1、考研数学（数学三）模拟试卷 409 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 f（x）在（一，+）内连续，其导函数 y=f（x）的曲线如图所示，则f（x）有（A）两个极小值点，一个极大值点，三个拐点（B）一个极小值点，一个极大值点，两个拐点（C）一个极小值点，一个极大值点，三个拐点（D）一个极小值点，两个极大值点，三个拐点2 反常积分 一 +sinxe|x|dx（A）收敛，且取值为零（B）收敛，且取正值（C）发散（D）收敛，且取负值3 设 ax 1x 2x 3b，y=f（x）在（a，b）内二阶可导且 f“（x）0（x（a，b），又则下列不等式成立的是
2、（A）k 1k 2k 3（B） k1k 3k 2（C） k2k 1k 3（D）k 3k 1k 24 若 f（一 1，0）为函数 f（x，y）=e 一 x（ax+by 2）的极大值，则常数 a，b 应满足的条件是（A）a0 ，b=a+1 （B） a0，b=2a（C） a0，b=a+1（D）a0， b=2a5 下列矩阵中正定的是6 n 维向量组（） 1， 2， s 和（） 1， 2， t 等价的充分必要条件是（A）r()=r()，并且 s=t（B） r()=r()=n（C） ()的极大无关组和()的极大无关组等价（D）() 和 ()都线性无关，并且 s=t7 在区间（一 1，1）上任意投一质点，以
3、 X 表示该质点的坐标设该质点落在（一 1，1）中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比，则（A）X 与|X|相关，且相关系数 |=1（B） X 与|X|相关，但| 1（C） X 与|X|不相关，且也不独立（D）X 与|X|相互独立8 设随机变量 X 的概率分布为 PX=k=aCnkpkqn 一 k（k=1，2，n，q=1 一 p），则 EX=_（A）np（B） npq（C）（D）二、填空题9 设函数 f（x）= 则 f（10） （1）=_ 10 设曲线 Y= 与直线 y=mx（m0）所围图形绕 x 轴旋转一周与绕 y 轴旋转一周所得旋转体体积相等，则 m=_11 一阶常系数差分方程 yt
4、+1 一 4yt=16（t+1 ）4 t 满足初值 y0=3 的特解是yt=_12 设方程 +（a+sin 2x）y=0 的全部解均以， 为周期，则常数 a=_13 已知 A 是 3 阶矩阵，A 的特征值为 1，2，3则（A *） *的最大特征值为_14 设 X1，X 2，X n+1 是取自正态总体 N（， 2）的简单随机样本，则 y=Xn+1一 服从_分布三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 从抛物线 y=x21 的任意一点 P（t，t 21）引抛物线 y=x2 的两条切线。 （）求这两条切线的切线方程； （）证明该两条切线与抛物线 y=x2 所围面积为常数16 求通过点（
5、1，1）的曲线方程 y=f（x）（f （x）0），使此曲线在1，x上所形成的曲边梯形面积的值等于曲线终点的横坐标 x 与纵坐标 y 之比的 2 倍减去 2，其中 x117 设 其中 f（s，t）有连续的二阶偏导数（）求 du（）求18 设积分区域 D=（x，y）|x 2+y2x+y，计算二重积分 （x 2+xy+y2）d 19 求证 f（x）=x （1 一 x）cosx 一（12x）sinx0 当 x 时成立20 1=（1，0，0，1） T， 2=（1，1，0，0） T， 3=（0，2，一 1，一 3）T， 4=（0，0，3，a ） T，=（1，b，3，2） T， a 取什么值时 1， 2，
6、3， 4 线性相关?此时求 1， 2， 3， 4 的一个极大线性无关组，并且把其余向量用该极大线性无关组线性表出 在 1， 2， 3， 4 线性相关的情况下，b 取什么值时 可用 1， 2， 3， 4 线性表示 ?写出一个表示式21 设 求作可逆矩阵 P，使得（AP） TAP 是对角矩阵 k 取什么值时 A+kE 正定?22 设二维连续型随机变量（X，Y）服从区域 D 上的均匀分布，其中D=（x，y）|0yx2 一 y试求：（）X+Y 的概率密度；（）X 的边缘概率密度；（）PY0 2|X=1 523 独立重复某项试验，直到成功为止每次试验成功的概率为 p，假设前 5 次试验每次试验费用为 1
