1、考研数学（数学三）模拟试卷 417 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 若 (an+1 一 an)( )（A）收敛且其和为 0（B）收敛且其和为 a（C）收敛且其和为 a 一 a1（D）发散2 设函数 f(x)三阶可导，且满足 f“(x)+f(x)2=x，又 f(0)=0则( )（A）f(0)是 f(x)的极大值（B） f(0)是 f(x)的极小值（C）点 (0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点（D）f(0)不是 f(x)的极值，点(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点3 设 D=(x， y)|x2+y2R 2 ，则 sin(x 一 y)dxd
2、y=( )（A）0（B） 1（C） （D）4 差分方程 yt 一 2yt 一 1=b(b 为常数) 的通解是( )（A）y t=A2t+b（B） yt=2t 一 b（C） yt=A(一 2)t+b（D）y t=A2t 一 b5 A 是 n 阶矩阵，下列命题中错误的是( )（A）若 A2=E，则一 1 必是 A 的特征值（B）若秩 (A+E)n，则一 1 必是 A 的特征值（C）若 A 中各列元素之和均为一 1，则一 1 必是 A 的特征值（D）若 A 是正交矩阵，且特征值乘积小于 0，则一 1 也必是 A 的特征值6 设随机变量 X1N(0，1)，X 2B(1，1/2)，X 3 服从于参数为
3、=1 的指数分布设则矩阵 A 一定是 ( )（A）可逆矩阵（B）不可逆矩阵（C）正定矩阵（D）反对称矩阵7 对任意两个随机事件 A，B，已知 P(A 一 B)=P(A)，则下列等式不成立的是( )8 已知随机变量 X，Y，Z 相互独立，且 XN( ， 2)，P(X0)=02，则 P(5X+4Y 一 3Z7)=( )（A）03（B） 04（C） 05（D）06二、填空题9 积分 一 55|x22x 一 3|dx=_10 已知 z=u ，u= 则 dz=_11 微分方程 y“+4 y=2x2 在原点处与 y=x 相切的特解是_12 设 A*为 A 的伴随矩阵，矩阵 B 满足 A*B 一 A 一 1
4、+2B，则 B=_13 已知三阶方阵 A 的三个特征值为 1，一 1，2，相应特征向量分别为则 P 一1AP=_14 设 X1 ，X 2 ，X 7 为来自总体 XN(0，1)的简单随机样本，随机变量Y=(X1+X2+X3)2+(X4+X5+X6)2 ，则当 C=_时， 服从参数为_的 t 分布三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 将函数 f(x)= 在 x=0 处展成幂级数16 某工厂生产甲、乙两种产品，当这两种产品的产量分别为 x 和 y(单位：吨)时的总效益函数为 R(x，y)=15x+34y 一 x2 一 2xy 一 4y2 一 36 (单位：万元) 已知生产甲种产品每
5、吨需支付排污费用 1 万元，生产乙种产品每吨需支付排污费 2 万元 (1)在不限制排污费用支出的情况下，这两种产品的产量各为多少时总利润最大？最大总利润是多少？ (2)当限制排污费用总量为 6 万元时，这两种产品的产量各为多少时总利润最大？最大总利润又是多少？17 求微分方程 y“+4y=sin2x 满足条件 y(0)=0，y(0)=1 的特解18 函数 f(x)在0，+)上可导，且 f(0)=1，满足等式 f(x)+f(x)一 0xf(t) dt=0 (1)求导数 f(x)；(2) 证明：当 x0 时，成立不等式 e 一 xf(x)119 设 f(x)，g(x) 在a，b 上连续，且在(a
6、，b)内可微，又对于(a，b)内的 x，有 g(x)0，则在(a ， b)内存在一个 ，使20 设有 Amn ，B mn ，已知 En 一 AB 可逆，证明 En 一 BA 可逆，且(E n 一 BA)一1=En+B(En 一 AB)一 1A21 设矩阵 A 与 B 相似，且 (1)求 a，b的值；(2)求可逆矩阵 P，使 P 一 1AP=B22 设随机变量 XN(0，1)，求 y=e3X+1 的概率密度23 保险公司为 50 个集体投保人提供医疗保险假设他们医疗花费相互独立，且花费(单位：百元) 服从相同的分布律 当花费超过一百元时，保险公司应支付超过百元的部分；当花费不超过一百元时，由患者
