1、考研数学（数学三）模拟试卷 411 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设曲线 y=(1+x) ，则下列说法正确的是 ( )（A）没有渐近线（B）有一条渐近线（C）有二条渐近线（D）有三条渐近线2 设 f(x)的导数在点 x=a 处连续，又 =一 2，则( )（A）点 x=a 是 f(x)的极小值点（B）点 x=a 是 f(x)的极大值点（C）点 (a， f(a)是曲线 y=f(x)的拐点（D）点 x=a 不是 f(x)的极值点，点(a，f(a) 也不是曲线 f(x)的拐点3 二元函数 在点(0，0)处( )（A）连续，偏导数存在（B）连续，偏导数不存
2、在（C）不连续，偏导数存在（D）不连续，偏导数不存在4 设 f(x)连续，则 0x(0tf(x)dx)dt=( )（A） 0xf(t)(t 一 x) dt （B） 0tf(x)(x 一 t) dx（C） 0xf(t)(x 一 t)dt（D） 0tf(t)(t 一 x)dx5 设 则必有( )（A）B=P 1 P2A（B） B=P2P1A（C） B=AP1 P2（D）B=AP 2P16 设 1 ， 2 ， 3 ， 4 为四维非零列向量， A=1 ， 2 ， 3 ， 4，A *为 A 的伴随矩阵，又知方程组 AX=0 的基础解系为1 ，0，2，0 T ，则方程组 A*X=0 的基础解系为( )（A
3、） 1 ， 2 ， 3（B） 1+2 ， 2+3 ， 3+1（C） 2 ， 3 ， 4（D） 1+2 ， 2+33+4 ， 4+17 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且均服从正态分布 N(0，1)，则( )（A）P(X+Y0)=1/4（B） P(X 一 Y0)=1/4（C） P(max(X，Y)0)=1/4（D）P(min(X，Y)0)=1/48 将一枚硬币随意投掷 n 次，设 Xn 表示“正面” 出现的次数，(x)为标准正态分布的分布函数，则( ) 二、填空题9 已知10 已知级数 与广义积分 0+ e(p 一 2)xdx 均收敛，则 p 的取值范围是_11 差分方程 yx+1 一 的通解
4、为_12 化下述积分为极坐标系下的累次积分，则 1/21dx1 一 xxf(x，y)dy+ 1+dx0xf(x，y)dy_13 A，B，C 是二阶矩阵，其中 则满足 BA=CA 的所有矩阵 A=_14 设 A，B 是两个随机事件，已知 P(A|B)=03，P(B|A)=04， =07，则 P(A+B)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 f(x)在a，b上连续，且 f(x)0，又 F(x)=axf(t)dt+6x 证明：(1)F(x)2；(2)F(x)=0 在a，b内有且仅有一个实根16 计算二重积分 (x2+y)d，其中 D 是由 x2+y2=2y 的上半圆，直线
5、x=一 1，x=1及 x 轴围成的区域17 设变换18 已知商品的需求量 D 和供给量 S 都是价格 p 的函数：D=D(p)= S=S(p)=bp，其中 a0，b 0 为常数；价格 p 是时间 t 的函数，且满足方程 =kD(p)一 S(p(k为正常数)1 假设当 t=0 时，价格为 1试求：(1)需求量等于供给时量时的均衡价格 pe； (2)价格函数 p(t)；(3) 极限19 已知某二阶常系数线性非齐次微分方程的通解为 y=C1ex+C2e 一 x 一则此微分方程为_20 设 A 为三阶实对称矩阵， 1=8， 2=3=2 是其特征值已知对应 1=8 的特征向量为 1=1， k，1 T ，
6、对应 2=3=2 的一个特征向量为 2=一 1，1，0 T试求参数k 及 2=3=2 的一个特征向量和矩阵 A21 已知三元二次型 f(x1 ，x 2 ，x 3)=XTAX，矩阵 A 的对角元素之和为 3，且AB+B=0，其中 (1)用正交变换将二次型化为标准形，并写出所用的坐标变换；(2)求出此二次型；(3) 若 =4，一 1，0 T ，求 A*22 设 X1 ，X 2 ，X 9 是来自正态总体 XN( ， 2)的简单随机样本证明统计量 Z 服从自由度为 2 的 t 分布23 设随机变量 X，Y 相互独立，X 在区间0，5上服从均匀分布，Y 服从参数为1 的指数分布，令 Z=maxX，Y(1
