1、考研数学（数学三）模拟试卷 408 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f（ x）=minsinx，cosgf，则 f（x）在区间0，2内（A）没有不可导的点（B）只有 1 个不可导的点（C）共有 2 个不可导的点（D）共有 3 个不可导的点2 设 y=y（x）是由方程 y2+xy+x2+x=0 所确定的满足 y（一 1）=1 的隐函数，则（A）1（B） 2（C）一 2（D）一 13 设 0，f （x）在（一 ， ）有连续的三阶导数，f（0）=f“ （0）=0 且则下列结论正确的是（A）f(0)是 f(x)的极大值（B） f(0)是 f(x)的极小
2、值（C） (0，f(0)是 y=f(x)的拐点（D）x=0 不是 f(x)的极值点，(0，f(0)也不是 y=f(x)的拐点4 级数 的收敛域为（A）(0 ，4)（B） 0，4) （C） (0，2) （D）0 ，2)5 设 A，B，C 都是 n 阶矩阵，满足 ABAC=E，则下列等式中不正确的是（A）A TBTATCT=E（B） BAC=CAB（C） BA2C=E（D）ACAB=CABA6 设 1， 2， 3， 4 都是 3 维非零向量，则下列命题中错误的是（A）如果 4 不能用 1， 2， 3 线性表示，则 1， 2， 3 线性相关（B）如果 1， 2， 3 线性相关， 2， 3， 4 线性
3、相关，则 1， 2， 4 线性相关（C）如果 3 不能用 1， 2 线性表示， 4 不能用 2， 3 线性表示，则 1 能用2， 3， 4 线性表示（D）如果 r(1， 1+2， 2+3)=r(4， 1+4， 2+4， 3+4)，则 4 能用 1， 2， 3线性表示7 设总体 X 服从参数 =2 的指数分布，X 1，X 2， ，X n 是来自总体 X 的简单随机样本， 和 S2 分别为样本均值和样本方差，已知 E（3 一 a）S 2 =A，则 a 的值为（A）一 1（B） 1（C）（D）28 设 X1，X 2，X 6 独立同分布且 X1N（0， 4），Y=a（X 1+2X2）2+b（2X 3+
4、3X4）2+c（3X 5+4X6）22（3）则 a，b，c 的值分别为二、填空题9 设函数 在 x=1 处连续，则 A=_10 曲线 的凸区间是_11 设 a 是一个常数，则 I=一 +12 设某产品的需求函数 Q=q（p），它对价格的弹性为 （01）已知产品收益 R 对价格的边际效应为 c（元），则产品的产量应是 _个单位13 已知 则 A 一 1=_14 掷一枚不均匀的硬币，设正面出现的概率为 P，反面出现的概率为 q=1 一 p，随机变量 X 为一直掷到正面和反面都出现为止所需要的次数，则 X 的概率分布为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 若曲线 y=cosx（0
5、x ）与 x 轴、y 轴及直线 x= 所围图形的面积被曲线y=asinx,y=bsinx（a b0）三等分，求 a 与 b 的值16 设函数 f（x）在 x=1 的某邻域内连续，且有（）求 f（1）及 （）求 f（1），若又设 f“（1 ）存在，求 f“（1）17 求二元函数 F（x，y） =xye 一（x2）+y2 在区域 D=x，y）|x0，y0上的最大值与最小值18 求级数 的收敛域19 设 f（x）在0 ，1上连续，在（0，1）内可导，且 f（0）=0，f （1）=1，试证：对任意正数 a，b，在（0 ，1）内存在不同的两点 ，使20 设 4 阶矩阵 A=（ 1， 2， 3， 4），方
6、程组 Ax= 的通解为（1，2，2，1）T+c（1 ，一 2，4，0） T，c 任意记 =（ 3， 2， 1， 一 4）求方程组 Bx=1一 2 的通解21 设 A 为 n 阶实对称矩阵，满足 A2=E，并且 r（A+E）=kn 求二次型 xTAx的规范形 证明 B=E+A+A2+A3+A4 是正定矩阵，并求|B|22 设 X，Y 相互独立且同服从0，（0）上的均匀分布，求 Emin（x，Y ），Emax（X，Y）23 设随机变量（X，Y）的联合概率密度为（）求随机变量 Y 关于 X=x的条件密度；（）讨论随机变量 X 与 Y 的相关性和独立性考研数学（数学三）模拟试卷 408 答案与解析一、
