1、考研数学（数学三）模拟试卷 407 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f（ x）是（一，+）上连续的偶函数，且|f（x）|M 当 x（一，+）时成立，则 F（ x）= 0xte 一 t2f（t）dt 是（一，+）上的（A）无界偶函数（B）有界偶函数（C）无界奇函数（D）有界奇函数2 设有函数 f1（x）=|lnx|， f1（x）=lnx+ x（x 一 1），f 3（x）=x 2 一3x2+x+1，f 4（x）=|x 一 1+lnx|，则以（1，0）为曲线拐点的函数有（A）1 个（B） 2 个（C） 3 个（D）4 个3 设 m 与 n 是正整数，
2、则 01xm（lnx） ndx=4 设 =x2 一 xy+y2，则 fx（1，1）=（A）1（B） 0（C）一 1（D）5 设 A 是 mn 矩阵，且方程组 Ax=有解，则（A）当 AX=有唯一解时必有 m=n（B）当 AX=有唯一解时必有 r(A)=n（C）当 AX=有无穷多解必有 mn（D）当 AX=有无穷多解必有 r(A)m6 则下列矩阵中与 A 合同但不相似的是7 设随机变量 X 的密度函数关于 x=对称，F（x ）为其分布函数，则有（A）F(+x)=F( 一 x)（B） F(+x)+F(一 x)1（C） 0F(+x)+F( 一 x)1（D）F(+x)+F( 一 x)=18 设随机变量
3、 X 的密度函数为 则下列服从标准正态分布的随机变量是二、填空题9 10 设 f（x）为连续函数，且 f（0）=f （1）=1，F（x）= ，则 F（1）=_11 已知 y1=xex+e2x，y 2=xex+e 一 x，y 3=xex+e2xe 一 x 是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，则此微分方程为_12 设函数 f（x）在（一 1，1）内具有二阶连续导数，且满足 f（0）=1，则13 14 一学徒工用同一台机床连续独立生产 3 个同种机器零件，且第 i 个零件是不合格品的概率 pi= （i=1，2，3）则三个零件中合格品零件的期望值为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1
4、5 求 n 及 a 的值16 设曲线 y=y（x）上任意一点的切线在 y 轴上的截距与法线在 x 轴上的截距之比为 3，求 y（x）17 设幂级数 的系数a n满足 a0=2，na n=an 一 1+n 一 1，n=1，2，3，求此幂级数的和函数 S（x），其中 x（一 1，1）18 计算二重积分 其中 D 是由 x2+y2=1 的上半圆与 x2+y2=2y 的下半圆围成的区域19 设 f（x）在a，b上连续且单调增加，试证：20 已知四元齐次方程组 的解都满足方程式（）x1+x2+x3=0求 a 的值求方程组（）的通解21 已知 A 是 3 阶矩阵， 1， 2， 3 是线性无关的 3 维列向
5、量组，满足 A1=一 13233，A 2=41+42+3，A 3=一 21+33 求 A 的特征值 求 A 的特征向量 求 A*一 6E 的秩22 设离散型二维随机变量（X，Y）的取值为（x i，y j）（i ，j=1，2），且PX=x2= ，PY=y 1|X=x2= ，PX=x 1|Y=y1= ，试求：（）二维随机变量（X，Y）的联合概率分布；（）条件概率 PY=yj|X=x1，j=1，223 设在某一时间段内进入某大型超市的顾客人数 X 服从参数为 的泊松分布，且每一顾客购买 A 类商品的概率为 p假定各顾客是否购买 A 类商品是相互独立的，求进入该超市的顾客购买 A 类商品的人数 Y 的
6、概率分布及 Y 的期望层 EY考研数学（数学三）模拟试卷 407 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 首先讨论 F(x)的奇偶性注意 有可见 F(x)是(一，+)上的偶函数这样就可排除(C) 与(D)其次讨论 F(x)的有界性因 F(x)是(一，+)上的偶函数，所以可限于讨论 x0 时 F(x)的有界性由于由此可知，F(x)也是(一，+)上的有界函数故应选(B)2 【正确答案】 D【试题解析】 首先 fi(1)=0，i=1，2，3，4，说明点(1，0)都在曲线上由|lnx|的图形容易判断(1，0) 是 f1(x)的拐点 令