7、)求随机变量 Z=max(X，Y)的概率密度；(2)计算 P(X+Y1)考研数学（数学三）模拟试卷 411 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 利用渐近线的下述定义求之：若 f(x)=c，则 y=c 为曲线 y=f(x)的水平渐近线；若 f(x)=，则 x=x0 为曲线 y=f(x)的铅直渐近线；若f(x)一 ax=b，则 y=ax+b 为斜渐近线，因为于是，x=0 是曲线的一条铅直渐近线于是，y=x 是曲线的一条斜渐近线又因为 故曲线再无其他渐近线，由此可知(C)正确，其他结论均不正确2 【正确答案】 B【试题解析】 利用
8、一阶导数判别法或二阶导数判别法判别之，关键在于由题设条件找出其隐含的条件 f(a)=0，f“(a)= 一 2因 f(x)的导数在点 x=a 处连续，=一 2，故 f(a)=0，且 f“(a)=一 2由二阶导数判别法知，点 x=a 是 f(x)的极大值点仅(B)入选3 【正确答案】 C【试题解析】 先求极限，再求偏导数即可判别。因 与 k 值有关，故该极限不存在，从而 f(f，y) 在点(0，0)处不连续，排除(A)、(B)，但偏导可能存在事实上， 因而两个偏导数存在，仅(C)入选4 【正确答案】 C【试题解析】 利用分部积分法求之 0x(0xf (x)dx)dt 一t 0xf(x)dx0x 一
9、 0xtd(0tf(x)dx) =x0xf(t) dt 一 0xtf(t)dt 一 0xf(t)(x 一 t)dt 因而仅(C)入选5 【正确答案】 D【试题解析】 利用初等变换与初等矩阵关系求之AP 2 表示将 A 的第 3 列乘以 1加到第 2 列得到 (AP2)P1 表示将 AP2 的第 1 列与第3 列对调得到 仅(D)入选6 【正确答案】 C【试题解析】 由 AX=0 的基础解系所含解向量个数为 1 知， n 一 r(A)=4 一 r(A)=1，故 r(A)=3 因而可确定 r(A*)=1，于是 A*X=0 的一个基础解系含 3 个解向量 由 AX=0 的基础解系仅含有一个解向量知，
10、r(A)=3，从而 r(A*)=1，于是方程组 A *X=0 的基础解系中仅含 3 个解向量 又 A *A=A*1 ， 2 ， 3 ， 4=|A|E=0， 所以向量 1 ， 2 ， 3 ， 4 是方程组 A*X=0 的解，因为1，0，2，0 T 是 AX=0 的解，故有 1+23 =0，即 1 ， 3 线性相关，从而向量组 1 ， 2 ， 3 和向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 均线性相关，故排除(A) 、(B)、(D) 又因 r(A)=r(1 ， 2 ， 3 ， 4)=3，故 2 ， 3 ， 4 线性无关、仅(C)入选， 由解一知， 1 ， 2 ， 3 ， 4 均为A*X=0 的解向量，且
11、其基础解系只含 3 个解向量 由 1+23=0 得 1=02 一23+04 ， 即 1 可由 2 ， 3 ， 4 线性表示，又 r( 1 ， 2 ， 3 ， 4)=3， 所以 2 ， 3 ， 4 线性无关，即 2 ， 3 ， 4 为 A*X=0 的一个基础解系，仅(C)入选7 【正确答案】 D【试题解析】 首先求出 X+Y 与 X 一 Y 的分布，如果 X+YN(， 2)，则P(X+Y)=1/2 这个结论经常用到求与 max(X，Y)或 min(X，Y)有关的概率常用下述事件分解法求之：max(X，Y)c=Xc+yc，min(X ，Y)c=Xcnyf记事件 A=X0，B=Y0 ，则 A 与 B