7、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 在0，2上，画出 y=sinx 与 y=cosx 的图形，立即可得 y=f(x)的图形由图形直接看出，两个交点为 y=f(x)图形的尖点，因而是不可导点，其他均为可导点应选(C) 2 【正确答案】 D【试题解析】 由 y(x)所满足的隐函数方程知函数 y=y(x)在 x=一 1 的邻域内任意次可导，将隐函数方程求导一次与两次可得 y(x)的一、二阶导函数 y(x)与 y“(x)分别满足 2yy+xy+y+2x+1=0，2yy“+xy“+2(y)z+2y+2=0，在以上二式中分别令 x=一1 并利用 y(
8、一 1)=1 可知 y(一 1)=0，y“( 一 1)=一 2再利用洛必达法则即可得到故应选(D)3 【正确答案】 C【试题解析】 当 0|x| 0 时， 即 f“(x)0 (0，f(0)是y=f(x)的拐点故应选 (C)4 【正确答案】 A【试题解析】 因题设的幂级数是缺项幂级数，故可直接用比值判别法讨论其收敛性首先当 x 一 2=0 即 x=2 时级数收敛当 x2时，由此可知当 0|x 一2|2 0x 2 或 2x4 时级数绝对收敛又当 x=0 和 x=4 时得正项级数是发散的综合可得级数的收敛域是(0，4)，故选(A)5 【正确答案】 C【试题解析】 显然 A，B，C 都可逆，因此 BA
9、2C=E=ABAC BA=AB如果A，B 乘积不可交换(C)就不成立由 ABAC=E 可推出 CABA=E，两边转置得(A)A2BTATCT=E由 ABAC=E 可推出 A 一 1=BAC 和 A 一 1=CAB，得(B)BAC=CAB由 ABAC=E 可推出 ACAB=E，CABA=E，得(D)ACAB=CABA6 【正确答案】 B【试题解析】 只要 2， 3 线性相关，就有 1， 2， 3 和 2， 3,4 都线性相关，但推不出 1， 2， 4 线性相关例如 1=(1，0，0)， 2=3=(0，1，0)，4=(0，0，1)说明(A)，(C)的正确都可根据同一事实：如果 3 个 3 维向量线
10、性无关，则任何 3 维向量都可以用它们线性表示。(A)是其逆否命题(C) ： 2 是非零向量， 3 不能用 2 线性表示(因为 3 不能用 1， 2 线性表示 )，则 2， 3 线性无关而 4 不能用 2， 3 线性表示， 2， 3， 4 线性无关.(D)：r( 2， 2， 3)=r(1， 1+2， 2+3)=r(4， 1+4， 2+4， 3+4)=r(4， 1， 2， 3)，因此 4 能用 1， 2， 3 线性表示。7 【正确答案】 A【试题解析】 故选(A)8 【正确答案】 D【试题解析】 由于独立正态随机变量的和仍服从正态分布，故有根据 2 分布的典型模式 所以应有故选(D)二、填空题9
11、 【正确答案】 【试题解析】 利用洛必达法则求极限 因为10 【正确答案】 (一，一 3)【试题解析】 本题主要考查曲线凹凸性的概念以及利用二阶导数的符号判定曲线的凹凸性不难求得 于是当 x(一，一 3)时) ， y“0，当 x(一 3，+)时 y“0由此可见曲线的凸区间是(一 ，一 3)11 【正确答案】 【试题解析】 12 【正确答案】 【试题解析】 需求对价格的弹性是 其中 Q 为需求量即产量， p 为价格依题意，有 ，即 pQ=一 Q收益函数 R=pQ，它对价格的边际即 由题意有13 【正确答案】 【试题解析】 14 【正确答案】 PX=k=pg(p k 一 2+qk 一 2)k=2，
12、3，【试题解析】 易知 X 的取值为 2，3，而X=k表示前 k 一 1 次出现的是正面而第 k 次出现的是反面，或前 k 一 1 次出现的是反面，而第 k 次出现的是反面，于是有 PX=k=p k 一 1q+qk 一 1p=pg(pk 一 2+qk 一 2)， k=2，3，三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 面积图形如右图 先求 y=asinx 与y=cosx 的曲线在区间 的交点横坐标，设交点横坐标为 c 由 asinx=cosx，得c=x= 而曲线 y=cosx 与两坐标轴及 所围图形面积 =1，所以 =0c(cosx 一 asinx)dx=(sinx+
