1、考研数学（数学三）模拟试卷 410 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 把当 x0 时的无穷小量 =ln（1+x 2）一 ln（1 一 x4），= 0x2tantdt，=arctanx一 x 排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是（A），（B） ， ， （C） ， （D）， 2 （A）I 21I 1（B） I2I 11（C） 1I 2I 1（D）1I 1I 23 设 f（ x）在0 ，1上连续，又 F（x）= f|sint|）dt，则（A）F(x+) F(x)(x(一 ，+)（B） F(x+)F(x)(x (一，+)（C） F(
2、x+)=F(x)(x(一 ，+) （D）x0 时 F(x+)F(x)，x0 时 F(x+)F(x)4 设 D 是以点 A（1，1），B（一 1，1），C（一 1，一 1）为顶点的三角形区域，则（A）2（B） 5（C） 8（D）65 设 1， 2， 3， 4 是齐次方程组 Ax=0 的基础解系，则下列向量组中也是 Ax=0的基础解系的是（A） 1+2， 2 一 3， 3 一 4， 4 一 1（B） 1+2， 2 一 3， 3 一 4， 4+1（C） 1+2， 2+3， 3 一 4， 4 一 1（D）与 1， 2， 3， 4 等价的向量组6 下列矩阵中不相似于对角矩阵的是7 在考核中，若学员中靶两
3、次，则认定合格而停止射击，但限定每人最多只能射击三次设事件 A=“考核合格 ”，B=“ 最多中靶一次”，C=“射击三次”，已知学员中靶率为 p（0P 1），则（A）AB 与 C 独立（B） BC 与 A 独立（C） AC 与 B 独立（D）A，B，C 相互独立8 设 X1，X 2，X n+1 是取自正态总体 N（0， 2）的简单随机样本，记1kn，则（A）（B）（C） k2（D） 2二、填空题9 10 一 22（3x+1）max2，x 2dx=_11 设函数 f（x）可导，且 f（0）=0 ，f（x）=1，f（x）= 0xtn 一 1f（x n 一 tn）dt，则12 积分13 已知 矩阵 A
4、 相似于 BA *为 A 的伴随矩阵，则|A*+3E|=_14 设随机变量 X 的密度函数为 则 Y=一 2x+3服从的分布是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 已知 f（x），g（x）连续，且满足 f（x）=3x 2+02g（x）dx，g（x）=一x3+3x202f（x ）dx，求 F（x）=f （x）+g（x）的极大值与极小值16 过原点作曲线 y= 的切线 L，该切线与曲线 y= 及 Y 轴围成平面图形D（）求切线 L 的方程（）求 D 绕 y 轴旋转一周所得旋转体体积 V17 计算二重积分 I= （x+y）d ，其中 D 为 x2+y2=1，x 2+y2=2x 所
5、围中间一块区域18 设 f（x）连续，且满足 f（x）= （x 一 ） 2 一 0x 一 tf（x 一 t）dt，求 f（x）19 设函数 Fn（x）= 0xf（t）dt 一 x0，+），其中 n=1，2，3，为任意自然数，f（x）为0 ，+）上正值连续函数求证：（）F n（x）在（0，+）存在唯一零点 xn；20 设 1=（1，3，5，一 1） T， 2=（2，7，a，4） T， 3=（5，17，一 1，7） T 若 1， 2， 3 线性相关，求 当 a=3 时，求与 1， 2， 3 都正交的非零向量 4 设 a=3， 4 是与 1， 2， 3 都正交的非零向量，证明 1， 2， 3， 4
6、可表示任何一个 4 维向量21 已知三元二次型 xTz 的平方项系数都为 0，=（1，2，一 1） T 满足 A=2 求 xTAx 的表达式 求作正交变换 x=Qy，把 xTAx 化为标准二次型22 设甲袋中有 2 个白球，乙袋中有 2 个红球，每次从各袋中任取一球，交换后放入另一袋，这样交换 3 次，求甲袋中白球数 X 的数学期望23 设 X1，X 2，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，X 的概率密度为 f（x）=，一x+， 0 是未知参数（）求 的矩估计量 ；（）求 的最大似然估计量考研数学（数学三）模拟试卷 410 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目
