1、考研数学（数学三）模拟试卷 400 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)满足 f“(x)+xf(x)2sin x，且 f(0)=0，则 ( )（A）f(0)是 f(x)的极小值（B） x(0)是 f(x)的极大值（C）在点 (0，f(0)左侧邻域内，曲线 y=f(x)是凹的，右侧邻域内，曲线 y=f(x)是凸的（D）在点(0，f(0)左侧邻域内，曲线 y=f(x)是凸的，右侧邻域内，曲线 y=f(x)是凹的2 设 f(x)在区间(，+)上连续，且满足 f(x)=0xf(xt)sin tdt+x，则在(一 ，+)上，当 x0 时，f(x) (
2、 )（A）恒为正（B）恒为负（C）与 x 同号（D）与 x 异号3 设 f(x)=一 sinx+(3x1)2，则在区间(一，+) 上， f(x)的零点个数 ( )（A）正好 1 个（B）正好 2 个（C）正好 3 个（D）多于 3 个4 设 f(x)=x4sin +xcosx(x0)，且当 x=0 时，f(x)连续，则( )（A）f“(0)=0，f“(x)在 x=0 处不连续（B） f“(0)=0，f“(x)在 x=0 处连续（C） f“(0)=1，f“(x)在 x=0 处不连续（D）f“(0)=1，f“(x)在 x=0 处连续5 设 A 是 n 阶矩阵(n1) ，满足 Ak=2E，k2，E
3、是单位矩阵，A *是 A 的伴随矩阵，则(A *)k ( )（A） E（B） 2E（C） 2k1E（D）2 n1E6 设 A 是 3 阶矩阵，A=1，a 11=一 1，a ij=Aij，其中 Aij 是 A 中元素 aij 的代数余子式，则线性非齐次方程组 AX= 的唯一解是 ( )（A）(1 ，0，0) T（B） (0，0，一 1)T（C） (1，1，1) T（D）(一 1，1，1) T7 设(X，Y) 为二维连续型随机变量，则下列公式各项都有意义的条件下 (Df(x，y)=fX(x)Y(x)； f X(x)=+fY(y)fX|Y(xy)dx； f XY (xy)=； PX Y)= +fX(
4、y)fY(y)dy，其中 FX(y)=yfX(x)dx 必定成立的个数为 ( )（A）1（B） 2（C） 3（D）48 设随机变量 X 服从参数为 1 的指数分布，令 Y=maxX，1，则 EY= ( )（A）1（B） 1+ （C） 1 一 （D） 二、填空题9 设 f(x)= ，则 ff(x)=_10 设 x= =_11 微分方程 y“一 3y+2y=xex 的通解为 y=_12 设 f“(x0)=2，则 =_13 设 n 阶行列式A nn =a，将 A 的每一列减去其余各列的行列式记成B，则B =_14 设 XB(3， )，y 服从(0，3)上的均匀分布，X 与 Y 相互独立，则行列式0
5、的概率为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设三角形三边的长分别为 a，b，c ，此三角形的面积设为 S求此三角形内的点到三边距离乘积的最大值，并求出这三个相应的距离16 设 z=f(u)存在二阶连续导数，并设复合函数 z=f( )在 x0 处满足 求 f(u)及 f(u)的一般表达式17 计算 18 设 f(x)在0，1上可导且满足 f(0)= 证明：至少存在一点 (0，1)，使得 f()+f()=019 设 f(x，y)=max ，1)，D=(x，y)xy1)求 f(x，y)d20 已知 A，B 均是 24 矩阵，其中 AX=0 有基础解系 1=(1，1，2，1) T
6、， 2=(0，一 3，1，0) T； BX=0 有基础解系 1=(1，3，0，2) T， 2=(1，2，一 1，a) T ()求矩阵 A； () 若 AX=0 和 BX=0 有非零公共解，求参数 a 的值及公共解21 设线性齐次方程组(2EA)x=0 有通解 x=k1=k(-1，1，1) T，其中 k 是任意常数，A 是二次型 f(x1，x 2，x 3)=xTAx 的对应矩阵，且 r(A)=1 ()问 1=(1，1，0)T， =(1，一 1，0) T 是否是方程组 Ax=0 的解向量，说明理由； () 求二次型f(x1，x 2，x 3)22 设 X 和 Y 的联合密度函数为 ()求 Z=Y-X
