1、考研数学（数学三）模拟试卷 404 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 (x)= ，当 x0 时，(x)是 (x)的 ( )（A）等价无穷小（B）同阶但不等价的无穷小（C）高阶无穷小（D）低阶无穷小2 设 g(x)在 x=0 的某邻域内连续且 又设 f(x)在该邻域内存在二阶导数且满足 x2f“(x)一f(x) 2=xg(x)则 ( )（A）f(0)是 f(x)的极大值（B） f(0)是 f(x)的极小值（C） f(0)不是 f(x)的极值（D）f(0)是否为 f(x)的极值要由具体的 g(x)决定3 设 an0，且当 n时，a n ( )（A）条
2、件收敛（B）绝对收敛（C）发散（D）敛散性由具体的 an 决定4 设 a 与 b 是两个常数，且 =b，则 ( )（A）a 为任意数， b=0（B） a=一 ，b=0（C） a=0，b=1（D）a= 一 ，b=05 设 A 是 n 阶矩阵，则下列说法错误的是 ( )（A）对任意的 n 维列向量 ，有 A=0，则 A=O（B）对任意的 n 维列向量 ，有 AT=0，则 A=O（C）对任意的 n 阶矩阵 B，有 AB=O，则 A=O（D）对任意的 n 阶矩阵 B，有 BTAB=O，则 A=O6 已知 n 阶矩阵 A 和 n 阶矩阵 B 等价，则必有 ( )（A）A+E 和 B+E 等价（B） A2
3、 和 B2 等价（C） AB 和 BA 等价（D）一 2A 和 3B 等价7 设随机变量 X 与 Y 相互独立且都服从参数为 的指数分布，则下列随机变量中服从参数为 2 的指数分布的是 ( )（A）X+Y（B） XY（C） maxX，Y)（D）minX，Y) 8 设 X1，X 2，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，EX=，DX=1，下面说法中正确的是 ( )（A） N(0，1)（B） E( )=2（C）由切比雪夫不等式知 ( 为任意正数)（D）若 为未知参数，则样本均值 既是 的矩估计，又是 的最大似然估计二、填空题9 设 y=y(x)是由方程 x= =_10 =_11 设 y=y(x)
4、是由 y3+(x+1)y+x2=0 及 y(0)=0 所确定，则=_12 微分方程(x+y)dy+(y+1)dx=0 满足 y(1)=2 的特解是_13 设 A= ，B 是 23 矩阵，满足 BA=0，则 B=_。14 某单位员工中有 90的人是基民(购买基金)，80的人是炒股的股民，已知在是股民的前提条件下，还是基民的人所占的比例至少是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 过坐标原点作曲线 y=ex 的切线，该切线与曲线 y=ex 及 x 轴围成的向 x 轴负向无限伸展的平面图形记为 D ()求 D 的面积 A； ()求 D 绕直线 x=1 旋转所成的旋转体的体积 V16
5、 ( )叙述并证明费马 (Fermat)定理(即可导函数极值点的必要条件)；( )叙述并证明极值的第一充分条件17 设 z=f(x，y)，z=g(y，z)+( )，其中 f，g， 在其定义域内均可微，计算中出现的分母均不为 0，求 18 设 f(x)在区间(0，1)内可导，且导函数 f(x)有界，证明：级数绝对收敛19 某人向银行贷款购房，贷款 A0(万元)，月息 r，分 n 个月归还，每月归还贷款数相同，为 A(万元)(此称等额本息还贷，目前各银行都采用这个办法还贷)设至第t 个月，尚欠银行 yt(万元 ) ()试建立 yt 关于 t 的一阶差分方程并求解； (11)利用t=n 时 yt=0
6、，建立每月应向银行还贷 A (万元)依赖于 n 的计算公式20 设向量组(i) 1=(1，2，一 1)T， 2=(1，3，一 1)T， 3=(一 1，0，a 一 2)T， (ii)1=(一 1，一 2，3) T， 2=(一 2，一 4，5) T， 3=(1，b，一 1)T 设 A=(1， 2， 3)，B=(1， 2， 3) 问( )a，b 为何值时，矩阵 A，B 等价；a ，b 为值何时，A ，B不等价； ()a，b 为何值时，向量组(i)，(ii)等价； a，b 为何值时，向量组(i)，(ii)不等价21 已知 A 是 3 阶方阵，A 的每行元素之和为 3，且齐次线性方程组 Ax=0 有通解
