征值分别是1， 2， 3，则有()A 是33 的非零矩阵(a 11=10)，r(A)1 A 1=0，A 2=0，且 1， 2 线性无关，所以 r(A)1则 r(A)=1， 1， 2 是 Ax=0 的基础解系又因 A3=(一 1)3，故 A(一 3)=3，Ax= 3 有特解一 3，从而 Ax3 的通解为 k11+k22 一 3，其中 k1，k 2 是任意常数( )直接由题
15、设条件解出未知的 aij(i=2，3，j=1 ，2，3)，从而求出 A因 r(A)=1，故 (a21，a 22，a 23)=k(1，一 2，3)，(a 31，a 32，a 33)=l(1，一 2，3)，即两端第 2 个分量，第 3 个分量分别相等，得 k=一 2，l= 一 2故 A= 。21 【正确答案】 (A TA)T=AT(AT)T=ATA，则 ATA 是实对称矩阵 当 sn 时，A 的列向量组线性相关(向量个数 s向量的维数 n)，故 Ax=0 有非零解，即存在 x0， 使得 Ax=0，从而使 xTATAx=0，故当 sn 时，A TA 不是正定矩阵 当 s=n 时，范德蒙德行列式A0，
16、A 是可逆矩阵，根据矩阵正定的充分必要条件，A TA 是正定矩阵 当 sn 时，A 的列向量组线性无关(当 s=n 时，A 的列向量组线性无关，减少向量个数仍线性无关)， Ax=0 只有零解，即任给 x0，均有 Ax0，从而有(Ax)TAx=xTATAx0，从而 ATA 是正定矩阵 故当 sn 时，A TA 是正定矩阵22 【正确答案】 () 因三角形 ROT 的面积为 ，故(X，Y) 的概率密度为点 Q(X，Y)到底边 OT 的距离就是Y，因而求 Q 到 OT 的距离的概率密度，就是求(X，Y) 关于 Y 的边缘密度，23 【正确答案】 由 f(x；，)0 ，有 0，0 又 +F(x；，)dx= 10dx+01dx=+=1，(2)似然函数L()=f(x1；)f(x 2；) f(x 8；)=a 5(1 一 )3两边取自然对数， ln L()=5ln+3ln(1 一 )
