1、考研数学（数学三）模拟试卷 421 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 ，则 f(x)有( )（A）两个可去间断点（B）两个无穷间断点（C）一个可去间断点，一个跳跃间断点（D）一个可去间断点，一个无穷间断点2 设 f(x)满足： 且 f(x)二阶连续可导，则( )（A）x=0 为 f(x)的极小点（B） x=0 为 f(x)的极大点（C） x=0 不是 f(x)的极值点（D）(0 ，f(0) 是 y=f(x)的拐点3 设 为( )（A）（B）（C）（D）4 设 f(x)在 x0 的邻域内三阶连续可导，且 f(x0)=f(x0)=0，f(x 0)0，
2、则下列结论正确的是( ) （A）x=x 0 为 f(x)的极大点（B） x=x0 为 f(x)的极小点（C） (x0，f(x 0)为曲线 y=f(x)的拐点（D）(x 0，f(x 0)不是曲线 y=f(x)的拐点5 设 A，B 及 A*都是 n(n3)阶非零矩阵，且 AB=0，则 r(B)=( ).（A）0（B） 1（C） 2（D）36 设 A，B 为三阶矩阵且 A 不可逆，又 AB+2B=0 且 r(B)=2，则A+4E=( ).（A）8（B） 16（C） 2（D）07 设二维随机变量(X，Y)的联合密度函数为则 k 为( )（A）2（B） 4（C） 6（D）88 已知 E(X)=1，E(X
3、 2)=3，用切比雪夫不等式估计 P一 1X4a，则 a 的最大值为( )（A）（B）（C）（D）二、填空题9 差分方程 yx+1 一 3yx=2.3x 的通解为_10 设 f 可微，f 1(3，2)=2，f 2(3，2)=3，则 dz (2,1)=_11 微分方程 y一 3y+2y=2ex 满足 的特解为_12 已知三阶方阵 A，B 满足关系式 E+B=AB，A 的三个特征值分别为 3，一3，0，则B -1+2E=_13 设 X1，X 2，X n 为来自总体 X 的简单随机样本，其中 E(X)=，D(X)= 2，令U=XXi，V=XX i(ij)，则 LN=_14 随机变量 X 的密度函数
4、f(x)= 。随机变量 Y=ax+bN(0，1)，则ab=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 f(x)连续，且满足 f(x)=(x) 2 一 0X tf(xt)dt，求 f(x)。16 求级数 的收敛域。16 设企业的收入函数为 R(Q)=30QQ2，成本函数为 C(Q)=1+2Q+Q2，其中 Q 是产品的产量，税率为 t。17 求当税前利润最大时产品的产量及产品的价格；18 求当税后利润最大时的税率；19 求当税后利润最大时产品的产量和产品的价格。20 设抛物线 y=ax2+bx+c 过原点，当 0x1 时，y0，又已知该抛物线与 x 轴及直线 x=1 所围图形的
5、面积为 ，试确定 a，b，c 的值，使所围图形绕 x 轴旋转一周而成的旋转体的体积 V 最小。21 计算二重积分 x(y+1)d，其中积分区域 D 由 y 轴与曲线 y= 一 x2，y=围成。21 设 A 为三阶矩阵， 1， 2， 3 是 A 的三个不同的特征值，对应的特征向量分别为 1， 2， 3，令 1+2+3。22 证明：向量组 ，A ，A 2 线性无关；23 如果 A3=A，求秩 r(AE)及行列式A+2E 。23 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=2x1+ax22+2x32+2x1x22bx1x3+2x2x3 经过正交变换化为3y12+3y22。24 求 a，b 的值；25 求正