7、自己负担费用如果以总支付费 X 的期望值 E(X)作为预期的总支付费，那么保险公司应收取总保险费为(1+)E(X)，其中 为相对附加保险费为使公司获利的概率超过95，附加保险费 至少应为多少？(已知 (141)=092，(1 62)=095)考研数学（数学三）模拟试卷 417 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 利用级数收敛的定义求之求部分和 Sn 的极限前要先化简 Sn因为(an+1 一 an)=(a2 一 a1)+(a3 一 a2)+(a4 一 a3)+，其部分和 Sn=(a2 一 a1)+(a3 一 a2)+(an+1
8、 一 an)=an+1 一 a1 ，由题设有 (an+1 一 a1)=a 一 a1 ，故由级数收敛的定义知，该级数收敛且其和为 a 一 a1 ，仅(C)入选2 【正确答案】 C【试题解析】 由于将 x=0 代入所给方程，得到 f“(0)=0，不能用二阶导数判别法判别拐点的存在，下面用三阶导数判别之将 x=0 代入所给方程，得到 f“(0)=0在所给方程两端对 x 求导，得到 f“(x)=12f(x)f“(x)，则 f“(0)=1 一 0=10由极限的保号性知 f“(x)在x=0 的左、右两侧异号，故(0，f(0)为 f(x)的拐点，仅(C)入选3 【正确答案】 A【试题解析】 因 D 关于 x
9、 轴及关于 y 轴均具有对称性，应注意考查被积函数的奇偶性，尽量使用对称性及奇偶性简化计算因 D 关于 y 轴对称，而 sinxcosy 关于 x 为奇函数，故 同理，因 D 关于 x轴对称，而 cosxsiny 关于 y 为奇函数，故 仅(A)入选，若积分区域 D 关于 y 轴(或 x 轴)对称，且 f(x，y)关于 x(或关于 y)为奇函数，当 f(x，y)在 D 上连续时，必有4 【正确答案】 D【试题解析】 所给差分方程视为 yt 一 2yt 一 1=b1 t因 21(特征根不等于底数)，故其特解形式为 yt*=C (C 为待定常数)，代入差分方程即得 C 一 2C=b，C=一 b，故
10、 yt*=一 b易知其齐次方程的通解为 又 yt*=一 b，故其通解为yt=yt+yt*=A2 t 一 b，其中 A 为任意常数，仅(D)入选5 【正确答案】 A【试题解析】 利用特征值定义讨论之对于具有特殊性质的矩阵，要灵活运用特征值定义。一对于(A) ，若 A2=E，A 的特征值的取值范围是1，但并不保证 A 必有特征值 1 或一 1，例如 可见(A)不正确，仅(A)入选6 【正确答案】 A【试题解析】 先根据随机变量 Xi(1=1，2，3) 的分布求出期望 E(Xi)、E(X i2)与方差D(Xi)因 E(X 1)=0，D(X 1)=1，E(X 12)=D(X1)+E2(X1)=1，E(
11、X 2)=np=1(1/2)=1/2，D(X 2)=np(1 一 p)=1(1/2) (1/2)=1/4，E(X 22)=D(X2)+E2 (X2)=1/4+1/4=1/2，E(X 3)=1， D(X3)=1，E(X 32)=D(X3)+E2(X3)=2，故A 为可逆矩阵，所以仅(A)入选7 【正确答案】 C【试题解析】 利用事件的运算法则及全集分解公式判别之全集分解公式如下：由 P(AB)=P(A)一P(AB)=P(A)可知 P(AB)=0(A)中左端 P(AB)=P(A)一 P(AB)=P(A)，故(C)不成立仅 (C)入选8 【正确答案】 A【试题解析】 利用题设条件先求出随机变量函数
12、5X+4Y 一 3Z 的正态分布，再利用标准正态分布及 P(X0)=02，求出所求概率由于 X，Y ，Z 是相互独立的正态随机变量，因此 5X+4Y 一 3Z 也是正态随机变量又 E(5X+4Y 一 32)=5E(X)+4E(Y)一 3E(Z)=5 一 4=，D(5X+4Y 一 32)=25D(X)+16D(Y)+9D(Z)=252+16 (2/2)+9 (2/3)=362 ，所以 5X+4Y 一 3ZN( ，36 2)=0 8 一 05=0 3仅(A)入选二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 先将被积函数写成分段函数的形式，然后再分段积分|x 2 一 2x 一3|(x+1) (x 一 3
