1、考研数学（数学三）模拟试卷 423 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 f(x)在点 x0 的某邻域内有定义，且 f(x)在点 x0 处间断，则在点 x0 处必定间断的函数为( )（A）f(x)sinx 。（B） f(x)+sinx。（C） f(x)。（D）f(x)。2 设 f(x)=0xarctan(t 一 x)2dt，g(x)= 0sinx(3t2+t3cost)dt，当 x0 时，f(x)是 g(x)的( )（A）高阶无穷小。（B）低阶无穷小。（C）等价无穷小。（D）同阶而非等价无穷小。3 设 f(x，y)=g(x，y)x 一 y，g(x
2、，y)在(0 ，0)的某邻域内连续，则 g(0，0)=0是 fx(0，0)，f y(0，0)存在的( )（A）充分非必要条件。（B）必要非充分条件。（C）充要条件。（D）既非充分又非必要条件。4 设 ， ， 均为大于 1 的常数，则级数 ( )（A）当 a 时收敛。（B）当 a 时收敛。（D）当 1 未知，X 1，X n 是来自总体 X 的简单随机样本。26 求 的矩估计量和极大似然估计量；27 求上述两个估计量的数学期望。考研数学（数学三）模拟试卷 423 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 方法一：若 f(x)+sinx
3、 在点 x0 处连续，则f(x)+sinx一 sinx 在点 x0 处也是连续的，与已知矛盾，因此 f(x)+sinx 在点 x0 处必定间断。方法二：用排除法。设 f(x)= 则 f(x)在点 x=0 处间断，f(x)sinx=0 在 x=0 处连续，若 f(x)=f(x)在点 x=0 处间断，但 f(x)=1， f(x)=1 在 x=0 处连续。可排除选项 A、C、D。故选 B。2 【正确答案】 D【试题解析】 本题考查无穷小量的比较，即求极限 。先作变量替换 f(x)=。则由洛必达法则故选 D。3 【正确答案】 C【试题解析】 由偏导数定义 fx(0，0)=。由于当，故要使 fx(0，0
4、)存在，当且仅当 g(0，0)=0 故选 C。4 【正确答案】 B【试题解析】 这里有三种类型的无穷大量：n (0)，q n(q1)，ln n(1)，当n+，它们的关系是 =0， =0。现将此正项级数的一般项进行变形：，其中若 anb n(n+) ，则有 =1。 收敛 1，即 。因此原级数收敛 5 【正确答案】 B【试题解析】 将 A 的 2，3 两行对调，再将第 1 列的一 2 倍加到第 3 列得矩阵 B，于是有 B= =P1AP21 。故选 B。6 【正确答案】 D【试题解析】 首先要求伴随矩阵的秩，由于 Ax=0 的基础解系中仅含有一个向量，因此 r(A)=3，从而 r(A*)=1，可知
5、 A*x=0 的基础解系中有 3 个解向量。 由于(1，0， 1，0) T 是 Ax=0 的一个基础解系，所以 A(1，0，1，0) T=0，且 A 的秩为3，即 1+3=0 且A=0，由此可知 A*A=A E=0，即 A*(1， 2， 3， 4)=0，所以 1， 2， 3， 4 是 A*x=0 的解。 由于 r(A)=3， 1+3=0，所以2， 3， 4 线性无关，即 2， 3， 4 可作为 A*x=0 的基础解系，故选 D。7 【正确答案】 D【试题解析】 设 X1U(0，1)，X 2U(1 ，2)，则即可排除选项A、B、C。对于选项 D，满足 f1(x)F2(x)+f2(x)F1(x)0
6、，且 f1(x)F2(x)+f2(x)F1(x)dx=F1(x)F2(x) =1。因此选项 D 可作为概率密度。故选 D。对于选项D，满足 f1(x)F2(x)+f2(x)F1(x)0，且 f1(x)F2(x)+f2(x)F1(x)dx=F1(x)F2(x) =1。因此选项 D 可作为概率密度。故选 D。8 【正确答案】 A【试题解析】 因为 f(x，y)= 由对称性 E(X)=E(Y)=0， E(XY)=0。于是 Cov(X，Y)=E(XY)E(X)E(Y)=0，从而 xy=0，即 X 与 Y 不相关。又 fX(x)= f(x，y)dy 同理 fY(y)=故 f(x，y)f X(X)fY(y