7、00 元，从第 6 次起，每次试验费用为 80 元，试求该项试验总费用的期望值 W考研数学（数学三）模拟试卷 409 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 由图可知，f(x)有两个零点：x 10 ，x 20，且在 x1 两侧 f(x)由正变为负，即 f(x)先增后减，于是 x1 为极大值点；类似分析可知 x2 为极小值点x=0为 f(x)不存在的点(第二类间断点)，在 x=0 两侧均有 f(x)0，因此 x=0 不是极值点但在 x=0 两侧 f(x)由减函数变为增函数，由此可断定(0，f(0)为曲线 y=f(x)的拐点 另外，
8、除 x=0 点外，考察 f(x)的增减性，还有两个点 x3，x 4，使 f(x)在它们的两侧改变增减性，因此这两个点也是曲线y=f(x)的拐点综合上述分析，应选(C) 2 【正确答案】 C【试题解析】 一 +f(x)dx 收敛的定义是： 0+f(x)dx 与 一 0f(x)dx 均收敛，且 一+f(x)dx=一 0f(x)dx+0+f(x)dx 用分部积分法计算可得：当 b0 时，有0bexsinxdx= 于是原积分发散故应选(C)3 【正确答案】 B【试题解析】 为比较 k1， k3 的大小关系，考察函数(k1=F(x2)，k 3=F(x3)，由为比较 k2，k 3 的大小关系，考察函数(k
9、2=G(x2)，k 3=G(x1)，同理由综上分析可知，k 1k 3 k2因此选(B)4 【正确答案】 B【试题解析】 应用二元函数取极值的必要条件得所以 b=2a由于A=fxx“(一 1，0)=e 一 x(ax+b 一 y22a)|(一 1，0) =e(一 3a+6)，B=f xy“(一 1，0)=2ye 一x|(一 1，0) =0，C=f yy“(一 1，0)=一 2ex|(一 1，0) =一 2e， =ACB2=2e2(3ab)，再由二元函数极值的必要条件0 得 3a 一 b0于是常数 a，b 应满足的条件为a0，b=2a故应选(B)5 【正确答案】 B【试题解析】 用排除法(A)的第二
10、个顺序主子式 (A)矩阵不正定(C)的对角线元素中有一 1，也不正定(D) 的行列式 =一 1，不正定(要说明(B)矩阵正定可计算其 3 个顺序主子式依次为 1，1，2，都大于 0)6 【正确答案】 C【试题解析】 极大无关组与原组是等价的由等价的传递性立即可得到()与()等价的充分必要条件是它们各自的极大无关组等价(A)缺少条件 r(，)=r()(B)是() 与()等价的一个充分条件，但是等价并不要求向量组的秩达到维数(D)()和() 都无关不能得到它们互相可以线性表示，例如()：1=(1，0，0，0)， 2=(0，1，0，0)，()： 1=(0，0，1，0)，设2=(0，0，0，1)()
11、和()都无关，并且 s=t=2，但是()和()不等价7 【正确答案】 C【试题解析】 依题设，X 在一 1，1上服从均匀分布，其概率密度为由于故 cov(X，|X|)=0，从而=0，X 与|X|不相关于是可排除(A)与(B)对于任意实数 a(0a1)，有P|X| a=a又 PXa，|X|a=P|X|a=a，从而 PXaP|X| aPXa，|X|a，即 所以 X 与|X| 不独立，故应选(C)8 【正确答案】 C【试题解析】 首先我们注意到该分布不考虑 a 时，与二项分布仅差 k=0 的一项，先利用概率分布的和等于 1 求出常数 a，再用二项分布的期望求 EX由二、填空题9 【正确答案】 一 1
12、0!210【试题解析】 10 【正确答案】 【试题解析】 图形如右图所示 曲线与直线的两个交点分别为(0，0) ，11 【正确答案】 (2t 2+2t+3)4t【试题解析】 应设特解为 yt=(At2+Bt+c)4t，其中 A，B，C 为待定常数令 t=0 可得 y0=C，利用初值 y0=3 即可确定常数 C=3于是待求特解为 yt=(At2+Bt+3)4t把yt+1=A(t+1)2+B(t+1)+34t+1=4At2+(2A+B)t+A+B+34t 与 yt 代入方程可得 yt+14yt=4(2At+A+B)4t，由此可见待定常数 A 与 B 应满足恒等式 4(2At+A+B)=16(t+1