13、)|= 原式= 一 5 一 1(x2 一 2x 一 3)如+一 13(一 x2+2x+3)dx+35(x2 一 2x 一 3)dx10 【正确答案】 【试题解析】 依照复合函数求导法求之11 【正确答案】 【试题解析】 先求出特征根，再设出特解形式，代入原方程求之原方程所对应齐次方程的特征方程为 r2+4=0，解得 r 12 =2i故齐次方程通解为Y=c1cos2x+c2sin2x设 y*=ax2+bx+c 是原方程的一个特解，代入原方程，比较两边系数可得 故原方程的通解为y=Y+y*=c1cos2x+c2sin2x+ 由初始条件 y|x=0=0，y| x=0=1，可得 c1=于是，所求的特解
14、为12 【正确答案】 【试题解析】 先将所给的矩阵方程化为以 B 为因子矩阵的方程，为此，先在方程两边左乘 A 以消去 A*。在方程 A*B=A 一 1+2B 两边左乘 A 得到AA*B=|A|B=E+2AB，即 (|A|E 一 2A)B=E，故 B=(|A|E 一 2A)一 1易求得|A|=4，则13 【正确答案】 C【试题解析】 同一个特征值的特征向量的线性组合仍为该特征值的特征向量，P中向量的次序应与对角阵中对应的特征值的次序一致据此确定选项注意 1=21 ， 2= =一 22 ， 3= =23 仍分别为特征值 1，一 1，2 的特征向量，故 P 一 1AP= 仅(C)入选14 【正确答
15、案】 ；2【试题解析】 利用 t 分布的典型模式求之由 XiN(0，1)和 2 分布的典型模式CY=C(X1+X2+X3)2+(X4+X5+X6)2应服从参数为 2 的 2 分布：这是因为X1+X2+X3N(0，3) ，同法，可得又 X1+X2+X3 与 X4+X5+X6 相互独立，故又 X7N(0 ，1)，所以其中 C= 参数为 n=2三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 所给函数的分母和分子均为多项式，为将其展为 x 的幂级数，应先将其化为 的形式，再按等比级数展开之另外，也可将函数变形，化为已知其展开式的函数的代数和简化求之16 【正确答案】 (1)扣除排
16、污费用后即得总利润函数：L(x，y)=R(x，y)一 x 一 2y=一 14x+32y 一 x22xy 一 4y2 一 36令 解得 x=4，y=3是唯一驻点因驻点唯一，且实际问题又存在最大值，故 L(x，y)的最大值必在驻点(4， 3)达到，所以当甲、乙两种产品的产量分别为 4 吨和 3 吨时，可获得最大利润，且最大利润为 maxL=144+323 一 42 一 243 一 432 一 36=40(万元)(2)由题设知，应在条件 x+2y=6 下求 L(x，y)的最大值构造拉格朗日函数：解得 x=2，y=2，=一 6因驻点(2，2)唯一，且实际问题又存在最大值，故 L(x，y)在条件 x+2
17、y=6 下的最大值必在驻点(2，2)处达到所以，当甲、乙两种产品均是 2 吨时，可获得最大利润：maxL=142+322 一 22 一 222 一 422 一 36=28(万元)【试题解析】 列出总利润函数的表示式，然后分别按无条件极值和有条件极值求之17 【正确答案】 可求得特征方程 r2+4=0，得 r=2i于是方程对应齐次方程通解为Y=C1cos2x+C2 sin2x又设非齐次方程的特解为 y*=x (Acos2x+Bsin2x)，代入方程，有 故原方程的通解为 y=Y+y*=C1cos2x+C2sin2x 一将条件 y(0)=0，y(0)=1 代入，得 C1=0，C 2= 故满足条件的
18、特解为【试题解析】 先求特征方程的根，再确定特解的形式，求出通解后，使用初始条件求出所要求的特解。18 【正确答案】 (1)整理后有等式(x+1)f(x)+(x+1)f(x)一 0xf (t)dt=0，求导得到 (x+1)f“(x)+(x+2)f(x)=0设 u(x)=f(x)，则 两边积分得到 lnu(x)=一 x 一 ln(x+1)+lnC， 由 f(0)=1，得 f(0)=一 1 代入 u(x)可得 C=一 1两边在0 ，x上积分，利用式 有 e 一 x 一 1f(x)一 f(0)0，即有不等式 e 一 xf(x)1【试题解析】 先在所给等式两边求导得到 f(x)的二阶微分方程，为求 f