12、 相互独立，且因 X，Y独立，且 XN(0，1) ，Y N(0 ，1)，故 X+yN(0，2)，XyN(0，2)，于是 P(X+Y0)= P(X 一 Y0)= 因此 P(X+Y0)=1 一 P(X+Y0)=1 一 P(X一 Y0)= 因而(A) 、(B) 、(C) 均不对，仅(D)入选8 【正确答案】 C【试题解析】 利用二项分布的中心极限定理(棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理)判别之。由题设有 XnB(n，1/2)由二项分布的中心极限定理得到二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 所求数项级数的和可拆分为两个数项级数而求之：10 【正确答案】 0p2【试题解析】 应分别求出交错 p 级数 收敛
13、时，p 的取值范围及广义积分 0+e(p 一 2)xdx 收敛时 p 的取值范围，两者的交集即为所求由于 是交错 p 级数，只要 p0 就符合莱布尼茨判别法的要求，因而是收敛的而且 p0 时，该级数的通项不趋于 0，所以一定发散而对于 e (p 一 2)x dx 来说，直接计算即可知：p2 时收敛， p2 时发散两者结合得 0p2 为所求11 【正确答案】 【试题解析】 所给差分方程的类型为 yx+1 一 ayx=cbx ，b，c 为常数这种类型当ab 时，其特解形式 yx*=kbx将其代入原方程易求得其通解为 (A 为任意常数)由上述分析易知，所给方程的特解为 而对应齐次方程的通解为 其中
14、A 为任意常数，故所求通解为A 为任意常数12 【正确答案】 【试题解析】 据所给条件先将累次积分化成二重积分并求出积分区域 D：它是由y=x，y=1 一 x 及 x 轴所围成(见右图)， 再将其化为极坐标系下的累次积分，极坐标系下一般先对 r 积分后对 积分，这时穿入的边界线y+x=1 化为极坐标，可表示为 x+y=rcos+rsin=1，即 r=1/(cos+sin)穿出的边界线为 r+由上述分析易知13 【正确答案】 【试题解析】 因|B 一 C|=0，用解方程组的方法求出所有的 ABA=CA，即 (B 一C)A=0， 求满足条件 BA=CA 的所有 A 化为求解方程组(B 一 C)A=
15、0 的所有解故方程组的基础解系为 1=一 1，0，1，0 T ， 2=O，一 1，0，1 T于是方程组的通解为其中k1 ，k 2 为任意常数14 【正确答案】 058【试题解析】 首先要根据条件概率的数值关系 P(A|B)=P(A| )=03，判定 A 与B 为独立事件 于是P(A|B)=P(A| )=03，即 A 与 B 相互独立因而有 P(A|B)=P(A)=03，P(B)=P(B|A)=0 4，则 P(A+B)=P(A)+P(B)一 P(AB)=P(A)+P(B)一 P(A)P(B)=058注意判断出事件 A 与 B 独立是计算本题的关键三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16、15 【正确答案】 (1) 由于f (x)一 120，有 f2(x)+12f(x)，于是 F(x)2(2) 因 F(x)2，故 F(x)在a，b上单调增加，所以F(x)=0 在a ，b上至多有一个实根，又由介值定理知，F(x) 在a， b上至少有一个实根。综上所述，F(x)在a，b上有且仅有一个实根【试题解析】 (1)利用不等式 a2+b22ab 证之； (2)利用 F(a)0，F(b)0 及介值定理证之16 【正确答案】 设 D1=(x，y)| 一 1x1，0y1，D 2=(x，y)|x2+y22y，1y2，则 D=D1D2 ，如右图所示，于是x=rcos，y 一 1=rsin ，于是 D
17、2=(r, )|0，0r1,【试题解析】 将积分区域 D 分为两部分，分别使用直角坐标和极坐标计算，或者直接在 D 上使用直角坐标计算17 【正确答案】 视 u， 为中间变量，将所给方程化为以 u， 为自变量的微分方程，再由所给条件求出 a将上述所求结果代入所给的方程，得到 当 a=一 2 时，以上方程化为18 【正确答案】 (1)令 D(p)=S(p)，解得均衡价格 pe=这可化为一阶线性微分方程： 则 p 3=e 一3kbdt (e 一3kbdt 3kbpedt+C)=e 一3kbdt(e3kbdtp e+C)由 t=0 时，p=1，得到 C=1 一 pe ，则有 p3(t)=pe+(1
