1、考研数学（数学三）模拟试卷 426 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 ，则 f(x)有( )（A）两个可去间断点（B）两个无穷间断点（C）一个可去间断点，一个跳跃间断点（D）一个可去间断点，一个无穷间断点2 设 f(x)满足： 且 f(x)二阶连续可导，则( )（A）x=0 为 f(x)的极小点（B） x=0 为 f(x)的极大点（C） x=0 不是 f(x)的极值点（D）(0 ，f(0) 是 y=f(x)的拐点3 设 为( )（A）（B）（C）（D）4 设 f(x)在 x0 的邻域内三阶连续可导，且 f(x0)=f(x0)=0，f(x 0)0，
2、则下列结论正确的是( ) （A）x=x 0 为 f(x)的极大点（B） x=x0 为 f(x)的极小点（C） (x0，f(x 0)为曲线 y=f(x)的拐点（D）(x 0，f(x 0)不是曲线 y=f(x)的拐点5 设 A，B 及 A*都是 n(n3)阶非零矩阵，且 AB=0，则 r(B)=( ).（A）0（B） 1（C） 2（D）36 设 A，B 为三阶矩阵且 A 不可逆，又 AB+2B=0 且 r(B)=2，则A+4E=( ).（A）8（B） 16（C） 2（D）07 设二维随机变量(X，Y)的联合密度函数为则 k 为( )（A）2（B） 4（C） 6（D）88 已知 E(X)=1，E(X
3、 2)=3，用切比雪夫不等式估计 P一 1X4a，则 a 的最大值为( )（A）（B）（C）（D）二、填空题9 曲线 在 t=0 对应点处的法线方程为_10 差分方程 yx+1 一 3yx=2.3x 的通解为_11 设 f 可微，f 1(3，2)=2，f 2(3，2)=3，则 dz (2,1)=_12 微分方程 y一 3y+2y=2ex 满足 的特解为_13 已知三阶方阵 A，B 满足关系式 E+B=AB，A 的三个特征值分别为 3，一3，0，则B -1+2E=_14 设 X1，X 2，X n 为来自总体 X 的简单随机样本，其中 E(X)=，D(X)= 2，令U=XXi，V=XX i(ij)
4、，则 LN=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 令 x=cost(0t)将方程(1x 2)y一 xy+y=0 化为 y 关于 t 的微分方程，并求满足 y x=0=1，y x=0=2 的解16 设 f(x)二阶可导，f(0)=f(1)=0，且 f(x)在0 ，1上的最小值为一 1证明：存在(0， 1)，使得 f()817 求二重积 ，其中 D=(x，y)0y1-x，0x118 某企业生产某种商品的成本函数为 C=a+bQ+cQ2，收入函数为 R=lQ 一 sQ2，其中常数 a，b， c，l，s 都是正常数，Q 为销售量，求： (I)当每件商品的征税额为 t时，该企业获得最
5、大利润时的销售量； ()当企业利润最大时，t 为何值时征税收益最大19 求幂级数 的收敛区域与和函数19 设 A 为 mn 矩阵，且 20 证明方程组 AX=b 有且仅有 n 一 r+1 个线性无关解；21 若有三个线性无关解，求 a，b 及方程组的通解22 )设二次型 f(x1，x 2，x 3)=5x12+ax22+3x322x 1x2+6x1x36x 2x3 的矩阵合同于(I)求常数 a；(II)用正交变换法化二次型 f(x1，x 2，x 3)为标准形23 设随机变量 XU(0，1)，YE(1)，且 X，Y 相互独立，求 Z=X+Y 的密度函数fZ(z)24 设总体 X 的密度函数为 其中