7、 的概率密度； () 求数学期望 E(X+Y)23 设袋中有编号为 1N 的 N 张卡片，其中 N 未知现从中有放回地任取 n 张，所得号码为 x1，x 2，x n ()求 N 的矩估计量 =1)； ()求 N 的最大似然估计量 的分布律考研数学（数学三）模拟试卷 400 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 由 f“(x)+xf(x)2=sin x，有 f“(0)=0再由 f“(x)+f(x) 2+2xf(x)f“(x)=cos x，得 f“(0)=1，所以 =1。由极限的保号性知，存在 x=0 的去心邻域 且 x0 时，f
8、“(x)0故应选(D) 2 【正确答案】 C【试题解析】 作积分变量代换，令 xt=u，得 f(x)= x0f(u)sin(xu)d(一 u)+x=0xf(u)sin(x 一 u)du+x =sin x 0xf(u)cos udu 一 cos x 0xf(u)sin udu+x， f(x)=cos x 0xf(u)cos udu+sin xcos xf(x)+sin x 0xf(u)sin udu 一 cos xsin xf(x)+1 =cos x 0xf(u)cos udu+sin x 0xf(u)sin udu+1， f“(x)= sin x 0xf(u)cos udu+cosxf(x)+
9、cos 2x 0xf(u)sin udu+sin2xf(x) =f(x)一 f(x)+x=x 3 【正确答案】 B【试题解析】 f(0)=1 0， 0，f(1)=40，所以至少有 2 个零点又 f(x)=一 cos x+6(3x 一 1)，f“(x)= 2sin x+180， 所以至多有 2 个零点，故正好有 2 个零点4 【正确答案】 A【试题解析】 5 【正确答案】 D【试题解析】 A k=2E，A k=2E=2 n，A= ，得A*=AA 1，则 (A *)k=(AA 1)k=A k(Ak)1=A k(2E)1= A kE=2n1E， 故应选(D)6 【正确答案】 A【试题解析】 将A按第
10、 1 行展开，A=a 11A11+a12A12+a13A13=a112+a122+a132， 因 A=1，a 11=一 1，故得a12=a13=A12=A13=0 故应选(A)7 【正确答案】 A【试题解析】 需要独立条件才成立； 应该为 fX(x)=+f(x，y)dy= +fY(y)fX|Y(xy)dy ； fX|Y(xy) 成立； 需要独立条件8 【正确答案】 B【试题解析】 二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 由 f(x)的表达式，有最后，分别写出自变量的取值范围，易见第 4 式中 1 与 x1 的交集为空集，故化简为如答案所示。10 【正确答案】 【试题解析】 11 【正确答案】
11、 C 1ex+C2e2x 一( x2+x)ex，其中 C1，C 2 为任意常数【试题解析】 对应的齐次方程的通解为 Y=C1ex+C2e2x设原方程的一个特解为y*=x(Ax+B)ex，代入原方程，得 y*=(一 x2 一 x)ex，所以通解如答案所示12 【正确答案】 1【试题解析】 13 【正确答案】 (2 一 n)2n1a【试题解析】 由题设知，若A= 1， 2， n=a ，则14 【正确答案】 【试题解析】 =(X 一 1)(Y 一 2)，所求概率为 p=P(X 一 1)(Y 一2)0 =PX 一 10，Y 一 20+PX 一 10，Y 一 20 =PX 1，Y2+PX1，Y2 =PX