6、交变换 x=Qy，使二次型化为标准形。25 设连续型随机变量 X 的概率密度为 f(x)= 已知 E(X)=2，P(1 ，求：26 a，b，c 的值；27 随机变量 Y=eX 的数学期望与方差。28 已知总体 X 的概率密度 f(x)= (0)，X 1，X 2，X n 是来自总体 X 的简单随机样本。求 的矩估计量 和最大似然估计量 。考研数学（数学三）模拟试卷 421 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 显然 x=0，x=1 为 f(x)的间断点2 【正确答案】 A【试题解析】 3 【正确答案】 C【试题解析】 选 C4
7、【正确答案】 C【试题解析】 由极限的保号性，存在 0，当 0X x0 时， 当 x(x0，x 0)时，f(x)0；当 x(x0，x 0+)时，f(x) 0，则(x 0，f(x 0)为曲线 y=f(x)的拐点，选 C5 【正确答案】 B【试题解析】 由 B 为非零矩阵得 r(A)n，从而 r(A*)=0 或 r(A*)=1，因为 A*为非零矩阵，所以 r(A*)=1，于是 r(A)=n 一 1又由 AB=0 得 r(A)+r(B)n，从而 r(B)1，再由 B 为非零矩阵得 r(B)1，故 r(B)=1，选 B6 【正确答案】 B【试题解析】 令 B=(1,2,3)，由 AB+2B=0 得 A
8、i=一 2i(i=1，2，3)，由 r(B)=2得 =一 2 至少为 A 的二重特征值，又由 r(A)3 得 3=0，故 1=2=一2， 3=0，A+4E 的特征值为 1=2=2， 3=4，故A+4E=16，应选 B7 【正确答案】 C【试题解析】 得k=6，选 C8 【正确答案】 C【试题解析】 D(X)=2，由切比雪夫不等式得二、填空题9 【正确答案】 y(x)=A3 x+2x3x-1【试题解析】 齐次差分方程 yx+1 一 3yx=0 的通解为 y=A3x，设差分方程 yx+1 一3yx=2.3x 的特解为 y0(x)=Cx3x，将 y0(x)=Cx3x 代入方程 yx+1 一 3yx=
9、2.3x 得 ，故原差分方程的通解为 y(x)=A3x+2x3x-110 【正确答案】 7dx 一 8dy【试题解析】 11 【正确答案】 y=一 3ex+3e2x 一 2xex【试题解析】 特征方程为 2 一 3+2=0，特征值为 1=1， 2=2，y一 3y+2y=0 的通解为 y=C1ex+C2e2x令原方程的特解为 y0(x)一 Axex，代入原方程为 A=一 2，原方程的通解为 y=C1ex+C2e2x 一 2xex 由 ，得 y(0)=0，y(0)=1，代入通解得C1=一 3，C 2=3，特解为 y=一 3eX+3e2X 一 2xeX12 【正确答案】 一 8【试题解析】 因为 A
10、 的特征值为 3，一 3，0，所以 AE 的特征值为 2，一 4，一1，从而 AE 可逆，由 E+B=AB 得(AE)B-E，即 B 与 AE 互为逆阵，则 B 的特征值为 的特征值为 2，一 4，一 1，从而 B 一 1+2E 的特征值为4，一 2，1，于是B 一 1+2E= 一 813 【正确答案】 【试题解析】 14 【正确答案】 1【试题解析】 若随机变量 XN(， 2)，则 N(0 ，1)。由题设 x 的密度函数 f(x)= 可知 x(一 2，2) ，故 N(0 ，1)，从而 a= ，b=。因此 ab=1。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 令 s=
11、xt，得 f(x)=(x) 2 x(x 一 s)f(s)ds，即 f(x)=(x)2x xf(s)ds+xsf(s)ds， 现需要把它转换成微分方程问题。 式两边求导得 f(x)=2(x) xf(s)ds，又式中令 x= 得 f()=0。再对 式求导得 f(x)+f(x)=2。在式中令 x= 得 f()=0。于是问题转化为初值问题 ，其中 y=f(x)。这是二阶线性常系数微分方程，显然有常数特解 y*=2，于是通解为y=C1cosx+C2sinx+2。由 解得 C1=2,C2=0。因此 y=f(x)=2cosx+2。16 【正确答案】 本题可令 t= ，问题转化为求幂级数 的收敛域，先求收敛区
