1、考研数学（数学三）模拟试卷 429 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 D 为有界闭区域，z=f(x，y)在 D 上二阶连续可偏导，且在区域 D 内满足：，则( )（A）f(x，y)在 D 取到最小值和最大值（B） f(x，y)在 D 内取到最小值但取不到最大值（C） f(x，y)在 D 内取到最大值但取不到最小值（D）f(x，y)在 D 内既取不到最大值又取不到最小值2 当 x0 时， ，则 -22xf(x)dx 为( )（A）（B）（C）（D）3 当 x0 时，无穷小的阶数最高的是( )（A）（B） tanx 一 x（C） (1+tanx)ln
2、(1+2x)一 1（D）4 下列反常积分收敛的是( )（A）（B）（C）（D）5 设 A 为 mn 矩阵，以下命题正确的是( ) （A）若 AX=0 只有零解，则 AX=b 只有唯一解（B）若 AX=0 有非零解，则 AX=b 有无数个解（C）若 r(A)=n，则 AN=b 有唯一解（D）若 r(A)=m，则 Ax=b 一定有解6 设 A 为三阶矩阵，特征值为 1=2=1， 3=2，其对应的线性无关的特征向量为1,2,3，令 P=(1 一 3， 2+3， 3)，则 P1 一 1A*P1=( )（A）（B）（C）（D）7 设随机变量 xN(， 2)，其分布函数为 F(x)，又 Y=F(X)，则
3、等于( )（A）1（B）（C）（D）8 设 且 X，Y 相互独立，则 PXY+1X+Y=( )（A）（B）（C）（D）二、填空题9 设 在 x=0 处连续，则 a=_10 =_11 设 y=y(x)由 确定，则 =_。12 微分方程 的通解为_13 设 A 为三阶实对称矩阵, 为方程组 AN=0 的解, 为方程组(2EA)X=0 的一个解，E+A=0 ，则 A=_.14 设 X1，X 2，X m 与 Y1，Y 2，Y n 分别为来自相互独立的标准正态总体 X与 Y 的简单随机样本，令 ，则 D(z)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 计算二重积分 其中 D=(x，y)0
4、z，y116 设 f(x)在0，1上连续可导， f(1)=0， 01xf(x)dx=2，证明：存在 0，1，使得f()=417 设生产某种产品需投入两种生产要素，x，y 分别为两种生产要素的投入量，Q为产品的产量，设生产函数 Q=2xy，其中 0，0 且 +=1设两种生产要素的价格分别为 p1 及 p2，问当产量为 12 时，两种生产要素投入多少可使投入总费用最少?18 求幂级数 的收敛半径、收敛域及和函数，并求19 设 z=z(x，y)二阶连续可偏导且满足方程 在变换下，原方程化为 求 a，b 的值20 设 问 a，b，c 为何值时，矩阵方程AX=B 有解，有解时求出全部解21 设二次型 f
5、(x1，x 2，x 3)=XTAX 经过正交变换化为标准形 f=2y12y 22 一 y32，又A*=，其中 =(1，1，一 1)T (I) 求矩阵 A； ( )求正交矩阵 Q，使得经过正交变换 X=QY，二次型 f(x1，x 2，x 3)=XTAX 化为标准形22 设(X，Y)的联合密度函数为 (I)求常数 k；() 求 X 的边缘密度； () 求当 下 Y 的条件密度函数fY|X(y|x)23 设随机变量 X1，X 2，X m+n(mn)独立同分布，其方差为 2，令求：(I)D(Y)，D(Z)；() YZ考研数学（数学三）模拟试卷 429 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有
6、一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 对区域 D 内任意一点(x，y)， 因为，所以 D 内任意一点都不是最值点，故f(x，y)在 D 内既取不到最小值又取不到最大值，应选 D2 【正确答案】 C【试题解析】 选 C3 【正确答案】 A【试题解析】 4 【正确答案】 B【试题解析】 5 【正确答案】 D【试题解析】 因为当 r(A)=m 时，则 r(A)=m，于是若 r(A)=m，则 AX=b 一定有解，选 D6 【正确答案】 A【试题解析】 A *的特征值为 2，2，1，其对应的线性无关的特征向量为 1,2,3，选 A7 【正确答案】 B【试题解析】 8 【正确答案】 B【
7、试题解析】 二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 因为 f(x)在 x=0处连续，所以10 【正确答案】 【试题解析】 11 【正确答案】 【试题解析】 当 t=0 时，x=112 【正确答案】 【试题解析】 13 【正确答案】 【试题解析】 显然 为 A 的特征向量，其对应的特征值分别为1=0,2=2，因为 A 为实对称阵，所以 12=k2 一 2k+1=0，解得 k=1，于是又因为E+A=0，所以 3=-1 为 A 的特征值，令 3=一 1 对应的特征向量为14 【正确答案】 (2(m+n 一 2)【试题解析】 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 令
8、D1=(z，y) x 2+y21，x0，y0)，D 2=DD 1，16 【正确答案】 由分部积分，得 01xf(x)dx=xf(x) 01 一 01f(x)dx=一 01f(x)dx=2，于是 01f(x)dx=一 2由拉格朗日中值定理，得 f(x)=f(x)一 f(1)=f()(x 一 1)，其中(x，1) ，f(x)=f()(x 一 1)两边对 x 从 0 到 1 积分，得 01f(x)dx=01f()(x 一 1)dx=一 2 因为 f(x)在0，1 上连续，所以 f(x)在0 ，1上取到最小值 m 和最大值 M，由M(x 一 1)f()(x 一 1)m(x 一 1)两边对 x 从 0
9、到 1 积分，由介值定理，存在0， 1，使得 f()=417 【正确答案】 投入费用函数为 C=p1x+p2y1 令 F(x，y,)=p 1x+p2y+(2xy12)18 【正确答案】 得收敛半径为 R=1当x1时，幂级数绝对收敛；当x1 时，幂级数发散，当 x=1 时，因为为收敛的交错级数，故幂级数 的收敛域为一 1，119 【正确答案】 20 【正确答案】 令 X=(1， 2， 3)，B=( 1， 2， 3)，矩阵方程化为 A(1， 2， 3)=(1， 2， 3)，21 【正确答案】 (I)显然 A 的特征值为 1=2， 2=一 1， 3=一 1，A=2，伴随矩阵 A*的特征值为 1=1， 2=一 2， 3=一 2由 A*= 得 AA*=A，即 A=2，即=(1， 1，一 1)T 是矩阵 A 的对应于特征值 1=2 的特征向量令 =(x1，x 2，x 3)T 为矩阵 A 的对应于特征值 2=一 1， 3=一 1 的特征向量，因为 A 为实对称矩阵，所以 T=0，即 x1+x2 一 x3=0，于是 2=一 1， 3=一 1 对应的线性无关的特征向量为22 【正确答案】 23 【正确答案】 (I)因为 X1，X 2，X m+n 相互独立，