13、acosx)|0c=sinc+acosc 一 a 由 利用辅助三角形可得 同理，y=bsinx 与 y=cosx 交点的横坐标16 【正确答案】 又在x=0 的某空心邻域内 f(x+1)+3sin2x0，现利用等价无穷小因子替换：当 x0 时，17 【正确答案】 区域 D 在平面直角坐标系 0xy 上的第一象限，区域 D 有两条边界1=(x，0)|x0与 2(0，y)|y0，它们分别是平面直角坐标系 0xy 的 x 轴与 y 轴的正半轴在这两条边界上 F(x，y)=0 又因由于当 x2+y2+时|F(x， y)|=0，于是在区域 D 内，由于仅有唯一解(x，y)=这表明 F(x，y)在区域 D
14、 内仅有唯一驻点 在此点处注意 比 F(x，y)在 D 的两条边界上的函数值以及当(x，y)在区域内趋向无限远处函数 F(x，y)的极限值都要大，可见 是 F(x，y)在 D 上的最大值又因在 D 上 F(x，y)非负，所以其最小值在 x 轴与 y 轴的正半轴上取到，即 F(x，y)在 D 上的最小值为 018 【正确答案】 令 问题转化为求幂级数 的收敛域先求收敛区间，再考察收敛区间的端点求解如下：19 【正确答案】 按要证的结论，我们需要找一点 c(0，1)，分别在0 ，c 与c，1上用拉格朗日中值定理 问题转化为如何取c，只需取 c 使得 也即只需取 c 使得因为 a0，b0，定有 又
15、f(x)在0，1上连续，f(0)=0，f(1)=1，由介值定理可知， 取这样的 c，命题即得证20 【正确答案】 首先从 AX= 的通解为(1，2，2，1) T+c(1，一 2，4，0) T 可得到下列信息： Ax=0 的基础解系包含 1 个解，即 4 一 r(A)=l，得 r(A)=3即r(1， 2， 3， 4)=3 (1，2，2，1) T 是 Ax= 解，即 1+21+23+4= (1，一 2，4，0) T 是 Ax=0 解，即 122+43=0 1， 2， 3 线性相关，r( 1， 2， 3)=2显然 B(0，一 1，1，0) T=1 一 2，即(0，一 1，l ，0) T 是 Bx=1
16、 一 2 的一个解 由， B=(3， 2， 1， 一 4)=(3， 2， 1， 1+22+23)，于是 r(B)=r(3， 2， 1， 1+22+23)=r(1， 2， 3)=2 则 Bx=0 的基础解系包含解的个数为 4 一 r(B)=2 个 1 一 22+43=0 说明(4，一 2，1，0) T 是 Bx=0 的解；又从B=(3， 2， 1， 1+22+23) 容易得到 B(一 2，一 2，一 1，1) T=0，说明(一 2，一2，一 l，1) T 也是 Bx=0 的解 于是(4 ，一 2，1，0) T 和(一 2，一 2，一 l，1) T 构成Bx=0 的基础解系 Bx=1 一 2 的通
17、解为： (0，一 1，1，0) T+c1(4，一 2，1，0)T+c2(一 2，一 2，一 1，1) T，c 1，c 2 任意21 【正确答案】 由于 A2=E，A 的特征值 应满足 2=1，即只能是 1 和一1于是 A+E 的特征值只能是 2 和 0A+E 也为实对称矩阵，它相似于对角矩阵， 的秩等于 r(A+E)=k于是 A+E 的特征值是 2(k 重)和 0(n 一 k 重)，从而 A 的特征值是 1(k 重) 和一 l(n 一 k 重) A 的正，负关系惯性指数分别为 k 和 n 一k，x TAx 的规范形为 y12+y22+yk2 一 yk+12 一一 yn2 B 是实对称矩阵由A2=E，有 B=3E+2A，B 的特征值为 5(k 重)和 1(n 一 k 重)都是正数因此 B 是正定矩阵22 【正确答案】 由于 X，Y 相互独立，且都服从0，上的均匀分布，故可得(X， Y)的联合密度23 【正确答案】 () 先求 X 的边缘密度对任意 x0，有对于任意 x0，有一xy+，因此于是，X的边缘密度 一x+ 故对于任意 x，随机变量 Y 关于 X=x 的条件密度为 ()为判断独立性，需再求 Y 的边缘密度由于 fX(x).fY(y)f(x，y)，故 X，Y 不独立所以cov(X，Y)=EXYBX.EY=0从而可知 X 与 Y 既不独立，也不相关
