1、考研数学（数学三）模拟试卷 419 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)= 则 f(x)的可去间断点的个数为( ) （A）1（B） 2（C） 3（D）02 设 f(x)在 x=0 处 3 阶可导，且 f(0)=0，f“(0)=0，f“(x)0，则( )（A）x=0 是 f(x)的极小值点（B） x=0 是 f(x)的极大值点（C）在点 (0，f(0)的左、右邻域曲线 y=f(x)分别为凹与凸（D）在点(0，f(0)的左、右邻域曲线 y=f(x)分别为凸与凹3 函数 f(x)=|x3+x22x|arctanx 的不可导点的个数是( )（A）3
2、（B） 2（C） 1（D）04 设 I= xydxdy，其中 D 由曲线 y= y=一 x 和 y= 所围成，则 I的值为( ) （A）1/6（B） 1/12（C） 1/24（D）1/485 设 为四维列向量， T 为 的转置，若 则T=( )（A）3（B） 6（C） 9（D）46 设向量组 1 ， 2 ， 3 ， 1 线性相关，向量组 1 ， 2 ， 3 ， 2 线性无关，则对于任意常数 k，必有( ) （A） 1 ， 2 ， 3 ，k 1+2 线性无关（B） 1 ， 2 ， 3 ，k 1+2 线性相关（C） 1 ， 2 ， 3 ， 1+k2 线性无关（D） 1 ， 2 ， 3 ， 1+k2
3、 线性相关7 设随机变量 X1 和 X2 相互独立同分布(方差大于零)，令 X=X1+aX2 ，Y=X 1+bX2(a，b 均不为零)如果 X 与 y 不相关，则( )（A）a 与 b 可以是任意实数（B） a 和 b 一定相等（C） a 和 b 互为负倒数（D）a 和 b 互为倒数8 设随机变量 Xi (i=1，2)，且 P(X1X2=0)=1，则 P(X1=X2)等于( )（A）0（B） 1/4（C） 1/2（D）1二、填空题9 若函数 y=f(x2) ，其中 f 为可微的正值函数，则 dy=_10 11 0+dxx2x dy=_12 差分方程 yx+1 一 的通解是_13 设随机变量 X
4、 和 Y 的联合概率分布为则 X 和 Y 的协方差 cov(X，Y)=_14 设 X1 ，X 2 ，X n 是取自正态总体 N(0， 2)(0)的简单随机样本，三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 f(x)在0，1上连续，在 (0，1)内可导，f(0)=0，当 x0 时，f(x)0证明对任意自然数 k，存在 (0，1)，使16 求方程 y“+y=4sinx 的通解17 计算 D 是图中的阴影区域18 已知某产品总产量的变化率为 问：(1)投产多少年后可使平均产量达最大值，此最大值是多少？(2)在达到平均年产量最大时，再生产3 年，求这 3 年的平均年产量19 设 f(x)
5、在(0，+)内连续，f(1)=3，且 1xyf(t) dt=x1yf(t)dt+y1xf(t)dt，其中x，y (0，+)，求 f(x)20 设有 2 个四元齐次线性方程组：方程组和()是否有非零公共解？若有，求出所有的非零公共解？若没有，则说明理由21 设 A 为三阶矩阵，有三个不同特征值 1 ， 2 ， 3 ，对应的特征向量依次为 1 ， 2 ， 3 ，令 =1+2+3 (1)证明： 不是 A 的特征向量； (2)，A ，A 2 线性无关； (3)若 A3=A，计算行列式 |2A+3E|22 (1)设 X1 ， X2 ，X n 是来自参数为 的泊松分布总体的一个样本，试求 的最大似然估计量
6、和矩估计量(2)设 X1 ，X 2 ，X n 是取自总体 X 的简单随机样本，X 的概率密度为 试求 的矩估计23 设随机变量 X 服从(0，2)上的均匀分布，Y 服从参数 =2 的指数分布，且X，Y 相互独立，记随机变量 Z=X+2Y(1)求 Z 的概率密度；(2)求 E(Z)，D(Z)考研数学（数学三）模拟试卷 419 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 先找出 f(x)的间断点，再用可去间断点的下述定义判别其个数，若f(x0+0)=f(x0 一 0)即 f(x)在 x=x0 处极限存在，但其极限值不等于在该点的函数值，
