1、考研数学（数学三）模拟试卷 425 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设当 x0 时，有 ax3+bx2+cx 0ln(12x) Sintdt，则( )（A）a= ， b=1，c=0。（B） a= ，b=1，c=0 。（C） a= ，b=1，c=0 。（D）a=0 ，b=2，c=0。2 下列广义积分收敛的是( )3 设函数 f(x， y)连续，则二次积分 =( )4 下列级数中收敛的有( )（A） 。（B） 。（C） 。（D） 。5 设矩阵 A= ，矩阵 B 满足 AB+B+A+2E=0，则B+E=( )（A）6。（B） 6。（C） 。（D） 。6
2、设 1， 2， 3， 4， 5 都是四维列向量，A=( 1， 2， 3， 4)，非齐次线性方程组Ax=5 有通解 k+=k(1，1，2，0) T+(2，1，0，1) T，则下列关系式中不正确的是( )（A）2 1 2 4 5=0。（B） 5 42 33 1=0。（C） 1 2+23 5=0。（D） 5 44 333 2=0。7 设相互独立的随机变量 X 和 Y 均服从 P(1)分布，则 PX=1X+Y=2的值为( )8 设 X1，X n 是取自正态总体 N(， 2)的简单随机样本，其均值和方差分别为X，S 2，则下列服从自由度为 n 的 X2 分布的随机变量是 ( )二、填空题9 _。10 设
3、 z=f(x，y)连续，且 则 dz (1,2)=_11 =_.12 设 f(x，y)满足 f(x，1)=0，f y(z，0)=sinx，f yy(x，y)=2x，则 f(x，y)=_13 微分方程 ysinx=ylny 满足初始条件 的特解为_14 设 则B*A=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 设 y=y(x)(x0)是微分方程 2y+y一 y=(46x)e-x 的一个解，且 15 设 =f(x，y，z)有连续偏导数，y=y(x)和 z=z(x)分别由方程 exyy=0 和 ezxz=0所确定，求 。16 计算二重积分 dxdy，其中积分区域 D=(x，y) 0x1
4、，0y1 。17 设 f(x)在0，1上二阶连续可导，且 f(0)=f(1)证明：存在 (0，1)，使得18 设 f(x)为 一 a，a 上的连续的偶函数且 f(x)0，令 F(x)=-aax 一 t(t)dt (I) 证明：F(x)单调增加 ( )当 x 取何值时，F(x) 取最小值? () 当 F(x)的最小值为 f(A)一a2 一 1 时，求函数 f(x)18 某商品产量关于价格 p 的函数为 Q=75 一 p2，求：19 当 p=4 时的边际需求，说明其经济意义；20 当 p=4 时的需求价格弹性，说明其经济意义；20 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+x22+x33+2a
5、x1x2+2x1x3+2bx2x3 的秩为 1，且(0，1，一1)T 是二次型矩阵的特征向量，21 求参数 a， b；22 求正交变换 x=Qy，把二次型化为标准形 f(x1，x 2，x 3)；23 求 f(x1，x 2，x 3)的合同规范形。23 从数集1，2，3，4， 5，6 中任意取出一个整数 X，用 Y 表示数集中能整除 X的正整数个数，试求：24 Y 的概率分布；25 X 与 Y 的联合概率分布；26 X 与 Y 的相关系数 。26 已知随机变量 X 服从指数分布 E(1)，当 X=(X0)时，y 服从指数分布 E(X)。27 求 Y 的边缘概率密度 fY(y)；28 求条件概率密度
6、 fXY (xy)。考研数学（数学三）模拟试卷 425 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 已知 ax3+bx2+cx 0ln(12x) sintdt，因此有，可知 c=0。又，得 a=0，b=2 故选 D。2 【正确答案】 C【试题解析】 选项 A 中，因此该积分发散。选项B 中， ，该积分发散。选项 C 中， ，该积分收敛。选项 D 中，该积分发散。故选 C。3 【正确答案】 B【试题解析】 根据已知可知积分区域为 D=(x，y) x，sinxy1，据此画出积分区域的图形如下图所示： 在区域 D 中最高点纵坐标为 y=1
7、，最低点纵坐标为 y=0，左边界方程为 x=siny，右边界方程为x=，因此 ，故选 B。4 【正确答案】 B【试题解析】 对于， ，即0，不符合级数收敛的必要条件，故级数是发散的。对于 ，由等价无穷小代换与洛必达法则可得 于是当n时， ，进一步可知e 一(1+ )n ，因此级数 收敛。对于，因为 ，级数 与 均收敛，而 ，所以级数收敛。对于，因为根据比较审敛法可知级数发散。综上所述，收敛的级数为 ，。故选 B。5 【正确答案】 C【试题解析】 化简矩阵方程向 B+E 靠拢，用分组分解因式有 (AB+A)+(B+E)=E，即(A+E)(B+E)= E， 两边取行列式，用行列式乘法公式得A+E
8、B+E=1，又A+E= =12，因此BE= 故选C。6 【正确答案】 C【试题解析】 根据非齐次线性方程组有通解 k+ 可知 5=(1， 2， 3， 4)(k+)=(1， 2， 3， 4) =(k+2)1(1 一 k)2 2k3 4。即 5(k+2) 1 一(1一 k)2 一 2k3 一 4=0，其中 k 是任意常数，即 1， 2， 3， 4， 5 线性相关，上式线性组合中必须含有 4 和 5，而选项 C 没有 4。当 k=0 时选项 A 成立；k=1时选项 B 成立；k=一 2 时选项 D 成立。故选 C。7 【正确答案】 A【试题解析】 根据条件概率的定义PX 1XY2PX1，Y1= PX