18、一 pe)e 一3kbdt，即 p(t)=p e+(1 一 pe)e 一 3kbdt (3) =pe1/3【试题解析】 为求价格函数 p(t)需解微分方程此方程为一阶方程，可按通解公式求其解，然后再求出其极限19 【正确答案】 由通解可知，特征根 1=1， 2=一 1于是特征方程为( 一 1) (+1)=2 一 1=0，故对应的齐次方程为 y“一 y=0该非齐次方程设为 y“一 y=f(x)，其中 f(x)为其非齐次项由其通解知 为其一特解，将其代入 y“一 y，得到 f(x)=(y*)“一 y* ，即故所求方程为 y“一 y=sin2x【试题解析】 由通解形式写出特征方程，得对应齐次微分方程
19、由特解求出非齐次项 f(x)20 【正确答案】 因 1 ， 2 是实对称矩阵 A 的属于不同特征值的特征向量，故有1T ， 2=0，即 故有 k=1，即 1=1，1，1 T设2=3=2 的属于 A 的另一特征向量为 3=X1 ，X 2 ，X 3T ，则 1T3=0为保证 2 ， 3 线性无关，可进一步要求 1T3=0，这样有得到基础解系为 一 1/2，一 1/2，1 T为方便计，取 3=1，1，一 2T再由 A 1 ， 2 ， 3=A1 ，A 2 ， A3=11 ， 22 ， 33得 A= 11 ， 22 ， 331 ， 2 ， 3一 1【试题解析】 利用实对称矩阵特征向量的性质求之21 【正
20、确答案】 (1)令 B=1 ， 2 ， 3， i 为 B 的列向量，显然 1 ， 2 线性无关，3=1+2 ，因而 r(B)=2，由 AB=一 B 得到 A1 ， 2 ， 3=一 1 ， 2 ， 3，即 A1=一 1 ， A2=一 2 ， A3=一 3因 1 ， 2 线性无关，故属于特征值一 1 的有两个线性无关的特征向量，所以 1=2=一 1 为二重特征值又因 A 的主对角线上的元素之和为 1+2+3=3，故另一特征值为 3=5设属于 3=5 的特征向量为 =x1 ，x 2 ，x 3T ，则 1T=0， 2T=0 故 =1， 1，1 T对 1 ， 2 进行施密特正交化得到再将 1 ， 2 ，
21、 3 单位化，得到 令 Q=1 ， 2 ， 3，则 Q 为正交矩阵，且经正交变换 X=QY 后，二次型的标准形为 f=一y12 一 y22+5y32故 f=XTAX=x12+x22+x32+4x1x2+4x2x3+4x1x3(3) 设 p=k 11+k22+k33 ，解得 k 1=3，k 2=一 2，k 3=1因此 p=31 一 22+，而 A 1=一 1 ，A 2=一 2 ，A=5a，故 A n=一An(31 一 22+)=3An1 一 2An2+An=3(一 1)n12(一 1)n2+5n【试题解析】 先由 AB=一 B，B= 1 ， 2 ， 3得到 Ai=一 i(i=1，2，3)，从而求
22、出 A 的部分特征值及其特征向量，再由主对角元素之和为 3 即可求出 A 的全部特征值，再由特征向量正交，求出其余的特征向量，再正交单位化，即可得到正交变换矩阵 Q，从而可求出 A，将 写成特征向量的线性组合即可求出 An22 【正确答案】 由 t 分布的定义：如 UN(0，1)，V 2(n)，且 U 与 V 相互独立，则随机变量(统计量) 服从自由度为 n 的 t 分布，记为 为使用定义须将统计量 Z 变形为 因XN(， 2)，故 E(Y1)=E(Y2)=，D(Y 1)一 ，D(Y 2)= 又 Y1 与 Y2 独立，于是得到 E(Y1 一 Y2)=0，D(Y 1 一 Y2)= 所以 Y1 一 Y2又 V= 2(2)，且 Y2 与 S2 独立，而 Y1 与Y2 独立，故 Y1 与 S2 也独立，所以 Y1 一 Y2 与 S2 也独立，即 U 与 V 相互独立根据 t 分布的定义得到 注意 上面用到样本方差 S2 的性质： 2(n-1),其中 S2=相互独立【试题解析】 给出正态总体的一组简单随机样本待征统计量所服从的分布，这类问题常用统计量分布的定义即典型模式证之23 【正确答案】 (1)随机变量 X 与 Y 的分布函数分别为于是 Z 的概率密度为【试题解析】 随机变量 Z=maxX，Y)的分布函数就是随机变量 X 与 Y 的分布函数的乘积，据此可求得 Z 的概率密度