7、则该点为可去间断点显然，x=0，1，一 1 为 f(x)的间断点，即 f(x)在 x=0，一 1，1 处的极限均存在，且 f(x)在这些点处又无定义，故 x=0，一 1，1均为 f(x)的可去间断点仅(C) 入选2 【正确答案】 D【试题解析】 利用泰勒展开式及相关概念的定义判别之由泰勒公式及题设得到f(x)=f(0)+f(0)x+ f“(0)x3+o(x3)，f(x)一 f(0)= f“(0)x3+o(x3)故当|x|充分小且 x0 时，f(x)一 f(0)0；当 x0 时，f(x)一 f(0)0因而 f(0)不是极值，排除(A)、(B)又将 f“(x)按皮亚诺余项展开，有 f“(x)=f“
8、(0)+f“(0)z+o(x)=f“(0)x+o(x)当|x| 充分小且 x 0 时，f“(x)0(因 f“(0)0)，故曲线 y=f(x)在点(0，f(0)的左侧邻域为凸当 x0 时，因 f“(0)0，故 f“(x)0，则曲线 y=f(x)在点(0，f(0)的右侧邻域为凹仅(D)入选3 【正确答案】 B【试题解析】 利用下述判别法判别 设 f(x)=|x 一 a|(x)，其中 (x)在 x=a 处连续若 (a)=0，则 f(x)在 x=a 处可导且 f(a)=(a)=0；若 (a)0，则 f(x)在 x=a 处不可导 为此，常将函数中含绝对值部分的子函数分解为一次因式|x 一 a|的乘积。因
9、 f(x)可分解成 f(x)=|x(x 2+x 一 2)larctanx=|x(x+2) (x 一 1)| arctanx =|x|x+2|x 一1|arctanx 显然 arctanx 在 x=0，一 2，1 处连续因 |x|x+2|x 一1|arctanx=|x|1(x)， 其中 1(x)|x=0=|x+2|x 一 1|arctanx|x=0=0， 故 f(x)在 x=0 处可导 |x|x+2| x 一 1|arctanx=|x 一 1|(|x|x+2|arctanx)=|x 一 1|2(x)， 而当 x 一 l 时，2(x)|x=1=|x|x+2|arctanx|x=10， 故 f(x)
10、在 x=1 处不可导又 |x|x+2|x 一1|arctanx=|x+2| (|x|x 一 1| arctanx)=|x+2|3(x)， 3(x)|x=一 2=|x |x 一 1|arctanx |x=一20， 故 f(x)在 x=一 2 处不可导仅(B)入选4 【正确答案】 D【试题解析】 D 的示意图如右图所示，需分段求出I 将区域 D 分为两部分，在第一象限的部分记为 D1 ，在第二象限的部分记为 D2(见右图)求出 y=一 x 与 y= 的交点为仅(D)入选5 【正确答案】 D【试题解析】 由所给的矩阵等式观察出 的元素，从而易求出 T因则 =1，一 1，1，1 T ， T=1，一 1
11、，1，1，故 T=1，一 1，1，11，一 1，1，1 T=1?1+(一 1)(一 1)+1 1+11=4仅(D)入选6 【正确答案】 A【试题解析】 可用线性无关的定义证明由于 k 为任意常数，令 k 取某些特殊值也可用排错法判别。 对于任意常数 k，证明(A)成立设 l 11+l22+l33+l4 (k1+2)=0 下证 l4=0若 l40，则 k1+2 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，由题设知 1 能由 1 ， 2 ， 3 线性表示，因而 2 能由 1 ， 2 ， 3 线性表示，这与 1 ， 2 ， 3 ， 2 线性无关相矛盾，所以 l4=0，则上述等式可化为 l11+l22+l33
12、=0 而 1 ， 2 ， 3 线性无关，故 l1=0，l 2=0，l 3=0，所以 1 ， 2 ， 3 ，k 1+2 线性无关仅(A)正确。 当 k=0 时，显然(B)、(C)不成立。 当 k=1 时，(D)不成立事实上，由题设 1 ， 2 ， 3 ， 2 线性无关，如果 1 ， 2 ， 3 ， 1+2 线性相关，而 1 ， 2 ， 3 线性无关，1 ， 1 ， 2 ， 3 线性相关，则 1 能由 1 ， 2 ， 3 线性表示，而 2 不能，于是1+2 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表示，所以(D)不成立，仅 (A)入选7 【正确答案】 C【试题解析】 利用 X 和 Y 不相关的充要条件判别