12、间，再考察收敛区间端点的收敛性。令t= ，a n= ，则问题转为幂级数 antn。由，17 【正确答案】 税前利润函数 L(Q)=R(Q)一 C(Q)=一 1+28Q 一 2Q2， 令 L(Q)=284Q=0，得 Q=7，因为 L(Q) Q=7=一 4(Q)=(30 一 Q) Q=7=23。18 【正确答案】 税收函数为 T=Qt，所以税后成本函数为 Ct(Q)=1+2Q+Q2+Qt，税后利润函数为 Lt(Q)=一 1+(28 一 t)Q 一 2Q2，当且仅当 =R(Q)时税后利润最大，由 =R(Q)得 t+2+2Q=302Q，解得 Q= 。此时税后函数为T= (28t 一 t2)，令 T=
13、(282t)=0 得 t=14,又 T t=14=一19 【正确答案】 当 t=14 时，产品的产量 Q= ，此时产品的价格为p= 。20 【正确答案】 由题设知曲线过点(0，0)，得 c=0，即 y=ax2+bx。当 y=ax2bx 绕 x 轴旋转一周时，则从 xxdx 的体积 dv=y2dx，所以旋转体积21 【正确答案】 由直角坐标与极坐标间的关系 x=rcos，y=rsin0，在极坐标(r，)中积分区域 D 可表示为 D1=(r，) 0 ，2cosr2 ，于是22 【正确答案】 设 k1，k 2，k 3 是实数，满足 k1+k2ABk 3A2=0，根据已知有Ai=ii，(i=1，2，3
14、) ，所以AB=A1+A2+A3=11+22+33，A 2=121+222+323，将上述结果代入k1+k2AB+k3A2B=0 可得(k 1+k21+k312)1+(k1+k22+k322)2+(k1+k23+k332)3)3=0。 1， 2， 3 是三个不同特征值对应的特征向量，则三个向量必定线性无关，因此 由于该线性方程组的系数矩阵的行列式 0，因此 k1=k2=k3=0，故 ，A，A 2 线性无关。23 【正确答案】 根据 A3=A 可得 A(，A ，A 2)=(A，A 2，A 3)=(A，A 2，A)=(，A，A 2) ，令 P=(，A，A 2)，则矩阵 P 是可你的，P -1AP=
15、 =B，根据相似矩阵的秩及行列式相等，有 r(A-E)= r(B-E)=2，A+2E =B+2E = =6。24 【正确答案】 令 A= ，则 f(x1，x 2，x 3)=xTAX，因为二次型经过正交变换化为了 3y12+3y22。所以矩阵 A 的三个特征值分别为1=3， 2=3， 3=0，根据矩阵特征值的和是矩阵的迹(对角元素的和)，特征值的乘积是矩阵行列式的值，即有 1+2+3=4+a=6，得 a=2， 123=A= 2(b+2)(b一 1)=0，得 b=一 2 或 b=1。因为当 b=一 2 时，A= ，因为3EA=90，所以 a=2，b=1。25 【正确答案】 当 1=2=3，解线性方
16、程组(3EA)x=0 ，得 1= ， 2= ；当 3=0，解线性方程组(0EA)x=0 ，得 3= 。则存在正交变换 x=Qy，使二次型化为标准形 3y12+3y22。26 【正确答案】 由概率密度的性质，即 f(x)dx=1，可得 1=02axdx 24(cxb)dx=2a6c 2b。根据已知条件，有 。联立以上三个等式可得 a= ，b=1，c= 。27 【正确答案】 Y=e X 的数学期望为因此 Y= eX 的方差为 D(Y)=E(Y2)-E(Y) 228 【正确答案】 由已知，E(X)=,所以 的矩估计量。似然函数当 xi2(i=1 ，2，n)时，对数似然函数 ，令，解得 。故 的最大似然估计量。
