1、考研数学（数学三）模拟试卷 424 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)=0sinxsint2，g(x)=x 3+x4，当 x0 时，f(x)是 g(x)的( )。（A）等价无穷小（B）同阶但非等价无穷小（C）高阶无穷小（D）低阶无穷小2 设 f(x)连续可导，且 f(0)为 f(x)的极值，则( )（A）当 f(0)=0 时，f(0) 是 f(x)的极小值（B）当 f(0)=0 时，f(0)是 f(x)的极大值（C）当 f(0)0 时，f(0) 是 f(x)的极大值（D）当 f(0)0 时，f(0)是 f(x)的极小值3 设 则f(x，y
2、)在点(0，0)处( )（A）连续，但不可偏导（B）可偏导，但不连续（C）连续、可偏导，但不可微（D）可微4 下列命题正确的是( ) （A）若 收敛（B）对级数 发散（C）若 绝对收敛（D）若 发散5 设 A，B 为 n 阶矩阵，则下列结论正确的是( )（A）若 A2B 2，则 AB（B）矩阵 A 的秩与 A 的非零特征值的个数相等（C）若 A，B 的特征值相同，则 AB（D）若 AB，且 A 可相似对角化，则 B 可相似对角化6 设向量组 1,2,3 线性无关， 1 不可由 1,2,3 线性表示，而 2 可由 1,2,3 线性表示，则下列结论正确的是( )（A） 1， 2， 2，尼线性相关（
3、B） 1， 2， 2 线性无关（C） 1,2,3， 1+2 线性相关（D） 1,2,3， 1+2 线性无关7 设 则( )（A）事件 A，B 独立且（B）事件 A，B 独立且（C）事件 A，B 不独立且（D）事件 A，B 不独立且8 设连续型随机变量 x 的概率密度 f(x)为偶函数，且 F(x)=-x(t)dt，则对任意常数a0，P X a)为( ) （A）22F(A)（B） 1 一 F(A)（C） 2F(A)（D）2F(A)一 1二、填空题9 曲线 y= 的斜渐近线为_。10 设 f(x，y， z)=exyz2 是由 x+y+z+xyz=0 确定的隐函数，其中 z=z(x，y)，则fx(0
4、，1，1)=_。11 差分方程 yx1 2y x=32x 的通解为 y(x)=_。12 设某商品的需求函数是 Q= 4，则需求 Q 关于价格 p 的弹性是_。13 设 n 阶矩阵 A 满足 A2+A=3E，则(A 3E) 1 =_。14 设 X1，X 2，X n 为独立同分布于参数 的泊松分布，则=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 设某厂生产甲、乙两种产品，当这两种产品的产量分别为 x 和 y(单位：吨)时的总收益函数为 R(x，y)=27x+42y 一 x2 一 2xy 一 4y2，总成本函数为 C(x，y)=36+12x+8y(单位：万元)。除此之外，生产甲种产品
5、每吨还需支付排污费 1 万元，生产乙种产品每吨还需支付排污费 2 万元。15 在不限制排污费用支出的情况下，这两种产品的产量各为多少时总利润最大?总利润是多少?16 当限制排污和费用支出总量为 6 万元的情况下，这两种产品的产量各为多少时总利润最大? 最大利润是多少？17 设 u=f(x2+y2，xz)，z=z(x ，y) 由 ex+ey=ez 确定，其中 f 二阶连续可偏导，求17 设某工厂产甲、乙两种产品，设甲、z,N 种产品的产量分别为 x 和 y(吨)，其收入函数为 R=15x+34yx2 一 2xy 一 4y2 一 36(万)，设生产甲产品每吨需要支付排污费用 1 万，生产乙产品每吨
6、需要支付排污费用 2 万18 将函数 f(x)= 在区间(一 1，1)上展开成 x 的幂级数。19 计算二重积分 ，其中 D 是由直线 x=一 2，y=0，y=2 以及曲线 x=一所围成的平面图形。20 求幂级数 的收敛域与和函数21 1 能 2， 3， 4 否由线性表示；22 4 能否由 1， 2， 3 线性表示，并说明理由。23 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+x22+x32+2ax1x2+2x1x3+2bx2x3 的秩为 1，且(0，1，一1)T 为二次型的矩阵 A 的特征向量 (I)求常数 a，b； (II) 求正交变换 X=QY，使二次型 XTAX 化为标准形24 设随