7、f2“(x)=0， x=1(x=一 1 不在定义域内 )，由于 f2“(x)在 x=1 的左、右异号，故(1，0)是 f2(x)的拐点f 3(x)=3x26x+1，f 3“(x)=6(x 一 1)，f 3“(1)=0，又 f3“(x)在 x=1 左右异号，故(1， 0)是 f3(x)的拐点对 f(x)求导比较麻烦，我们可以由 g(x)=x 一 1+lnx 来讨论故 g(x)= +10(x0)可知 g(x)，有 g“(x)= 0，故 g(x)的图形上凸，当x(0，1)时 g(x)0，当 x(1，+)时 g(x)0，所以 f4(x)=|g(x)|的图形以(1，0)为拐点综上所述，应选(D) 3 【
8、正确答案】 B【试题解析】 用分部积分法计算这里积分下限 0 是瑕点，从而在积分下限处都理解为求极限。 继续进行分部积分可得故应选(B)4 【正确答案】 D【试题解析】 先求出 f(x，y)的表达式，为此令 u=x+y，= 从而解得代入题设中5 【正确答案】 B【试题解析】 方程组有唯一解的充分必要条件是系数矩阵 A 的秩和增广矩阵(A|)的秩相等并且等于未知数的个数 n(也就是 A 的列数) 显然(B)正确(A) 不对，因为唯一解只能推出 mn，不必 m=n(C) 不对，在方程组有解时，mn 是有无穷多解的充分条件，不是必要条件(D)不对，在方程组有解时，有无穷多解的充分必要条件是 r(A)
9、 n6 【正确答案】 D【试题解析】 首先可排除(A)，因为 r(A)=2，而(A)矩阵的秩为 1，所以它与 A 不合同两个实对称矩阵合同的充分必要条件是它们的特征值的正负性一样(即正，负数的个数对应相等)而相似的充分必要条件是它们的特征值相同因此应该从计算特征值下手求出|EA|=(+3)( 一 3)，A 的特征值为 0，一 3，3显然(C)中矩阵的特征值也是 0，一 3，3，因此它和 A 相似，可排除剩下(B)(D)两个矩阵中，只要看一个(D)中矩阵的特征值容易求出，为 0，一 1，1，因此它和 A合同而不相似(也可计算出(B)中矩阵的特征值为 0，1，4，因此它和 A 不合同)7 【正确答
10、案】 D【试题解析】 利用分布函数与密度函数的关系及密度函数的对称性，作积分变量替换可导出所需要的结论F(+x)= 一 +xf(t)dt 一 xf(+u)duF( 一 x)=一 一 xf(t)dt +xf( 一 u)du=0xf( 一 u)du 又 f( 一 u)=f(+u)，u (一，+)所以 F(+z)+F( 一 x)=一 xf(+u)du+x+f(u)du=一 +f(+)du=一+f(x)dx=1故选(D)8 【正确答案】 D【试题解析】 由于 可知 XN( 一 3，2)，而(A)，(B)，(C) 三个选项都不符合，只有(D)符合，可以验证二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 10
11、【正确答案】 2【试题解析】 设 f(x)连续，(x)，(x)可导，则有一般的变限定积分的求导公式f(x)(x)一 f(x)(x)于是 F(x)=f(lnx)F(1)=211 【正确答案】 y“一 y一 2y=(12x)ex【试题解析】 y 1y2=e2x 一 e 一 x，y 2 一 y3=e 一 x 都是相应齐次方程的解 而(y 1 一y2)+(y1y3)=e2x 也是齐次方程的解， e2x 与 e 一 x 是两个线性无关的解，而 y2=xex+e一 x 是非齐次方程的解，从而 y2 一 e 一 x=xex 也是非齐次方程的解，由 e 一 xe2x 是齐次方程的解，可知特征根 r1=一 1，
12、r 2=2，特征方程为(r+1)(r 一 2)=0，即 r2 一 r 一2=0设所求非齐次方程为 y“一 y一 2，=f(x)将非齐次解 xex 代入，得 f(x)=(xe x)“一(xe x)一 2xex=(12x)ex 故所求方程为 y“一 y一 2y=(12x)ex12 【正确答案】 【试题解析】 所求极限是“一” 型未定式，可通分化为 型未定式求极限。13 【正确答案】 【试题解析】 A 是矩阵方程 A4X=A5 的解求出 A4=(A2)2= 用初等变换法解此矩阵方程：14 【正确答案】 【试题解析】 以 Ai 表示第 i 个零件合格，i=1，2， 3，A i 相互独立，于是有以 X