7、要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 我们分别确定当 x0 时，、 、 分别是 x 的几阶无穷小当 x0时 =ln(1+x2)一 ln(1 一 x4)x 2，因为 ln(1+x2)x 2ln(1 一 x4)一 x4=0(x2)这表明当 x0 时， 是关于 x 的 2 阶无穷小量， 是关于 x 的 4 阶无穷小量，而 是关于 x 的 3 阶无穷小量按题目的要求，它们应排成 ， 的次序故应选(C)2 【正确答案】 B【试题解析】 将 1 也写成一个定积分 从而为比较 I1，I 2，I 的大小，只要比较 的大小由于当 x0 时 xsinx， 所以只要比较当 0x 的大小考虑 由于所以 (x)0 当
8、 0x 时成立，于是 I2I 11,故选(B)。3 【正确答案】 C【试题解析】 f(|sinx|) 是以 为周期的周期函数，因而有因此选(C)4 【正确答案】 C【试题解析】 D 如图所示，连 将 D 分成 D=D1D2，D 1，D 2 分别关于 x，5 【正确答案】 A【试题解析】 首先可排除(D)，因为与 1， 2， 3， 4 等价的向量组不必线性无关，包含向量个数也不必为 4另外 3 项都给出了 Ax=0 的 4 个解，是否构成基础解系只用看它们是否线性无关，即看秩是否为 4(A)向量组 1+2， 2 一 3， 3 一4， 4 一 1 对 1， 2， 3， 4 的表示矩阵为 其行列式的
9、值为2，因此是可逆矩阵于是 1+2， 2 一 3， 3 一 4， 4 一 1 的秩为 4(B)向量组 1+2， 2 一 3， 3 一 4， 4+1 对 1，sub2 ， 3， 4 的表示矩阵为其行列式的值为 0，因此是不可逆矩阵 1+2， 2 一 3， 3一 4， 4+1 的秩4(C)向量组 1+2， 2+3， 3 一 4， 4 一 1 对1， 2， 3， 4 的表示矩阵为 其行列式的值为 0，因此也是不可逆矩阵 1+2， 2+3， 3 一 4， 4 一 1 的秩46 【正确答案】 C【试题解析】 (C) 矩阵的 3 个特征值都为 1，因此如果一个对角矩阵与它相似，则必须是单位矩阵 E，但是对
10、每个可逆矩阵 P，P 一 1EP=E，即 E 只和自己相似，因此(C)矩阵不相似于对角矩阵。7 【正确答案】 A【试题解析】 依题意 A 与 B 为对立事件，因此 AB= ，又 C B，BC=B，而不可能事件与任何事件相互独立，故应选(A)若进一步分析， P(ABC)=0，而 P(A)，P(B)，P(C) ， P(AC)，P(BC)均不为 0，因此(B) 、(C) 、(D)均不正确8 【正确答案】 B【试题解析】 由于 X1，X 2，X n+1 相互独立，当 ij 时，cov(X i，X j)=0；当 i=j 时，cov(X i，X j)=2，二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 10 【
11、正确答案】 【试题解析】 利用奇偶函数在对称区间上的积分性质得11 【正确答案】 【试题解析】 由于被积函数中出现积分限中的变量 x，所以首先通过变量代换将 x换到积分号之外令 xn 一 tn=u，则12 【正确答案】 【试题解析】 13 【正确答案】 27【试题解析】 A 相似于 B，则 A*+3E 相似于 B*+3E，于是|A *+3E|=|B*+3E|14 【正确答案】 N(5，2)【试题解析】 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 对函数 g(x)两边作定积分 02g(x)dx=02(一 x3)dx+02f(x)dx.023x2dx=一 4+802f(x
12、)dx 将其代入 f(x)中，得 f(x)=3x24+802f(x)dx 对上式两边作定积分 02f(x)dx=02(3x2 一 4)dx+1602f(x)dx=1602f(x)dx 从而可知 02f(x)dx=0， 所以 g(x)=一x3，f(x)=3x 2+02(一 x3)dx=3x24 故 F(x)=一 x3+3x24，F(x)= 一 3x2+6x=0，得驻点x=0，x=2F“(0)=60，F“(2)=一 60 从而 F(x)有极小值 F(0)=一 4，极大值 F(2)=016 【正确答案】 () 设切线的切点为(x 0，y 0)，则切线的斜率为 y(x0)= 所以切线 L 的方程为 其