12、1PY2+PX1 PY2 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 设 P 为三角形内的任意一点，该点到长分别为 a，b，C 的边的距离分别为 x，y，z 由三角形的面积公式有 求 f=xyz 在约束条件 ax+by+cz 一 2S=0 下的最大值令 W=xyz+(ax+by+cz 一 2S) 由拉格朗日乘数法， 显然当 P 位于三角形边界上时，f=0 为最小值；当 P 位于三角形内部时，f 存在最大值由于驻点唯一，16 【正确答案】 (1+u2)f“+2uf=0这是关于 f的一阶线性方程(或变量分离方程)，即 (1+u 2)(f)+2u(f)=0解得 f(u)=
13、，再积分，得 f(u)=C 1arctan u+C2，其中 C1、C 2 为任意常数17 【正确答案】 先看18 【正确答案】 有两种证明方法 从结论推上去，要证明存在一点 (0，1)，使得 f()+f()=0， 即 ef()+ef()=0，即证明存在 (0，1)，使得 e f()=0令 F(x)=exf(x)，要证存在 (0，1)使得 F()=exf(x) x=0为此，只要验证 F(x)在0，1上满足罗尔定理即可由于即 F(0)=F()，01 所以存在 (0，) (0，1)，使得 F()=0，即 e f()+ef()=0因 e0，上式等价于f()+f()=0证毕19 【正确答案】 如图所示，
14、将 D 分成三块，中间一块记为 D3，左、右两块分别记为 D1 与 D220 【正确答案】 () 记 C=(1， 2)，则有 AC=A(1， 2)=0，得 CTAT=0，即 AT 的列向量(即 A 的行向量) 是 CTX=0 的解向量 C T= ， 解得 CTX=0 的基础解系为 1=(1，0，0，一 1)T， 2=(一 7，1，3，0) T 故 A= ()若 AX=0 和 BX=0 有非零公共解，则非零公共解既可由1， 2 线性表出，也可由 1， 2 线性表出，设公共解为 =x 11+x22=x31+x42于是 x 11+x22-x31-x44=0 (*)对( 1， 2，一 1，- 2)作初
15、等行变换，当 a=3 时，方程组(*)有非零解， k(一 1，1，一 2，1) T此时 AX=0 和 BX=0 的非零公共解，为 =L1(一 1+2)=L1(一 1，一 4，一 1，一 1)T=L1(1，4，1，1) T， 其中 L1 是任意常数，或 =L 2(一 21+2)=L2(1，4，1，1) T， 其中 L2 是任意常数21 【正确答案】 ()A 是二次型的对应矩阵，故 AT=A，由(2E 一 A)x=0 有通解x=k1=k(一 1，1，1) T，知 A 有特征值 =2，且 A 的对应于 =2 的特征向量为1=(一 1，1，1) Tr(A)=1，故知 =0 是 A 的二重特征值 Ax=
16、0 的非零解向量即是 A 的对应于 =0 的特征向量，其应与对应于 =2 的特征向量 1 正交，因11=(一 1，1，1) =0，故 1 是 Ax=0 的解向量，即是 A 的对应于 =0 的特征向量又 22=(一 1，1，1) =一 20，故 2 不是 Ax=0 的解向量()求二次型即求其对应矩阵 求对应 =0 的线性无关特征向量设为 =(x1，x 2，x 3)T，由1=一 x1+x2+x3=0，解得 2=1=(1，1，0) T， 3=(1，0，1) T(2， 3 线性无关)，则得22 【正确答案】 () 分布函数法F Z(z)=PZz=PYXz)= f(x，y)dxdy当z0 时，f(x，y)的非零区域与(x ，y) yxz 的交集为图(a)中的阴影部分， FZ(z)=-z+dx0z+xe-(x+y)dy= ez；当 z0 时，f(x ，y) 的非零区域与(x ，y)yxz的交集为图(b)中的阴影部分， ()E(X+Y)= -+-+(x+y).f(x,y)dxdy=0+dx0+(x+y)e-(x+y)dy=0+0+(xe-xe-y+ye-xe-y)dydx=223 【正确答案】 X 与 Xi 同分布，此题已知样本分布，即可得到总体 X 分布为()L(x 1，x 2，x n；N)=PX=x 1PX=x 2PX=x n= (1xiN)， Nmaxxi (i=1，n)