19、(x)，视f(x)为因变量，化为一阶微分方程而求之求出 f(x)的表示式后再放缩化为不等式，最后积分即可得到 f (x)的不等式19 【正确答案】 先找出辅助函数 F(x)下面用凑导数法求之将待证等式中的 改为 x，式化为 f(x)g(b)一 g(x)一 g(x)f(x)一 f(a)=0，即 f(x)一 f(a)g(b)一g(x)+f(x)一 f(a)g(6)一 g(x)=0，亦即 f(x)一 f(a)g(b)一 g(x)一 0因而应作 F(x)=f(x)一 f(a)g(b)一 g(x)令 F(x)=f(x)一 f(a)g(b)一 g(x)下面对 F(x)验证其满足罗尔定理的全部条件，显然有
20、F(a)=0，F(b)=0又 F(x)在a ，b上连续，在(a ，b)内可导，由罗尔定理知，存在 (a，b)，使 F()=0，即 f()g(b)一 g()一f()一 f(a)g()=0由 g()0 得到20 【正确答案】 (E n 一 BA)En+B(En 一 AB)一 1A =En 一 BA+B(En 一 AB)一 1A 一BAB(En 一 AB) 一 1A =En 一 BA+(BBAB) (En 一 AB)一 1A =En 一 BA+B(En 一 AB) (En 一 AB) 一 1A =En 一 BA+BA=En 故 En 一 BA 可逆，且(E n 一 BA)一 1=E+B(En 一AB
21、) 一 1A【试题解析】 只需证 E n 一 BAEn+B(En 一 BA)一 1A=E21 【正确答案】 (1)首先将 A 的特征多项式分解成 的因式的乘积为此将|E 一A|中不含 的某元素消成零，使其所在的列(或行)产生 的一次因式。=(一 2)2 一(a+3)+3(a 一 1)因 B 的 3 个特征值为 2，2，6，由 AB 可知，A 与B 有相同的特征值，故 A 的特征值为 1=2=2， 3=b由于 2 是 A 的二重特征值，故 2 是方程 2 一(a+3)+3(a 一 1)=0 的根，把 1=2 代入上式即得 a=5，因而有|E一 A|=( 一 2)(2 一 8+12)=( 一 2)
22、2( 一 6)于是 b=3=6(2)解线性方程组(2E 一A)X=0，(6E 一 A)X=0 分别得到对应于 1=2=2， 3=6 的特征向量 1=1，一 1，0T ， 2=1，0，1 T； 3=1，一 2，3 T ，易验证 1 ， 2 ， 3 线性无关令 P=1 ， 2 ， 3，有 P 一 1 AP=B，于是 P=1 ， 2 ， 3即为所求【试题解析】 先求出 A 的 3 个特征值 1 ， 2 ， 3 ，再分别求出 A 的对应于 i 的特征向量 i (i=1，2，3)，则可求出可逆矩阵 P=1 ， 2 ， 322 【正确答案】 若 X 的概率密度为 fX(x)，随机变量 Y=(X)的概率密度
23、 fY(y)的求法如下(1)若 (x)0 即 y=(x)为单调增加函数，则 fY(Y)=fX 一 1(y) 一 1(y)，其中 X= 一 1 (y)是 y=(x)的反函数(2)若 (x)0 即 y=(x)为单调减少函数，则fY(y)=一 fX 一 1(y) 一 1(y)，其中 x= 一 1(y)为 y=(x)的反函数上述两种情况可合并为 fY(y)=fX 一 1 (y)| 一 1 (y) 因 XN(0 ，1) ，故 X 的概率密度为一x+因 Y=e3X+1 ，故 y=e3x+1 为单调增加函数而故 Y 的概率密度函数为23 【正确答案】 假设第 i 个设保人员医疗花费为那么保险公司支付第 i
24、个人的费用为Xi 独立同分布，且 E(Xi)=005+0504+201=0 4，E(X i2)=005+(05)204+2 201=05，D(X i)=E(Xi2)一E(X i)2=05 一(04) 2=034总支付费用为 E(X)=5004=20，D(X)=50034=17由独立同分布中心极限定理知，X 近似服从正态分布 N(20，17)依题意知，附加保险费 应使 P(1+)E(X)一 X0)095，已知 (162)=095，(x) 为 x 的单调函数，所以 应满足即 至少取 033【试题解析】 首先要弄清题意，分析题中变量之间的关系及各变量所服从的分布，当分布未知时，注意中心极限定理的应用