7、)，即 X 与 Y 不独立，故选 A。二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 本题仅知函数 f(x)在点 x0 处可导，所以应用导数的定义求 。由已知由上得 。10 【正确答案】 【试题解析】 11 【正确答案】 【试题解析】 将 x=e，y=0 代入得 z=1x=ze y+z 两边求微分得 dx=zey+zdy+(z+1)ey+zdz，将 x=e，y=0，z=1 代入得12 【正确答案】 【试题解析】 因为 为奇函数，所以13 【正确答案】 【试题解析】 特征方程为 2 一 23=0 ，特征值为 1=一 1， 2=3，则方程 y一2y一 3y=0 的通解为 y=C1e-x+C2e3x令原方
8、程的特解为 y0(x)=Axe-x，代入原方程得，于是原方程的通解为14 【正确答案】 1【试题解析】 由 AX=0 有非零解得 r(A)3，从而 =0 为 A 的特征值， 1=(m，一m，1) T 为其对应的特征向量；由(A+E)X=0 有非零解得 r(A+E)3，A+E =0，=一 1 为 A 的另一个特征值，其对应的特征向量为2=(m，1，1m) T，因为 A 为实对称矩阵，所以 A 的不同特征值对应的特征向量正交，于是有 m=1三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 原式【试题解析】 本题考查运用洛必达法则求解“ ”型未定式的极限。16 【正确答案】 积分
9、中值定理：设函数 f(x)在a ，b上连续，则在(a，b)内至少存在一点 ，使得 abf(x)dx=f()(ba)，即 f()= abxf(x)dx，且称 f()为函数 f(x)在区间a，b上的平均值。要证 abxf(x)dx abf(x)dx 等价于证明 ab(x )f(x)0。又 I=，由积分中值定理，存在 1a， ， 2 ，b使由于f(x)单调增加，从而 f(2)f(1)，故 I0。得证。17 【正确答案】 令 u=t2-x2，则 du=2tdt， 0xtf(t2-x2)dt= -x20f(u)du，故，再令 t=x 2，则，即 t0f(u)= ，等式两边同时对 t 求导，得 f(t)=
10、 (t0)，故 f(x)= (x0)，f (x)= 。当 x3 时，f 0；当3x0 时，f 0。所以 x=3 时，f(x) 取得极小值 f(3)= 。18 【正确答案】 收敛半径 R= ，当x=1 时，级数 发散，当 x=1 时，级数发散，故幂级数 的收敛域为(1，1)。其和函数 S(x)19 【正确答案】 由于积分区域关于两个坐标轴都是对称的，因此只要被积函数关于 x，y 有一个是奇函数，该积分值就等于 0，故，由于积分区域关于直线 y=x 是对称的，故有 ，可知，因此原式= 。对该积分式使用极坐标计算可得 。20 【正确答案】 因为线性方程组(I)()有公共的非零解，所以它们的联立方程组
11、()有非零解，即 ()系数矩阵 A 的秩小于 4。对矩阵 A 进行初等行变换，得 A=所以 a=一 2，b=3。且 r(A)=3。此时可解方程组 得 =(0，2，一 3，1) T，即为()的一个非零解。又 r(A)=3，所以 构成()的基础解系。因此，(I) 和()的全部公共解为 k(0，2，一 3，1) T(其中k 为任意常数)。21 【正确答案】 二次型矩阵为 A= ，由二次型的标准形f=y12+6y22+by32，可知该二次型矩阵的特征值为 1=1， 2=6,3=b，根据特征值的和与乘积的性质可得方程组 即 解得22 【正确答案】 二次型矩阵 A= 的特征值为 1=1， 2=6， 3=一
12、 6。根据(EA)x=0 得特征值 1=1 对应的特征向量为 1= ；根据(6E A)x=0 得特征值 2=6 对应的特征向量为 2= ；根据(一 6EA)x=0 得特征值 3=一 6 对应的特征向量为 3= ；由于不同特征值所对应的特征向量必正交，故只需单位化，得 1= ， 2= ， 3= 于是正交变换矩阵为 Q=且 Q TAQ= 。23 【正确答案】 根据边缘概率密度的定义24 【正确答案】 当 zZ(z)=0；当 0z2 时，F Z(z)=；当 2Z(z)=1。因此FZ(z)=25 【正确答案】 X，Y 所围区域如图所示26 【正确答案】 总体 XU(1，)，其概率密度为 f(x,)= ，由 ，解得 =2 1，故 的矩估计量为 。似然函数L()= ，L() 递减，又 x1，x n(1，)，故 的极大似然估计量为 =maxX1，X n。27 【正确答案】 。 =maxX1，X n的分布函数