6、 一 1 是未知参数，X1，X 2，X n 是来自总体 X 的简单随机样本(I)求 的矩估计量；()求 的最大似然估计量考研数学（数学三）模拟试卷 426 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 显然 x=0，x=1 为 f(x)的间断点2 【正确答案】 A【试题解析】 3 【正确答案】 C【试题解析】 选 C4 【正确答案】 C【试题解析】 由极限的保号性，存在 0，当 0X x0 时， 当 x(x0，x 0)时，f(x)0；当 x(x0，x 0+)时，f(x) 0，则(x 0，f(x 0)为曲线 y=f(x)的拐点，选 C5
7、 【正确答案】 B【试题解析】 由 B 为非零矩阵得 r(A)n，从而 r(A*)=0 或 r(A*)=1，因为 A*为非零矩阵，所以 r(A*)=1，于是 r(A)=n 一 1又由 AB=0 得 r(A)+r(B)n，从而 r(B)1，再由 B 为非零矩阵得 r(B)1，故 r(B)=1，选 B6 【正确答案】 B【试题解析】 令 B=(1,2,3)，由 AB+2B=0 得 Ai=一 2i(i=1，2，3)，由 r(B)=2得 =一 2 至少为 A 的二重特征值，又由 r(A)3 得 3=0，故 1=2=一2， 3=0，A+4E 的特征值为 1=2=2， 3=4，故A+4E=16，应选 B7
8、 【正确答案】 C【试题解析】 得k=6，选 C8 【正确答案】 C【试题解析】 D(X)=2，由切比雪夫不等式得二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 10 【正确答案】 y(x)=A3 x+2x3x-1【试题解析】 齐次差分方程 yx+1 一 3yx=0 的通解为 y=A3x，设差分方程 yx+1 一3yx=2.3x 的特解为 y0(x)=Cx3x，将 y0(x)=Cx3x 代入方程 yx+1 一 3yx=2.3x 得 ，故原差分方程的通解为 y(x)=A3x+2x3x-111 【正确答案】 7dx 一 8dy【试题解析】 12 【正确答案】 y=一 3ex+3e2x 一 2xex【试题
9、解析】 特征方程为 2 一 3+2=0，特征值为 1=1， 2=2，y一 3y+2y=0 的通解为 y=C1ex+C2e2x令原方程的特解为 y0(x)一 Axex，代入原方程为 A=一 2，原方程的通解为 y=C1ex+C2e2x 一 2xex 由 ，得 y(0)=0，y(0)=1，代入通解得C1=一 3，C 2=3，特解为 y=一 3eX+3e2X 一 2xeX13 【正确答案】 一 8【试题解析】 因为 A 的特征值为 3，一 3，0，所以 AE 的特征值为 2，一 4，一1，从而 AE 可逆，由 E+B=AB 得(AE)B-E，即 B 与 AE 互为逆阵，则 B 的特征值为 的特征值为
10、 2，一 4，一 1，从而 B 一 1+2E 的特征值为4，一 2，1，于是B 一 1+2E= 一 814 【正确答案】 【试题解析】 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 16 【正确答案】 因为 f(x)在0 ，1上连续，所以 f(x)在0，1上取到最小值和最大值，又因为 f(0)=f(1)=0，且 f(x)在0，1上的最小值为一 1，所以存在 c(0，1)，使得 f(C)=一 1，f(C)=0 ，由泰勒公式得17 【正确答案】 如图(1)，在区域 D 内作圆 x2+y2=x，将区域 D 分为 D1，D 2，则18 【正确答案】 19 【正确答案】 20 【正确答案】 令 1， 2， n-r 为 Ax=0 的基础解系， 0 为 AX=b 的特解，显然 0=0， 1=1+0， n-r=n-r+0 为 AX=b 的一组解，令 k00+k121 【正确答案】 令 则化为 AX=因为 Ax= 有三个非零解，所以 AX=0 有两个非零解，故 4 一 r(A)2，r(A)2 ，又因为 r(A)2，所以 r(A)=r(A)=222 【正确答案】 23 【正确答案】 X，Y 的边缘密度分别为24 【正确答案】 ()记样本观察值为 x1，x 2，x n，似然函数为