7、k1(1，2 ，一 2)T+k2(2，1，2) T，其中 k1，k 2 是任意常数，=(1，1，1) T ()证明：对任意的一个 3 维向量 ，向量 A 和 线性相关； ()若 =(3，6，一 3)T，求A22 设随机变量 X 和 Y 相互独立，且服从同一分布，PX=i=PY=i)= ，i=1，2 ，3令 U=maxX，Y)，V=minX ， Y)求 ()(U，V) 的概率分布； ()Z=XU 的概率分布； ()Cov(X，U)23 设随机变量 X 的密度函数为 f(x)，已知方差 DX=1，而随机变量 Y 的密度函数为 f(一 y)，且 X 与 Y 的相关系数为一 ，记 Z=X+Y，求 ()
8、EZ，DZ； ()用切比雪夫不等式估计 PZ 2 考研数学（数学三）模拟试卷 404 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 用洛必达法则直接比较 (x)与 (x)时计算量较大，分别与 xk 去比较会简便一些从而知，当 x0 时，(x) 与 (x)是同阶但不等价的无穷小，故应选(B)2 【正确答案】 B【试题解析】 所以f(0)为 f(x)的一个极小值3 【正确答案】 D【试题解析】 举例说明敛散性由具体a n决定4 【正确答案】 B【试题解析】 故应选(B) 5 【正确答案】 B【试题解析】 选项(A) 对任意的 n 维列向量
9、 ，有 A=0分别取 1=(1，0，0)T， 2=(0，1， ，0) T， ， n=(0，0，1) T 代入，即得aij=0(i=1，2， ，n；j=1，2，n)故 A=0选项(C)、(D)对任意的 n 阶矩阵B，有 AB=O 及 BTAB=0只要取 B=E，即可得出 A=0故由排除法，应选(B)6 【正确答案】 D【试题解析】 n 阶矩阵 A 和 B 等价，故 r(A)=r(B) r(A)=r(2A)=r(B)=r(3B)，故一 2A 和 3B 等价，应选(D) 取 A= ，r(A)=r(B)=2，但r(A+E)r(B+E)=2，A+E 和 B+E 不等价，故(A) 不成立 取A= ，r(A
10、)=r(B)=1，但 r(A2)=1r(B2)=0，A 2 和 B2 不等价，故(B)不成立 由排除法，应选(D) 7 【正确答案】 D【试题解析】 利用服从指数分布的充要条件或必要条件来判断若Z1=maxX，Y) ，则 =2FX(z)fX(z)=2(1 一 ez)ez，所以(C)不正确 若 Z2=minX，Y，则 =21 一FX(z)fX(z)=2eze z=2e2z，(D) 正确8 【正确答案】 C【试题解析】 题中并没有正态分布条件，所以排除(A)、(D) 故选(C)二、填空题9 【正确答案】 一 2【试题解析】 将 x=0 代入 x=1yxsin2( t)dt 中，得 y=1再将所给方
11、程两边对 x求导，得 将x=0，y=1 代入，得 y x=0=3，y“ x=0=一 210 【正确答案】 【试题解析】 用分部积分法11 【正确答案】 【试题解析】 此为“ ”型求导中要用到 y(0)，y“(0) 等等，先求出备用由y3+(x+1)y+x2=0，有 3y 2y+(x+1)y+y+2x=0以 y(0)=0 代入，得 0+y(0)=0，有y(0)=0再求导， 6y(y) 2+3y2y“+y+(x+1)y“+y+2=0 以 y(0)=0，y(0)=0 代入，有 0+0+0+y“+0+2=0，y“(0)=一 212 【正确答案】 【试题解析】 将方程改写为 ，将 x 看成函数，此为 x
12、 对 y 的一阶线性方程，代入通解公式，得 13 【正确答案】 B= ，其中 k，l 是任意常数【试题解析】 由题设 BA=O，两边转置，得(BA) T=ATBT=O，故 BT 的列向量，是方程组 ATX=0 的解，对 AT 作初等行变换，14 【正确答案】 0875【试题解析】 设事件 A、B 分别表示员工是基民、股民，依题意 P(A)=09，P(B)=0 8 P(AB)=P(A)+P(B)一 P(AB)P(A)+P(B)一 1=07，因此 P(AB)=0875三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 设切点坐标为 P(x0，y 0)，于是曲线 y=e 在点 P