9、1PY 1=e -1 e-1= e-2。因此PX 1XY2 。故选 A。8 【正确答案】 D【试题解析】 由于总体 XN(， 2)，因此 X 2(n 一 1)。又因为，因此 。 ，S 2是相互独立的，根据 X2 分布的可加性，可知 服从自由度为 n 的 X2 分布。故选 D。二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 常用的等价无穷小代换有 x0 时，xsinxarcsinxtanx arctanxln(1+x)e x 一1 ，1-cosx x2，xsinx x3。=。10 【正确答案】 2dx-dy【试题解析】 11 【正确答案】 【试题解析】 交换积分次序得12 【正确答案】 xy 2+ys
10、inx-x-sinx【试题解析】 由 fyy(x，y)=2x 得 fy(x，y)=2xy+(x) ，因为 fy(x，0)=sinx，所以(x)=sinx，即 fy(x，y)=2xy+sinx，再由 fy(x，y)=2xy+sinx 得 f(x，y)=xy2+ysinx+(x)，因为 f(x，1)=0，所以 (x)=一 xsinx，故 f(x，y)=xy 2+ysinx一 x 一 sinx13 【正确答案】 y=e cscx-cotx【试题解析】 14 【正确答案】 【试题解析】 因为 B=AE12(2)E13，所以B= AE 12(2)E 13=一 3，又因为 B*=BB 一 1，所以 B*=
11、一 3E13 一 1E12 一 1(2)A 一 1=一 3E13E12(一 2)A 一 1，三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 由题设有 。 (*)在 exyy0 中，将y 视为 x 的函数，两边对 x 求导，得在 ezxa=0 中，将 z 视为 x 的函数，两边对 x 求导，得将(1)、(2)两式代入(*)式，得16 【正确答案】 二重积分的计算步骤：第一步：画出积分区域 D 的草图；第二步：选择坐标系；选取坐标系的原则：依据积分区域 D 的草图形状。当区域 D 的边界是分段直线、一般的曲线时选用直角坐标系，这时的面积元素为 d=dxdy；而当区域 D 的边
12、界是圆或是圆弧及由圆心出发的射线时一般选用极坐标系，这时的面积元素为 d=rdrd；有时也要参照 f(x，y)的形式，若 f(x，y)=f(x 2+y2 )或 f( )或f( )时，也可以考虑用极坐标。第三步：选择积分次序；遵循的原则：(a)先积容易积分的并能为后面积分创造条件； (b)对 D 的划分越少越好。第四步：确定累次积分限； 定限口诀：后积先定限(常数)，限内画条线(与先积分变量对应坐标轴同向)，先交为下限，后交为上限(此上、下限是后积分变量的函数)。积分区域 D 如图所示，则17 【正确答案】 令 F(x)=0xf(t)dt，则 F(x)三阶连续可导且 F(x)=f(x)，由泰勒公
13、式得18 【正确答案】 因为 F(x)=2f(x)0，所以 F(x)为单调增加的函数()因为 F(0)=-a0f(x)dx 一 0af(x)dx 且 f(x)为偶函数,所以 F(0)=0，又因为 F(0)0，所以 x=0 为 F(x)的唯一极小点，也为最小点故最小值为 F(0)=-aatf(t)dt 一 2 0atf(t)dt19 【正确答案】 边际需求函数为 当 P=4 时，边际需求为其经济意义在于，在价格为 P=4 时，若价格提高一个单位，则需求量减少 8 个单位20 【正确答案】 需求价格弹性函数为 当 P=4 时，需求价格弹性为 其经济意义在于，在价格 P=4 的基础上，若价格提高1，
14、则产品的需求量就减少 05421 【正确答案】 二次型的矩阵为 A= ，二次型的秩为 1，从而该矩阵的秩为 1，也即该矩阵各行各列是成比例的，由此可得 a=b=1 或 a=b=1。再由A 可得 a=b=1。22 【正确答案】 A= ，特征值为 0， 0，3。解线性方程组 Ax=0 得1= ， 2= ，正交化得 1=1= ， 1=1，单位化得 1=，解线性方程组(A-3E)x=0 得 3= ，单位化得 3= 。Q=。令 x=Qy 可将二次型化为 f=3y32。23 【正确答案】 f(x 1，x 2，x 3)的正惯性指数为 1，负惯性指数为 0，因此合同规范形为 z12。24 【正确答案】 将 X
15、、Y 取值情况列表如下：由此即可求出Y 的概率分布，即 Y 。25 【正确答案】 由乘法公式 pij=PX=i，Y=j=Px=iPY=jX=i与 X 的概率分布：PX=i= ，i=1 ，2，6，可以求出(X， Y)的联合概率分布。列表如下：在这里，条件概率PY=jX=i的值非 0 即 1。比如，在 X=2 的条件下，Y 的取值必然是 2，即PY=2X=2=1，PY=jX=2=0，j=1 ，3，4。26 【正确答案】 上述联合分布表中最后一列与最下一行分别表示关于 X 和关于 Y的边缘分布，容易计算出27 【正确答案】 由题意可知 X 的边缘概率密度为 FX(x)= X=x(x0)时，Y 的条件概率密度为 fYX (yx)= 由于 fYX (yx)= (x0)。所以 x0 时，有 f(x，y)=f YX (yx)f X(x)=当 x0 时，由于 fX(x)=0，可知 f(x，y)=0，从而 f(x，y)=根据公式 fY(y)= f(x，y)dx 有：当 y0 时，f Y(y)=0，当y0 时， f Y(y)= ，可知 f Y(y)=28 【正确答案】 当 y0 时，f XY (xy)= =(1y) 2f(x，y)=