7、机变量 X 的分布律为 P(X=k)一 p(1p) k-1(k=1，2，)，y 在 1k 之间等可能取值，求 PY=3)25 计算条件概率密度 fyx (yx)；26 计算 Z=X+Y 的概率密度。26 设总体 XN( 1， 2)， YN( 2， 2)。从总体 X，Y 中独立地抽取二个容量为m，n 的样本 X1，X m 和 Y1，Y n。记样本均值分别为 。令 Z=C( 1)2+( 22，已知 E(Z)=2 求：27 C；28 z 的方差 D(Z)。考研数学（数学三）模拟试卷 424 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 因为
8、 ，所以正确答案为 B2 【正确答案】 A【试题解析】 因为 f(x)连续可导，所以由 得 f(0)+f(0)=0当f(0)0 时，因为 f(0)0，所以 f(0)不是极值，C，D 不对；当 f(0)=0 时，f(0)=0，由 得f(0)=10，故 f(0)为 f(x)的极小值，选 A3 【正确答案】 D【试题解析】 由 得 f(x，y)在(0，0)处连续故 f(x，y)在(0， 0)处可微，应选 D4 【正确答案】 C【试题解析】 若 ，收敛，则a n有界，即存在 M0，使得a nM，于是有0a nbnM.b n，由绝对收敛，选C5 【正确答案】 D【试题解析】 由 AB 得 A，B 的特征
9、值相同，设为 1， 2， n，且存在可逆矩阵 P1，使得 P1 一 1AP1=B，即 A=P1BP1 一 1；因为 A 可相似对角化，所以存在可逆矩阵 P2，使得 P2 一 1AP2= 即 于是有6 【正确答案】 D【试题解析】 因为 1 不可由 1,2,3 线性表示，而 2 可由 1,2,3 线性表示，所以1+2 不可由 1,2,3 线性表示，从而 1,2,3， 1+2 线性无关，故选 D7 【正确答案】 C【试题解析】 由 得 P(A)=P(B)，再由因为 P(AB)P(A)P(B)，所以 A，B 不独立，故选 C8 【正确答案】 A【试题解析】 P( Xa)=1 一 P(1 X la)=
10、1 一 P(一 aXa)=1 一 F(a)+F(一 a)，所以 PX a)=2 2F(a)，选 A二、填空题9 【正确答案】 y=2x 一 4【试题解析】 即求极限 k= 和 b= (ykx)斜渐近线的斜率：，斜渐近线的截距：故曲线 Y= 的斜渐近线为 y=2x 一 4。10 【正确答案】 1【试题解析】 z 是关干 x，y 的函数，因此 f(x，y，z)=e xyZ2 两边对 x 求偏导可得，f x(x，y，z)f z(x，y，z) =exyz22e xyz ，x+y+z+xyz=0 两边对 x 求偏导可得 ，于是可得 =0，故 fx(0，1，一 1)=1。11 【正确答案】 C2 x+ x
11、2x，其中 C 为任意常数【试题解析】 原方程对应齐次差分方程 yx1 一 2yx=0 的通解为 Y=C2x，又 f(x)=32x，因为 2 是其特征值，所以特解形式可设为 yx*=ax2x，代入原方程可得 a=。故原差分方程的通解为 y(x)=C2x+ x2x，其中 C 为任意常数。12 【正确答案】 【试题解析】 根据弹性函数的定义，则需求 Q 关于价格 p 的弹性为 ，即。13 【正确答案】 (A4E)【试题解析】 由 A2+A=3E，得 A2+A 一 3E=0，分解得(A 一 3E)(A+4E)=一 9E，两边除以一 9 可得，(A 一 3E) (A+4E)=E，因此可知(A 一 3E
