1、考研数学（数学三）模拟试卷 403 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 则 x=0 为 f(x)的 ( )（A）连续点（B）可去间断点（C）跳跃间断点（D）无穷间断点2 下列反常积分中，收敛的是 ( )3 设 存在，则 ( )4 设 f(x，y)= 则在点 0(0，0) 处， ( )（A）偏导数存在，但函数不连续（B）偏导数不存在，但函数连续（C）函数连续，偏导数存在，但函数不可微（D）函数可微5 设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，则 ( )（A）当 mn 时，必有AB=0（B）当 mn 时，AB 必可逆（C）当 nm 时，ABx=0 必
2、有唯一零解（D）当 nm 时，必有 r(AB)m6 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=x1+ax2+x3+2x1x22ax1x32x2x3 的正、负惯性指数均为1，则参数 a= ( )（A）1（B） 2（C）一 1（D）一 27 设 X1，X 2，X n 为来自 X 的简单随机样本，X 服从(1，7)内的均匀分布，记，由中心极限定理，以下成立的是 ( ) (注： (x)表示标准正态分布函数)8 设 XP()，其中 0 是未知参数，x 1，x 2， ，x n 是总体 X 的一组样本值，则PX=0)的最大似然估计值为 ( )二、填空题9 函数 f(x)= 的间断点的个数为_ 10 设 y=y(
3、x)是由方程 x2+y=tan(xy)所确定且满足 y(0)=0，则 y“(0)= _11 一阶差分方程 yt+1yt=t 的通解为 y=_12 设 z= =_13 设 A= ，E 是 3 阶单位阵，A *是 A 的伴随阵，则(A2E) 1(A *+E)= _14 若 X1，X 2，X 10 为取自 N(2，3)的简单随机样本，则 k=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 16 设 f(x)在 一 ，上连续，且有 f(x)= +f(x)sin xdx，求 f(x)17 设 D=(x， y)x 2+y21，(x1) 2+y21)，求18 设 z=z(x，y)是由方程 x+ln
4、 z 一 =1 确定的函数，计算 。19 某产品的成本函数为 C(q)=aq2+bq+c，需求函数为 q= ( 一 p)，其中 c0 为固定成本，a， b， 均为正常数，b，q 为需求量(需求量等于产量)勿为该产品的单价求产量 a 为何值时，利润最大 ?20 设 1， 2， ， n 是 n 个 n 维列向量，已知齐次线性方程组 1x1+2x2+ nxn=0 (*) 只有零解，问齐次线性方程组 ( 1+2)x1+(2+3)x2+( n1+n)xn1+(n+1)xn=0 (*) 是否有非零解?若没有，说明理由；若有，求出方程组(*)的通解21 设 A 是 3 阶实对称矩阵，AB，其中 B= ()求
5、 A 的特征值； ()若 1=(1，1，0) T， 2=(2，2，0) T， 3=(0，2，1) T， 4=(5，1，一 3)T 都是 A的对应于 1=2=0 的特征向量，求 A 的对应于 3 的特征向量； ()求矩阵 A22 已知随机变量 X 的概率密度为 f(x)=Aex(Bx)(一x+)，且有 EX=2DX试求： ( )常数 A，B 的值； ()E(X 2+eX)的值； ()Y= (x 一 1)的分布函数FY(y)23 已知随机变量 X 的概率密度为 f(x)= X1，X 2，X n 为 X 的简单随机样本 ()求未知参数 的矩估计量和最大似然估计量； () 求 的矩估计的数学期望考研数
6、学（数学三）模拟试卷 403 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 当 x0 时，f(x)= 所以 x=0为 f(x)= 的无穷间断点2 【正确答案】 C【试题解析】 通过具体计算，对于选项(C)，即收敛，故应选(C)3 【正确答案】 B【试题解析】 4 【正确答案】 D【试题解析】 f(x，y)x 2+y2，令(x，y)(0 ，0)，由夹逼定理有按可微定义，f(x，y)在点 0(0，0)处可微，故应选 (D)5 【正确答案】 A【试题解析】 r(AB)r(A)nm，AB 是 mm 矩阵，故必有AB=0 ，故应选(A)其余的均
7、错误，读者自行证明6 【正确答案】 D【试题解析】 因 p=q=1，故 r(f)=r(A)=1+1=2，对 A 作初等行变换，a=1 时，r(A)=1，不合题意a= 一 2 时，r(A)=2故答案为 a=一 27 【正确答案】 D【试题解析】 总体 XU(1，7)，则 EX= =3 由简单随机样本的性质知，X 1，X 2，X n 相互独立且与 X 同分布， EXi=4， DXi=3 (i=1，2， ，n) 由独立同分布的中心极限定理：选(D)8 【正确答案】 D【试题解析】 设 XP()，则 P(X=x= ，x=0,1，2，从而 PX=0=e， 先求 的最大似然估计值的一般形式对于样本值 x1