13、中 y0= 因 L 过(0，0)点，把x=0，y=0 代入上述方程得 即 x0=2，y 0=e 因此所求切线 L 的方程为 ()平面图形 D 如右图取积分变量为 y设 y=e，y 轴所围平面图形绕 y 轴旋转一周所得旋转体体积为 V1，它是锥体， (x0，2)即x=21ny(y1，e)，y=e，y 轴所围平面图形绕 y 轴旋转所得旋转体体积为 V2，则V=V1 一 V2， 因此 V=V1 一 V2=8一17 【正确答案】 D 如图，关于 x 轴对称 于是 其中 D1=Dy0在 Oxy 直角坐标系中先 x 后 y 的积分顺序(不必分块)18 【正确答案】 这是含变限积分的方程，且被积函数又含参变
14、量，所以先作变量替换，转化为被积函数不含参变量的情形令 s=x 一 t 得 f(x)=(x 一 )2 一 x(x 一 s)f(s)ds，即 f(x)=(x 一 )2 一 xxf(s)ds+xsf(s)ds 现把它转化成微分方程问题式两边求导得 f(x)=2(x 一 )一 xf(s)ds 又式中令 x= 得 f()=0再对求导得 f“(x)+f(x)=2在中令 x= 得 f()=0于是问题转化为求解初值问题其中 y=f(x)这是二阶线性常系数方程，显然有常数特解y*=2，于是通解为 y=C1cosx+C2sinx+2由 解得C1=2，C 2=0因此 y=f(x)=2cosx+219 【正确答案】
15、 ()F n(x)在0，+) 内可导(也就必然连续 )，又故 Fn(x)在 存在零点，记为xn，则 Fn(xn)=0又 从而 Fn(x)在0，+) 单调上升，因此 Fn(x)在(0，+)有唯一零点，就是这个 xn()在前面的证明中已得估计式 因 收敛，由比较原理知 收敛又ln(1+xn)x n(n) ，故 收敛( )方法 1前面已导出从而对 0 有 Fn(x)=Fn(0)+0xFn(t)dtFn(0)+2x 方法 2直接由20 【正确答案】 1， 2， 3 线性相关，则 r(1， 2， 3)3( 1， 2， 3)=得 a=一 3 与 1， 2， 3都正交的非零向量即齐次方程组 的非零解，解此方
16、程组：解得 4=c(19，一6，0，1) T，c0 只用证明 1， 2， 3， 4 线性无关，此时对任何 4 维向量 ，有 1， 2， 3， 4， 线性相关，从而 可以用 1， 2， 3， 4 线性表示由 知，a=3 时， 1， 2， 3 线性无关，只用证明 4 不能 1， 2， 3 线性表示用反证法，如果 4 能用 1， 2， 3 线性表示，设 4=c11+c22+c33，则( 4， 4)=(4， c11+c22+c33)=c1(4， 1)+c2(4， 2)+c3(4， 3)=0得 4=0，与 4 是非零向量矛盾21 【正确答案】 得 2a 一 b=2，a一 c=4，b+2c=一 2，解出
17、a=b=2，c= 一 2此二次型为 4x1x2+4x1x34x2x3先求 A 特征值 于是 A 的特征值就是2，2，一 4再求单位正交特征向量组属于 2 的特征向量是(A 一 2E)x=0 的非零解 得(A 一 2E)x=0 的同解方程组：x 1一 x2 一 x3=0显然 1：(1，l，0) T 是一个解，设第二个解为 2=(1，一 l，c) T(这样的设定保证了两个解是正交的!)，代入方程得 c=2，得到属于特征值 2 的两个正交的特征向量 1， 2再把它们单位化：记 1： 1| 1|= 2=2| 2|= 属于一 4 的特征向量是(A+4E)x=0 的非零解求出 3=(1，一 1，一 1)T
18、 是一个解，单位化：记 3=3| 3|= 则 1， 2， 3 是 A 的单位正交特征向量组，特征值依次为 2，2，一 4作正交矩阵 Q=(1， 2， 3)，则 Q 一 1AQ 是对角矩阵，对角线上的元素为 2，2，一 4作正交变换 x=Qy，它把 f(x1，x 2，x 3)化为 2y12+2y22 一4y3222 【正确答案】 为求数学期望应先求出甲袋白球数 X 的概率分布经过第一次交换后，甲、乙两袋中都各有一白一红，故我们从第二次交换开始讨论设 Ai=第二次交换后甲袋有 i 个白球，i=0，1，2由于经过第一次交换，甲、乙两袋中各有一个红球，一个白球，故 又设X=k表示三次交换后甲袋中的白球
19、数，k=0，1，2则 PX=0|A0=0，PX=0|A 1= PX=0|A2=0，PX=1|A 0=1，PX=1|A 1= PX=1|A2=1，PX=2|A 0=0，PX=2|A 1= PX=2|A2=0，所以 PX=0=PX=0A1P(A0)= PX=1=PX=1|A0P(A0)一 PX=1|A1P(A1)+PX=1|A2P(A2)PX=2=PX=2|A1.P(A1)= ，故 X 的概分布为23 【正确答案】 由 1=一 +f(x)dx= ()由于 X 的一阶矩 EX=一 +xf(x)dx= 故考虑 X 的二阶矩而样本的二阶矩为 所以 的矩估计量为 ()似然函数为L(x1，x 2， ，x n；)= ，取对数有