13、)A=B=2故特解为 yt=(2t2+2t+3)4t12 【正确答案】 【试题解析】 一阶线性齐次方程 +(a+sin2x)y=0 的全部解为它们均以 为周期 (a+sin2t)dt 以 为周期由于它以， 为周期13 【正确答案】 18【试题解析】 |A|=123=6 ，= 于是 A*的特征值为 6，3，2，|A *|=36则(A *)*的特征值为 6，12，18，最大的是 1814 【正确答案】 【试题解析】 由于Xi(i=1，2，n+1)均来自同一总体，且相互独立EX i=，DX i=2，Y 是 Xi 的线性组合，故仍服从正态分布三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正
14、确答案】 () 抛物线 y=x2 在点(x 0，x 02)处的切线方程为 y=x02+2x0(x 一 x0)，即 y=2x0x 一 x02若它通过点 P，则 t21=2x0t 一 x02，即 x022x0t+t21=0，解得x0 的两个解 x1=t 一 1，x 2=t+1 从而求得从抛物线 y=x21 的任意一点P(t，t 21)引抛物线 y=x2 的两条切线的方程是 L1：y=2x 1x 一 x12；L 2：y=2x 2x 一x22 ()这两条切线与抛物线 y=x2 所围图形的面积为 S(t)=x1tx2 一(2x 1x 一 x12)dx+tx2x2 一(2 22x 一 x22)dx，下证
15、S(t)为常数求出 S(t)16 【正确答案】 由题意得 对方程两边求导得 即y（y 2-2）dx+2xdy=0.上式分离变量得 两边积分，得由 y|x=1=1 得 C=1，故所求曲线方程为y2=x2|y22|考虑到函数在 x=1 处有定义，且 f(x)0，曲线方程为17 【正确答案】 复合而成的三元函数先求 du(从而也就求得 )，或先求 也可求得 du，然后由()由一阶全微分形式不变性及全微分四则运算法则，得 ()由 du 中dy，dx 的系数分别得18 【正确答案】 由于 x2+y2x+y 可改写为 则可把区域D 表示为 因为D1 关于 u=0 或 =0 都对称，而 分别是关于 u 或关
16、于 的奇函数，故在 D1 中作极坐标变换，即令 u=rcos，=rsin，就有综合即知19 【正确答案】 注意 f(x)在 上连续，且 先求 f(x)=一 2x(1一 x)sinx+(12x)cosx 一 (12x)cosx+2sinx=2 一 2x(1 一 x)其中 g(x)=2 一 2x(1 一 x)显然，f(x)的正负号取决于 g(x)的正负号，用单调性方法判断 g(x)的符号由于 g(x)=一 2(12x)0 故 g(x)在 单调下降，又因 g(0)=2， 从而存在唯一的 x0 使 g(x0)=0又由 从而f(x)f(0)=0(0xx 0)，f(x) 故 f(x)0 20 【正确答案】
17、 两个小题都关系到秩， 1， 2， 3， 4 线性相关(1， 2， 3， 4)4； 可用 1， 2， 3， 4 线性表示r( 1， 2， 3， 4，)=r(1， 2， 3， 4)因此应该从计算这两个秩着手以 1， 2， 3， 4， 为列向量构造矩阵( 1， 2， 3， 4，)，然后用初等行变换把它化为阶梯形矩阵：r(1， 2， 3， 4)4 a=3 1， 2， 3， 4 是 1， 2， 3， 4 的一个极大线性无关组，并且 4=一61+6233 r(1， 2， 3， 4，)=r( 1， 2， 3， 4)=3，则 b=2= 一71+823321 【正确答案】 (AP) TAP=PTATAP=PT
18、A2P，于是如果用可逆线性变量替换把二次型 xTA2x 化为标准二次型，则变换矩阵 P 就是所求用配方法xTA2x=x12+x22+5x32+20x42+20x3x4=x12+x22+5(x3+2x4)2，则令则 xTA2x=y12+y22+5y32，所做变换为 变换矩阵(AP)TAP=PTA2P= 求出|EA|=( 21)(25)，A 的特征值为一 1， 0，1，5，则 A+kE 的特征值为 k 一 1，k，k+1，k+5，于是当 k1 时 A+kE 正定22 【正确答案】 () 如图，区域 D 即 AOB 的面积 SD=1，因此(X，Y) 的概率密度为 X+Y 的分布函数记为 F(z)，则当 z0 时，F(z)=0；当 z2 时，F(z)=1；当 0z2 时，F(z)=PX+Yz= 于是 X+Y 的概率密度 f(x)为 或者直接用随机变量和的卷积公式求X+Y 的概率密度由于 f(x，z 一 x)只有在 0z 一 xx2 一(z x)时才不为 0，即只有当 0 xz2 时，23 【正确答案】 以 X 表示试验的次数，由题设知 X 服从几何分布，其分布为PX=n=pqn 一 1，n=1 ，2，q=1 一 p由题设知，试验总费用为Y 是随机变量 X 的函数，由随机变量函数的期望公式可得