8、，x 2，x n，似然函数为由于函数u=e 具有单值反函数 =一 ln u，由最大似然估计的不变性知 PX=0)=e的最大似然估计值为 二、填空题9 【正确答案】 2【试题解析】 应先写出 f(x)的表达式：10 【正确答案】 一 1【试题解析】 将 x2y=tan(xy)两边对 x 求导，有2x+y=sec2(xy)(1 一 y)，11 【正确答案】 ，其中 C 为任意常数【试题解析】 特征方程为 一 1=0，特征根为 =1故对应的齐次方程的通解为Yt=C1 t=C 自由项为 t 的一次多项式，1 是特征根，故设特解为 yt*=t(At+B)=At2+Bt， 代入原方程，得 A(t+1) 2
9、+B(t+1)一(At 2+Bt)=t， 即 2At+A+B=t 12 【正确答案】 2xyf 1【试题解析】 13 【正确答案】 【试题解析】 A= =一 20A 是可逆矩阵 A 1= A A1=一 2A1(A 一 2E)1(A*+E)一(A 一 2E)1(一 2A1+E) =(A 一 2E)1(一 2A1+AA1)=(A 一 2E)1(A 一 2E)A1 =A114 【正确答案】 【试题解析】 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 令却不存在，洛必达法则不成立，原因在于不满足条件(3)16 【正确答案】 由于 f(x)sin xdx 存在，记为 A，由已知条
10、件，有 对右边积分作变量代换：x= 一 t，当 x=0 时，t=；当 x= 时，t=0于是17 【正确答案】 利用极坐标，如图，点 A 对应的18 【正确答案】 为计算当 x=0，y=0 时上述偏导数的值，应先计算出 x=0，y=0 时 z 的值由 z+ln z =1，将 x=0,，y=0 代入，得 z+ln z 一 1=0令 f(z)=z+In z 一 1=0。则 所以 f(z)有唯一零点易见f(1)=0，所以当 x=0，y=0 时，z=1代入(*)式，得19 【正确答案】 利润函数 L(q)=pqc(q)=(q)q 一(aq 2+bq+c)=一(a+)q 2+(b)qc L(q)=一 2(
11、a+)q+(b) 令 L(q)=0，得唯一驻点 q 0= 由于 L“(q)=一 2(a+)0，故当 q=q0 时，L(q) 为极大值，同时也为最大值，所以 L max(q)=一(a+)q02+(b)q0 一 c= 一 c20 【正确答案】 齐次线性方程组 1x1+2x2+ nxn=0 (*) 只有零解，故其系数矩阵(记为 A)的秩 r(A)=r(1， 2， n)=n，则矩阵 A 是可逆方阵 齐次线性方程组 ( 1+2)x1+(2+3)x2+( n-1+n)xn-1+(n+1)xn=0 (*) 的系数矩阵(记为 B)和 A 有如下关系： ( 1+2， 2+3， n-1+n， n+1)=(1， 2
12、， n)，记为 B=AC因 A 可逆，故有 r(B)=r(C)，而当 n=2k+1 时，C=20，故r(B)=r(C)=n，方程组 (*)只有零解当 n=2k 时，C=0，故 r(B)=r(C)n，方程组(*)有非零解当 n=2k 时，B=AC ，A 可逆故 Bx=0 和 Cx=0 是同解方程组，故只需求解线性齐次方程组 Cx=0 即可对 C 作初等行变换，将第 i 行的(一 1)倍加到第 i+1 行 (i=1，2，n 一 1)知 r(B)=r(C)=2k 一 1，BX=0 的基础解系为 =(1，一 1，1，1，一 1)T，故方程组(*)的通 解为 c=c(1，一 1，1， ，l，一 1)T，
13、其中 c 是任意常数 或由 C 知，C 中有 n一 1 阶子式 Cn-10，故 r(B)=r(C)=2k 一 1，Bx=0 有通解 k 由观察，因 1+2 一(2+3)+一 (2k+1)=0，则通解为 k(1，一 1，1，一 1，一 1)T，其中 k 是任意常数21 【正确答案】 () 由 AB，则 A，B 有相同的秩和特征值显然 r(B)=1，B 有特征值 1=2=0 且 1+2+3= =1+4+9，得 3=14故 A 有特征值1=2=0， 3=14( ) 1=2=0 是 A 的二重特征值，对应的线性无关特征向量最多有两个，由题设知 1=1=(1，1，0) T， 2=3=(0，2，1) T 线性无关(取 1， 2， 3， 4 的极大线性无关组，不唯一)，故取 1=1， 2=3 为 =0 的线性无关特征向量，因 A是实对称矩阵，将 3=14 对应的特征向量设为 3=(x1，x 2，x 3)T，则 3 与 1， 2 正交，则有 1T3=0， 2T3=0即有 解得基础解系为 2=(1，一 1，2) T，即是 3=14 对应的特征向量 ()令 P=(1， 2， 3)，则22 【正确答案】 23 【正确答案】