13、表示 3 个零件中合格品的个数，则PX=3=P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)= PX=2=1 一 PX=0一 PX=1一 PX=3=EX=三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 分子的极限不为零，当 n=2 时，分母的极限不为零，所以当 n=2 时，a=-2e 2。16 【正确答案】 1)先求截距并列方程曲线 y=y(x)在 点(x，y(x) 处的切线方程是 Yy(x)=yx)(X 一 x)令 X=0，得 Y 轴上截距 Y=y(x)一 xy(x)相应的法线方程是令 Y=0，得 x 轴上截距 X=x+y(x)y(x)按题意2)求解方程 这是齐次方程
14、，令得 分离变量得 积分得将 代入并化简得17 【正确答案】 求解本题的关键是确定幂级数 的系数an(n=0，1，2，)为此在系数的递推公式 nan=an 一 1+n 一 1 中依次令 n=1，2，3即得 a1=a0=2， 由此可猜想 对 n=2，3，4，都成立用数学归纳法只需证明若 成立，则 an+1= 也成立即可事实上，由 (n+1)an+1=an+n 可得即系数a n的递推公式对任何 n2成立从而幂级数18 【正确答案】 因区域 D 关于 y 轴对称， 为偶函数对 D1，D 2 引入极坐标19 【正确答案】 引进辅助函数，把证明常数不等式转化为证明函数不等式(可用单调性方法)20 【正确
15、答案】 条件即 () 和()的联立方程组和()同解，也就是矩阵对 B 用初等行变换化阶梯形矩阵，并注意过程中不能用第 4 行改变上面 3 行，以保证化得阶梯形矩阵的上面 3 行是由A 变来的显然 a=0 时 r(A)=1，r(B)=2，因此 a0因为 a0，所以 r(A)=3要使得 r(B)=3， a=12 得()的通解：c(一 1，一 1，2，2) T，c 任意21 【正确答案】 记 P=(1， 2， 3)，因为 1， 2， 3 是线性无关，所以 P 是可逆矩阵AP=(A 1，A 2， A3)=(一 1 一 3233，4 1+42+3，一 21+33)得 A 的特征值为 1，2，3思路：先求
16、 B 的特征向量，用 P 乘之得到 A 的特征向量( 如果 B=，则 P 一 1AP=，即 A(P)=(P)对于特征值 1：B 的属于特征值 1 的特征向量(即(B 一 E)x=0 的非零解)为 c(1，1，1) T，c0则 A 的属于特征值 1 的特征向量为c(1+2+3)T， c0对于特征值 2： B 的属于特征值 2 的特征向量(即(B 一 2E)x=0 的非零解)为 c(2，3，3) T，c0 则 A 的属于特征值 2 的特征向量为 c(21+32+33)T，c0对于特征值 3：B 的属于特征值 3 的特征向量(即(B 一 3E)x=0 的非零解)为 c(1，3，4) T，c0则 A
17、的属于特征值 3 的特征向量为c(1+32+43)T，c0由 A 的特征值为 1，2，3，|A|=6 于是 A*的特征值为6，3，2，A *一 6E 的特征值为 0，一 3，一 422 【正确答案】 依题意，随机变量 X 与 Y 的可能取值分别为 x1，x 2 与 y1，y 2，且PX=x1=1 一 PX=x2= 又题设 PX=x1|Y=y1= 于是有Px=x1|Y=y1=Px=x1，即事件X=x 1与事件Y=y 1相互独立，因而X=x 1的对立事件X=x 2与Y=y 1独立，且X=x 1与Y=y 1的对立事件Y=y 2独立；X=x 2与Y=y2独立，即 X 与 Y 相互独立() 因 X 与
18、Y 独立，所以有 PY=y1=P|Y=y1|X=x2= PY=y2=1 一 PY=y1= PX=x1，Y=y 1=PX=x1PY=y1=PX=x1，Y=y 2=PX=x1PY=y2= PX=x2，Y=y 1=PX=x2PY=y1= PX=x2，Y=y 2=PX=x2PY=y2=或 PX=x2，Y=y 2= 于是(X，Y) 的联合概率分布为 ()因 X 与 Y 独立，所以PY=yj|X=x1=Py=yj，j=1，2，于是有 PY=y1|X=x1=Py=y1= PY=y2|X=x1=PY=y2=23 【正确答案】 由题设知，PX=m= ，m=0，1，2，；A0购买 A 类商品的人数 Y，在进入超市的人数 X=m 的条件下服从二项分布 B(m，p)，即PY=k|X=m=cmkpkqm 一 k，k=0 ，1，2，m；q=1 一 P由全概率公式有又因为当 mk 时，PY=k|X=m=0，所以 由此可知，Y 服从参数为 p的泊松分布，故 EY=p