13、之X 与 Y 不相关的充分必要条件是 PXY=0，即 cov(X，Y)=0cov(X，Y)=cov(X 1+aX2 ，X 1+bX2)=D(X1)+(a+b) cov(X1 ，X 2)+abD(X2)由于 X1 与 X2 独立同分布，有 cov(X1 ，X 2)=0，且 D(X1)=D(X2)于是 因而 a 与 b 互为负倒数仅(C)入选8 【正确答案】 A【试题解析】 利用边缘分布与联合分布的关系及题设 P(X1X2=0)=1 求之由题设有 P(X1X20)=1 一 P(X1X2=0)=1 一 1=0设 X1 的取值为 x1 ，x 2 ，x 3 ，X 2 的取值为 y1 ，y 2 ，y 3
14、，则由 X1 的边缘分布得到 p11+p12+p12=0+p12+0=P(X1=1)= ,则p12= ;p31+p32+p33=0+p32+0=P(X1=1)= ,则 p32= ;又由 X2 的边缘分布得到p11+p21+p31=0+p21+0=P(X2=一 1)= ,则 p21= ;p13+p23+p33=0+p23+0=P(X2=1)= ,则 p23= ;由 X2 的边缘分布得到 p12+p22+p32=1/4+p22+1/4=P(X2=0)=1/2 ，则p22=0故所以 P(x 1=y1)=0，P(x 2=y2)=0，P(x 3=y3)=0，即 P(X1=X2)=0仅(A)入选。二、填空
15、题9 【正确答案】 【试题解析】 y 为幂指函数，为求其导数，可先用取对数法或换底法处理，再用复合函数求导法则求之10 【正确答案】 arctane 一 /4【试题解析】 分母提取因子 n，再使用定积分定义求之=arctanex|01=arctane 一 /411 【正确答案】 【试题解析】 直接先求内层积分无法求出可变更积分次序，再用 r 函数计算较简；也可用分部积分法求之12 【正确答案】 【试题解析】 先求对应的齐次差分方程的通解，再求特解。齐次差分方程 yn+1 一yx=0 的特征方程为 一 =0，解得特征根 = ，故齐次差分方程的通解为(特征根不等于底数)，故其特解为 yx*= 代入
16、原方程得 A= 故所求通解为13 【正确答案】 0056【试题解析】 由定义或同一表格法分别求出 X，Y 与 XY 的分布，再求其期望。由表易知 因此 E(X)=00 40+1060=0 60，E(Y)=(一 1) 018+0 050+1032=0 14，E(X Y)=(一 1)008+0 070+10 22=014从而 cov(X，Y)=E(XY)一 E(X)E(Y)=0 05614 【正确答案】 【试题解析】 利用协方差的有关性质，特别是线性性质求之。由于 Xi ，X j(ij)独立，cov(X i ，X j)=0，又 cov(Xi ，X i)=D(Xi)=2 ，则三、解答题解答应写出文字
17、说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 将上式中的 改为 x，并将上式改写为 f(x)f(1 一 x)一 kf(x)f(1 一x)=0令 g(x)=一f(1 一 x)k ，应作辅助函数 F(x)=f(x)g(x)，则 F(x)=f(x)g(x)=f(x)f(1 一 x)k=f(x)f(1 一 x)k 一 kf(1 一 x) k 一 1f(1 一 x)f(x)令 F(x)=f (x) f (1一 x)k ，则由罗尔定理知，存在 (0，1)使得 F()=0，即 f()f(1 一 )k 一 kf(1一 )k 一 1f(1 一 )f()=0整理即得16 【正确答案】 对应的齐次方程的特征方程为
18、r2+1=0，解得 r=i，则齐次方程的通解为 Y=C 1cosx+C2sirix 因 0i=i 为特征方程的根，故所给方程的特解形式为 y*=x(acosx+bsinx)=axcosx+bxsinx， 代入原方程并比较两边的系数得 a=一 2，b=0 所以 y *=一 2xcosx 于是所给方程的通解为 y=Y+y *=C1cosx+C2sinx 一 2xcosx17 【正确答案】 区域 D 可视为两圆域之差(见右图)，从而所求积分可化为两圆域上的二重积分之差，且用极坐标系计算 设 D1 为大图，D 2为小图，则18 【正确答案】 (1)t 年后平均年产量为得唯一驻点 t=3因当 t3 时，
19、0；当 t3 时， 0，故 t=3 为极大值点因驻点唯一，该点也是最大值点，最大值为 =10e 一 1(2)【试题解析】 首先要算出 t 年后平均年产量的表示式，再按微积分中的一般方法求出极(最) 大值点即可。19 【正确答案】 在等式两边依次对 x，y 求导，有 y (xy)=1yf(t)dt+yf (x)，xf(xy)=xf(y)+1xf(t) dt在式两边对 x 求导得到 f(xy)+xyf(xy)=f(y)+f(x) 取 x=1，由式得到 f(y)+yf(y)=f(y)+3，得 f(y)= ，积分得 f(y)=31ny+C由 f(1)=3，知C=3，所以 f(y)=3(lny+1)，即