12、)1 = (A+4E)。14 【正确答案】 【试题解析】 已知 X1，X 2，X n 为独立同分布于参数 的泊松分布，因此可得E(Xi)=D(Xi)=(i1，2， )，从而可知 Xi 近似服从分布 N(n，n)，标准化为近似服从 N(0，1)，故 。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 总利润函数 L(x，y)为 L(x，y)=R(x，y)一 C(x，y)一 x 一2y=14x+32y 一 x2 一 2xy 一 4y2 一 36。求 L(x，y)的驻点，令可解得唯一驻点 x=4，y=3。因驻点唯一，且实际问题必有最大利润，故计算结果表明，在不限制排污费用支出的情
13、况下，当甲、乙两种产品的产量分别为 x=4(吨)和 y=3(吨)时，总利润达到最大值，且 maxL=L(4，3)=40(万元)。16 【正确答案】 应求总利润函数 L(x，y)在约束条件 z+2y=6 下的最大值，可用拉格朗日乘数法。引入拉格朗日函数 F(x，y，)=L(x，y)+(x+2y6)，并求F(x，y，) 的驻点，令 可解得唯一驻点 x=2，y=2 。因驻点唯一，且实际问题必有最大利润，故计算结果表明，在排污费用限于 6 万元的情况下，两种产品的产量均为 2 吨时总利润最大，最大利润为 maxL=L(2，2)=28万元。17 【正确答案】 由 ex+ey=ez 得18 【正确答案】
14、要记住下列常见函数的幂级数展开形式：f (x) 注意到 f(0)=0。将上式由 0 到 x 积分得 F(x)=x 。19 【正确答案】 方法一：在直角坐标系下化为累次积分计算，选取先对 x 积分再对 y 积分的顺序。题中所给区域如图所示：令 y-1=sinx，则。于是可得 。方法二： 方法三：根据图像可以看出积分区域关于直线 y=1 上下对称，则 ，故 。20 【正确答案】 21 【正确答案】 非齐次线性方程组解的判定：设 A 是 mn 矩阵，则 n 元非齐次线性方程组 Ax=b 无解的充分必要条件是系数矩阵 A 的秩不等于增广矩阵 的秩，即 r(A)r( )。 设 A 是 mn 矩阵，则 n
15、 元非齐次线性方程组 Ax=b 有唯一解的充分必要条件是系数矩阵 A 的秩和增广矩阵 的秩都等于未知量的个数 n，即r(A)=r( )=n。设 A 是 mn 矩阵，则 n 元非齐次线性方程组 Ax=b 有无穷多解的充分必要条件是系数矩阵 A 的秩等于增广矩阵 的秩且小于未知量的个数 n，即r(A)=r( )i 为所给方程组的增广矩阵的列向量，将方程组改写成列向量形式：x11+x22+x33+x44=5，对应的齐次线性方程组为 =0，x 11+x22+x33+x44 (*)因为(1， 1，2，0) 为方程组(*)的解，将其代入得到 1 1+(1) 2+2 3+0 4=1 一2+23=0，即 1=
16、2 一 23+0 4，因而 1 可由 2， 3， 4 线性表示。22 【正确答案】 由题意可知方程组(*)的基础解系只含有一个解向量，故 r(A)=n1=41=3，因而 A 的列秩等于 3。因为可由 2， 3， 4 线性表示，故3=r(2， 3， 4)=r(1， 2， 3， 4)=r(1， 2， 3)+1，因而 4 不能由1， 2， 3 线性表示。23 【正确答案】 24 【正确答案】 令 AK=X=k)(k=1，2，)，B=Y=3)，P(BA 1)=P(BA 2)=0，25 【正确答案】 设二维连续型随机变量(X，Y)的联合密度函数为 f(x，y)，边缘概率密度分别为 fX(x)和 fY(y)，则随机变量 X 和 Y 相互独立的充要条件是 f(x，y)f X(x)f Y(y)。关于 X 的边缘密度 fX(x)= 条件概率密度 fYX (y x)=26 【正确答案】 Z=X+Y 的取值范围为(0 ，+) 。当 z0 时，F Z(z)=0。当 z0 时，FZ(z)=PZz=P X+Yz= f(x，y)dxdy= 因此 fZ(z)=F(z)=27 【正确答案】 需要构造 X2 分布，运用一些常见统计量的相关结论，如螋，其中 n 为样本个数。由于又有 ，故 2 则 C= 。28 【正确答案】 因 N(0，1)。故 X 2(1)，从而。同理，。故