13、的切线斜率为 它经过点(0，0)，所以一 y0=e，切线方程为 y=ex ()取水平条面积元素，16 【正确答案】 () 费马定理：设 f(x)在 x=x0 处可导，并且 f(x0)为 f(x)的极值，则必有 f(x0)=0 证明：设 f(x)在 x=x0 处可导，故存在 x=x0 的某邻域 U(x0)，使得f(x)在 U(x0)内有定义又设 f(x0)为 f(x)的极值(不妨认为 f(x0)为 f(x)的极大值)，故知又存在 x=x0 的一个邻域故 f-(x0)=f+(x0)，所以 f(x0)=0()证毕( ) 极值的第一充分条件定理：设 f(x)在 x=x0 处连续，且在x=x0 的某去心
14、邻域 (x0)内可导，若在 0 的左侧内 f(x)0(0)，则 f(x)在 x=x0 处取得极大值(极小值)f(x 0)证明：只证括号外情形，括号内情形是类似的设 x (x0)且xx 0，由拉格朗日中值定理， f(x)一 f(x0)=f(1)(xx0)0，x 0x 0，若 x (x0)且 xx 0，则有 f(x)一 f(x0)=f(2)(x 一 x0)0，x 2x 0所以当 x (x0)但 xx0 时，有 f(x)一 f(x0)0，从而知 f(x0)为 f(x)的一个极大值举例说明定理的条件是充分而非必要的例：取 易见，存在 x=0 的去心邻域时，f(x)f(0)，故 x=0 是 f(x)的极
15、小值点但当 x0 时，无论取 (0)多么小，当 x0 时，f(x)的第一项趋于0，而第二项 cos 在一 1 与 1 之间振荡，所以 f(x)并不保持确定的符号，并不满足充分条件，f(0)仍可以是极值17 【正确答案】 复合关系复杂，又夹有隐函数微分法，用微分形式不变性解比较方便由 z=f(x，y)，有 dz=f 1dx+f2dy (*)18 【正确答案】 19 【正确答案】 () 设至第 t 个月，尚欠银行贷款 yt(万元) ，再经一个月，本息共计欠贷(1+r)y t(万元)，还了 A(万元)，尚欠 (1+r)y t 一 A=yt+1， 即 y t+1 一(1+r)y t=一A 此为一阶常系
16、数线性差分方程，解之得通解这就是每月应还贷的数额20 【正确答案】 ()A Br(A)=r(B) 将增广矩阵 (AB)一起作初等行变换， 当 a3 且 b2 时，r(A)=r(B)=3，AB； 当 a=3 且 b=2 时，r(A)=r(B)=2，A B； 当 a=3，b2 或a3，b=2 时，r(A)r(B)，A，B 不等价 ()(i) (ii) 1， 2， 3 和 1， 2， 3可以相互表出 ( 1， 2， 3)X=i，i=1 ，2，3， (1， 2， 3)Y=i，i=1 ，2，3 均有解 r( 1， 2， 3)=r(1， 2， 3， i)，i=1 ，2，3，r( 1， 2， 3)=r(1，
17、 2， 3， i)，i=1，2，3 r( 1， 2， 3)=r(1， 2， 3)=r(1， 2， 3 1， 2， 3) a3 且 b2 时，r( 1， 2， 3)=r(1， 2， 3)=r(1， 2， 3 1， 2， 3)=3，(i)和(ii)等价； a=3 时，( 1， 2， 3)x=1(或 2)无解，(i)，(ii)不等价； b=2 时，( 1， 2， 3)Y=2(或 3)无解，(i)，(ii)不等价21 【正确答案】 当 =(3，6，一 3)T 时，令 =x11+x22+x33，解非齐次线性方程组 即 A 有特征值 1=3，对应的特征向量为 1=(1，1，1) TAx=0 有通解 k1(
18、1，2，一 2)T+k2(2，1，2) T，知 A 有特征值 2=3=0，对应的特征向量为 2=(1，2，一 2)T， 3=(2，1，2) T因 1， 2， 3 线性无关，故任意 3 维向量 均可由 1， 2， 3 线性表出，设 =x11+x22+x33，从而有 A=A(x11+x22+x33)=x1A1=3x1 =3x1，得证 A 和 线性相关()解 当 =(3，6，一 3)T 时，令=x11+x22+x33，解非齐次线性方程组解得 (x 1，x 2，x 3)T=(3，2，一 1)T即 =3 1+22-3， A=A(3 1+22-3)=31=3322 【正确答案】 23 【正确答案】 ()EZ=E(X+Y)=EX+EY= -+xf(x)dx+-+yf(-y)dy -+xf(x)dx+-+(一 u)f(u)(一 du) =-+xf(x)dx-+uf(u)du=0， DZ=D(X+Y)=DX+DY+2Cov(X，Y)=DX+DY+ 又 DY=E(Y2)一(EY) 2， 其中 EY=一 EX，E(Y 2)=-+y2f(-y)dy=-+(一 u)2f(u)(一 du)=-+u2f(u)du=E(X2)， 则DY=E(X2)一(一 EX)2=E(X2)一(EX) 2 一 DX=1，