20、 f(x)=3(lnx+1) 【试题解析】 在所给等式两边分别对 x，y 求导为去掉积分号需对 x 两次求导，再将 f(1)=3 代入化为 f(y)所满足的一阶微分方程解之，求得 f(y)，即 f(x)20 【正确答案】 关于()和() 的公共解，可以用下列几种方法求之把()、()联立起来直接求解，设联立方程组的系数矩阵为 A，用初等行变换将其化为含最高阶单位矩阵的矩阵，直接写出其基础解系，从而求出所有的非零公共解由于 n 一 r(A)=4 一 3=1，基础解系是一 1，1，2，1 T ，从而方程组()、()有公共解，且所有的非零公共解为 k一 1，1，2，1 T ，k 是任意非零实数：通过(
21、I)与()各自的通解寻找公共解，为此，先求方程组() 的基础解系为 1=0，1，1，0 T ， 2=一 1，一 1，0，1T下求方程组() 的基础解系，由 知，其基础解系含 2 个解向量： 1=0，0，1，0 T ， 2=一 1，1，0，1 T那么k11+k22 ，l 11+l22 分别是 ()、()的通解，令其相等，则有 k10，0，1，0 T+k2 一 1， 1，0，1 T=l10，1 ，1，0 T+l2 一 1，一 1，0，1 T ，由此得 一 k2 ，k 2 ，k 1 ，k 2T=一 l2 ，l 1 一 l2 ，l 1 ，l 2T比较两个向量对应分量得到 k1=l1=2k2=2l2 所
22、有非零公共解是 2k20，0，1，0 T+k2一 1，1，0，1 T=k2一 1，1，2，1 T ，其中 k2 为非零任意常数【试题解析】 两个齐次线性方程组的公共解可用多种方法求得21 【正确答案】 (1)可用反证法证之；(2) 用线性无关定义证明；(3)因 ，A，A 2线性无关，用矩阵表示法可求出 A 的相似矩阵 B，由 |A|=|B|得|2B+3E|=|2A+3E|(1) 证一假设 为 A 的特征向量，则存在 0 ，使 A=0，即A(1+2+3)=0 1+2+3)，得( 1 一 0)1+(2 一 0)2+(3 一 Ao)3=0由 1 ， 2 ， 3 线性无关知 1=0=0， 2 一 0=
23、0， 3 一 0=0，从而有 1=2=3 ，这与已知条件矛盾，因此 不是 A 的特征向量因 1 ， 2 ， 3 是属于不同特征值的特征向量，故 1+2+3 必不是 A 的特征向量(2) 设 k 1+k2A+k3A2=0，则 (k 1+k21+k312)1+(k1+k22+k322)2+(k1+k23+k323)3=0由 1 ， 2 ， 3 线性无关，得因上方程组的系数矩阵的行列式为三阶范德蒙行列式，又因 123 ，故该方程组只有零解，故 k 1=k2=k3=0所以 ，A，A 2 线性无关(3)由题设有 Ap，A，A 2=A，A 2，A 3=A，A 2，A=，A，A 2令 P=令 P=，A ，A
24、 2，则 P 可逆，且于是 P 一 1(2A+3E)P=2B+3E，从而 |2A+3E|=|2B+3E|=22 【正确答案】 (1)泊松分布的分布律为 P(X=x)= x=0，1，2，其最大似然函数为(2)待求参数虽然只有一个，但由于 X 的一阶矩等于零，即 一 +xf(x)dx=0，需考虑其二阶矩一 +x2(x)dx 作矩估计，因而样本二阶矩为故 的矩估计量为【试题解析】 未知参数的矩估计量可用样本原点矩代替同阶的总体原点矩即可，为此，应先求出总体原点矩。为求 的最大似然估计，先写出最大似然函数，再对参数求出其导数令其等于0，求出用样本表示参数的式子23 【正确答案】 由题设 X，Y 相互独
25、立，且先求 Z 的分布函数(参考右图) 为此将 f(x，y)取正值的区域的两个边界点 (0，0) ，(2，0)分别代入 z=x+2y 得到 z=0，z=2因而对 z 需分 z0，0z 2，z2，三种情况讨论：当z0 时， Fz(z)=0；当 0z2 时，F z(z)=P(X+2Yz)=(2)直接用期望、方差的运算性质计算由于 E(X)=1，D(X)=且 X，Y 相互独立，故 E(Z)=E(X+2y)=E(X)+2E(Y)=1+1=2，D(Z)=D(X+2Y)=D(X)+4D(Y)=【试题解析】 (1)先求 Z 的分布函数，根据 Z 的取值范围分段求出，再求概率密度(2)利用 X，Y 的期望和方差的运算法则求之，不宜用 Z 的密度函数用定义法求E(Z)和 D(Z)
